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2013级高二下学期期末考试理科数学试题

时间:2015-10-16


高二第二学期期末考试 理科数学试题 2015.07
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.a 为正实数,i 为虚数单位, A. 1 B. 2 C.

a?i 的模为 2,则 a= ( i

)

3 D.2

2.设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1) ,若 P ( ? >c+1)=P( ? <c- 1? ,则 c= () A.-1 B.0 C.1 D.2 3.从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑选 方法共有() A.140 种 B.112 种 C.168 种 D.70 种 4.一位母亲纪录了儿子 3?9 岁的身高的数据(略) ,她根据这些数据建立的身高 y(cm)与年龄 x 的 回归模型为 ? y =7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是 A.身高一定是 145.83cm C.身高在 145.83cm 以上 B.身高在 145.83cm 以下 D.身高在 145.83cm 左右

0.8) ,则 D(2 X ? 1) 等于( 5.设 X ~ B(10, ) A.1.6 B.3.2 C.6.4 D.12.8
6.用数学归纳法证明不等式“

n ? k ? 1 时,不等式的左边() 1 A.增加了一项 2(k ? 1) 1 1 ? C.增加了两项 2k ? 1 2(k ? 1)

1 1 1 13 ? ??? ? ( n ? 2) ” 时 的 过 程 中 , 由 n ? k 到 n ?1 n ? 2 2n 24
B.增加了两项

1 1 1 ? ,又减少了 ; k ?1 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 D.增加了一项 ,又减少了一项 ; k ?1 2(k ? 1)

7.已知函数 y ? f ( x) 的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y ? f ?( x ) 的图像如右图所示,
1

则该函数的图像是()

A.B.C.D. y ? f ?( x ) 的图象 8.若点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-1 的最小距离为 (
2

)

A.

3

B.

2

C. 1

D.

2 2

9.某班举行联欢会,原定的 6 个节目已排出节目单,演出前又增加了 3 个节目,若将这 3 个节目插入 原节目单中,则不同的插法总数为() A.504 B.210 C.336 D.378

10.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)的值为 ( ) A. 2 B . 3 C . 4 D. 5

11.设 a,b,m 为整数 (m>0) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为 a≡b (modm) ,
3 20 1 2 已知 a=2C20 +22 C20 +23 C20 +…+220 C20 ,a≡b(mod10),则 b 的值可以是(



A.2008

B.2009

C.2010

D.2011

12.已知函数()和 ()是两个定义在区间 M 上的函数,若对任意的 x∈ M,存在常数0 ∈ M,使得 () ≥ (0 ),() ≥ (0 ),且(0 ) = (0 ),则称函数()和 ()在区间 M 上是“相似 函数”。若 = |log2 ? 1 | + b与 = 3 ? 3 2 + 9在 ,3 上是“相似函数”,则函数()在
4 5

区间 4 ,3 上的最大值是() A.4 B.5 C. 6 D. 7

5

第Ⅱ卷(共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中横线上) 13.

?1 ? x ? ?1 ? x ? 的展开式中 x 的系数是
6 4

14. 在一次反恐演习中, 我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击 (各发射一枚导弹) , 三枚导弹命中目标的概率分别为 0.9,0.9,0.8,若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁,求目标被 摧毁的概率
2

15.观察不等式:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ≥ ? , (1 ? )≥ ( ? ) , ? (1 ? ? )≥ ( ? ? ),? ,由此 2 1 2 3 3 2 2 4 4 3 5 3 2 4 6

猜测第 n 个不等式为. 16.已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c(x∈R),有以下命题: ①函数 f(x)一定存在极大值和极小值 2 3 ②若函数 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是增函数,则 x2-x1≥ 3 ③函数 f(x)的图象是中心对称图形 ④函数 f(x)一定存在三个零点 其中正确命题的序号为_. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx (a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处相切,此切线与
3 2

函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为

27 ,求 a 的值. 4

18.(本题满分 10 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关 ,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 5 男生 10 女生 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 9 9.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; 下面的临界值表供参考: 2 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005[ p( K ? k ) 0.15

3 5

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
3

19. (本题满分 12 分) 用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,13+23+33+……+n3=

n 2 (n ? 1) 2 . 4

20. (本题满分 12 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克) 满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出 x-3

该商品 11 千克. (1)求 a 的值;(2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品 所获得的利润最大.

21. (本小题满分 12 分) 在平面 xoy 内, 不等式 x2 ? y 2 ? 4 确定的平面区域为 U , 不等式组 ?

?x ? 2 y ? 0 确定的平面区域为 V . ?x ? 3y ? 0

(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”.在区域 U 中任取 3 个“整点”,求这些“整点”中恰好 有 2 个“整点”落在区域 V 中的概率; (Ⅱ)在区域 U 中每次任取一个点,连续取 3 次,得到 3 个点,记这 3 个点落在区域 V 中的个数 为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x(a, b ? R) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
3 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≤ c ,求实数 c 的最小 值。 (3)如果点 M (2, m) ( m ≠2)可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。

4


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