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【步步高 通用(理)】2014届高三数学《考前三个月》考前静悟篇 专题一 第三讲题目解答求规范


第三讲
一、数学语言应用规范

题目解答求规范

数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言.用数学语言可以定义数学概念,表述数 学结论,揭示数学关系.数学语言具有准确、抽象、简捷等特点,在解题中使用数学语言要 力求规范,避免高考中不必要的失分. 例1 (1)函数 y=log2(x+2)的定义域是________. π? (2)函数

f(x)=tan? ?x+4?的单调区间为________. 分析 (1)函数的定义域应该是集合或区间的形式,不能写成不等式;(2)单调区间形式一

定是区间;三角函数的单调区间如含有 k,不要忘记 k∈Z,另外还要注意区间的开闭. 解析 (1)令 x+2>0,得 x>-2,

∴函数 y=log2(x+2)的定义域为(-2,+∞). π (2)令 x+ =t,则 t 单调递增.由复合函数单调性知,只有 y=tan t 单调递增才能使原函 4 数单调递增, π π? ∴t∈? ?kπ-2,kπ+2?,k∈Z, π π π kπ- ,kπ+ ?,k∈Z, ∴x+ ∈? 2 2? 4 ? 3π π ? ∴x∈? ?kπ- 4 ,kπ+4?,k∈Z. π? ∴函数 f(x)=tan? ?x+4?的单调递增区间为 ?kπ-3π,kπ+π?,k∈Z. 4 4? ? 3π π? 答案 (1)(-2,+∞) (2)? ?kπ- 4 ,kπ+4?,k∈Z 例2 (2013· 安徽)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° .

已知 PB=PD=2,PA= 6.

(1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积. 分析 由四边形 ABCD 是菱形可得对角线垂直; 由等腰三角形 PBD 又可得垂直, 结合图 形,深刻理解文字语言、图形语言的含义,在证题过程的书写中要注意数学符号的应用. (1)证明 连接 AC 交 BD 于 O 点, 则 O 为 BD 中点, 且 AC⊥BD, 连接 PO, 又 PB=PD,

则 PO⊥BD,又 AC∩PO=O,因此 BD⊥平面 POC,则 BD⊥PC.

(2)解

在△ABD 中,AO= 3,

在△BOP 中 PO= 3. 在△POA 中,AO2+PO2=PA2, 则 PO⊥AO,又 PO⊥BD,则 PO⊥底面 ABCD. 1 1 VP-BCE=VP-ABC-VE-ABC= PO· S△ABC= . 6 2 1 2 ? 跟踪训练 1 (1)(2013· 安徽)函数 y=ln? ?1+x?+ 1-x 的定义域为________. 答案 (0,1] 1 ? ?1+x>0 解析 解不等式组? 得:0<x≤1. 2 ? ?1-x ≥0 因此函数的定义域为(0,1]. (2)(2013· 天津)某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产 品的等级.若 S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为 样本,其质量指标列表如下: 产品编号 质量指标(x,y,z) 产品编号 质量指标(x,y,z) A1 (1,1,2) A6 (1,2,2) A2 (2,1,1) A7 (2,1,1) A3 (2,2,2) A8 (2,2,1) A4 (1,1,1) A9 (1,1,1) A5 (1,2,1) A10 (2,1,2)

①利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; ②在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品. a.用产品编号列出所有可能的结果; b.设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的概率. 解 ①计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产品编号 S A1 4 A2 4 A3 6 A4 3 A5 4 A6 5 A7 4 A8 5 A9 3 A10

5 6 其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为 =0.6,从 10 而可估计该批产品的一等品率为 0.6. ②a.在该样本的一等品中, 随机抽取 2 件产品的所有可能结果为{A1, A2}, {A1, A4}, {A1, A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4, A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. a.在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5, A7},共 6 种.

6 2 所以 P(B)= = . 15 5 二、结论应用要规范 在解题中,我们要用到教材中的公理、定理、推论等,一定要结合公理、定理的叙述, 严格对照题目条件,每一步推理要有理有据,规范作答,不要漏掉条件;另外,对一些教材 中没有出现的“小结论”,应用时要作铺垫. 例3 如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥A1B,D 为 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:平面 AB1C1⊥平面 ABB1A1. 分析 在使用线面位置关系的判定定理时,推理一定要严谨,保证条件的充分性. 证明 (1)设 AB1∩A1B=O,连接 OD.

