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第二章 函数4-基本初等函数:指数函数 对数函数 幂函数

时间:2016-06-23


数学 第二章 函数 4

(4)基本初等函数:指数函数 对数函数 幂函数

补充:抽象函数

m n a , n为根指数,a为被开方数 ? ? ? ?根式: ?n m ? ? an ? ? ? a ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) ? 指数

的运算 a ? ? ? ? r s ? ?指数函数 ? rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? r r s ? ? ? ?( ab) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? . N ?对数的运算 ?性质 ? ? ? n ? n log M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) ? ? log M 对数函数 a a ? ? ? ? ? ? ? log c b ? log a b ? ( a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: ? ? log ? c a ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? 定义:一般地,函数y ? x? 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ?幂函数 ? ? ? ?性质:见表2 ?

表 1 定 义 域 值 域

指数函数

y ? a ? a ? 0, a ? 1?
x

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ???
y?R

x?R

y ? ? 0, ???

图 象

过定点 (0,1) 减函数 性 质 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ?? x) ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (0,1)时,y ? (??,0)
) ? (1, ??)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)x ? (0, ??)时,y ? (1, ??x

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数学 第二章 函数 4

a?b
表2

a?b

a?b
幂函数 y ? x? (? ? R)

a?b

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数
奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
偶函数

第一象限 性质

减函数

增函数

过定点

(0, 1)

牛刀小试 1.计算: (1) (124 ? 22 3) ? 27 ? 16 ? 2(8 ) ; (2) (lg 2)2 ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ; (3) (log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) .
1 2 1 6 3 4 ? 2 3 ?1

2.已知 x 2 ? x

1

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值.

?3

3.已知 3 ? 5 ? c ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,求 c 的值. a b
2 2

4.设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x ? 4 y 的最小值.

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数学 第二章 函数 4

5.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a ? b ? c .
2 2 2

b?c a?c ) ? log 2 (1 ? ) ?1 a b b?c 2 ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值. (2)若 log 4 (1 ? a 3
(1)求证: log 2 (1 ?
2 3 6.若 ( a ? b) ? 3 (a ? b) ? 2b ,则 a 与 b 的大小关系为



7.若 2 lg

x? y x ? lg x ? lg y ,求 的值. 2 y
b , logb a , log a b 从小到大依次为 a

8. (1)若 a ? b ? a ? 1 ,则 log b
2



x y z ( 2 ) 若 2 ? 3 ? 5 , 且 x , y , z 都 是正 数 ,则 2 x , 3 y , 5 z 从 小 到大依 次 为


x x (3)设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是(



( A ) b ? a ? 1 ( B ) a ? b ? 1 ( C ) 1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b 9.已知函数 f ( x) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) , x ?1

求证: (1)函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根.

10.若函数 f ( x) ? 2

?| x ?1|

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是



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补充:抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式, 只给出了其它一些条件 (如函数的定 义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是:补 充抽象函数: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数:

①正比例函数型:

---------------



②幂函数型:

--------------





③指数函数型:

------------





④对数函数型:

-----





⑤三角函数型:

-----



如已知

是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则

____(答:0) (2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究。

如(1)设函数 B、 A);(2)设

表示 除以 3 的余数,则对任意的 C、 D、

,都有 A、 (答: ,如果

是定义在实数集 R 上的函数,且满足

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数学 第二章 函数 4

, 函数,且

,求 ,证明:直线

(答:1);(3)如设 是函数

是定义在

上的奇

图象的一条对称轴;

(4)已知定义域为

的函数

满足

,且当 ,则

时,

单调递增。如果

,且

的值的符号是____(答:负数)

(3)利用一些方法(如赋值法(令 =0 或 1,求出 等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。 满足 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? ,



、令



如(1)若





的奇偶性是______(答:奇函数);

(2)若



满足 f ?xy? ? f ?x ? f ? y ?,则

的奇偶性是______(答:偶函数);

(3) 已知 时,

是定义在

上的奇函数, 当

的图像如图所示,那么不等式 f ?x ? cos x ? 0 的解

集是_____________(答:

);

(4)设

的定义域为

,对任意

,都有

,且

时, (答:

,又 )

,①求证

为减函数;②解不等式



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