由于点 O 是 AB1 的中点,又 D 为 AC 的中点, 所以 OD∥B1C,而 B1C?平面 A1BD, OD?平面 A1BD, 所以 B1C∥平面 A1BD. (2)因为 AB=BB1, 所以四边形 ABB1A1 是正方形,则 A1B⊥AB1, 又 A1B⊥AC1,且 AC1,AB1?平面 AB1C1,AC1∩AB1=A, 所以 A1B⊥平面 AB1C1. 而 A1B?平面 ABB1A1, 所以平面 AB1C1⊥平面 ABB1A1. 例4 已知抛物线方程为 x2=4y,过点 M(0,2)作直线与抛物线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 过 A,B 分别作抛物线的切线,两切线的交点为 P. (1)求 x1x2 的值; (2)求点 P 的纵坐标; (3)求△PAB 面积的最小值. 分析 (1)中使用根与系数的关系要先考虑 Δ; (3)中求|AB|要先用两点间距离公式, 对|AB|

= 1+k2|x1-x2|作适当铺垫. 解 (1)由已知直线 AB 的方程为 y=kx+2, 代入 x2=4y 得 x2-4kx-8=0, Δ=16k2+32>0,

∴x1+x2=4k,x1x2=-8.

x1 (2)由导数的几何意义知过点 A 的切线斜率为 , 2

x2 x1 x1x x2 1 1 ∴切线方程为 y- = (x-x1),化简得 y= - , 4 2 2 4 x2x x2 2 同理过点 B 的切线方程为 y= - , 2 4 x1+x2 x1x x2 x2x x2 1 2 由 - = - ,得 x= , 2 4 2 4 2 将③代入①得 y=-2, ∴点 P 的纵坐标为-2. |2k2+4| (3)∵点 P 到直线 AB 的距离为 d= 2 , k +1 又|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2??x2-x1?2 = ?x1+x2?2-4x1x2· 1+k2 =4 k2+2· 1+k2. 3 2 1 |2k +4| 2 2 2 2 S△PAB= · 2 · 4 k +2· 1+k =4(k +2)≥8 2 , 2 k +1 当且仅当 k=0 时取等号, ∴△PAB 面积的最小值为 8 2. 跟踪训练 2 中点.

① ② ③

(2013· 课标全国Ⅱ)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积. (1)证明 连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. 又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解 因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD.

又因为 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得∠ACB=90° ,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 1 1 所以 VC-A1DE= × × 6× 3× 2=1. 3 2 三、步骤书写要规范

在高考中,解答题的要求是“应写出文字说明、证明过程或演算步骤”.在解答题的解 题步骤中,一定要计算过程明确,推理过程严谨,不可跨度太大而漏掉得分点. 例5 (2013· 辽宁)现有 6 道题, 其中 4 道甲类题, 2 道乙类题, 张同学从中任取 2 道题解答. 试 求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 分析 利用古典概型求概率,不能只有简单的计算公式,要列举基本事件的全部情况, 和所求事件包含的基本事件. 解 (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题,基本

事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5}, {3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3}, 6 2 {2,4},{3,4},共 6 个,所以 P(A)= = . 15 5 (2)基本事件同(1),用 B 表示“不是同一类题”这一事件,则 B 包含的基本事件有{1,5}, 8 {1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共 8 个,所以 P(B)= . 15 π 2x+ ?+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R. 跟踪训练 3 (2013· 天津)已知函数 f(x)=- 2sin? 4? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π? (2)求 f(x)在区间? ?0,2?上的最大值和最小值. π π 解 (1)f(x)=- 2sin 2x· cos - 2cos 2x· sin +3sin 2x-cos 2x 4 4 π ? =2sin 2x-2cos 2x=2 2sin? ?2x-4?. 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π. 2 3π 3π π? 3π? ? (2)因为 f(x)在区间? 在区间? 又 f(0)=-2, f? ?0, 8 ?上是增函数, ? 8 ,2?上是减函数. ? 8 ?= π? ? π? 2 2,f? ?2?=2,故函数 f(x)在区间?0,2?上的最大值为 2 2,最小值为-2. 跟踪训练 4 (2013· 福建)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名, 25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直 方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2×2 列 联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? n?n11n22-n12n21?2 附:χ2= n1+n2+n+1n+2 P(χ2≥k) k 0.100 0.050 0.010 0.001 10.828

2.706 3.841 6.635 2 n ? ad - bc ? (注:此公式也可以写成 K2= ) ?a+b??c+d??a+c??b+d? 解

(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名.

所以, 样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60×0.05=3(人), 记为 A1,A2,A3; 25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2, A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是:(A1,B1),(A1, 7 B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率 P= . 10 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 60×0.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 15 15 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100

合计 30 2 n ? ad - bc ? 所以得 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100×?15×25-15×45?2 = ≈1.79. 60×40×30×70 因为 1.79<2.706.

所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.


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