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2016届 数学 (文科)一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第1讲 函数及其表示


第二章 第1讲

函数、基本初等函数 函数的概念及其表示

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 1.给出下列各组函数:①f(u)= 1+u ,g(v)= 1-u 1+v ;②f(x)= x2,g(x)=x; 1-v

③f(x)= 1-x2, g(x)=1-|x|(x∈[-1,1]; ④f(x)= x+1· x-1,

g(x)= x2-1. 其中表示相同函数的是________(填序号). 解析 ①中两函数定义域、对应法则均相同,表示相同函数;②中对应法则

不同;③中对应法则不同;④中定义域不同. 答案 ①

2.下列集合 A 到集合 B 的对应 f 中: ①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方; ②A={0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数开方; ③A=Z,B=Q,f:A 中的数取倒数; ④A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值. 其中是从集合 A 到集合 B 的函数的为________(填序号). 解析 其中②,由于 1 的开方数不唯一,因此 f 不是 A 到 B 的函数;其中③,

A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素;其中④,A 中的元素 0 在 B 中没有对应 元素. 答案 ①

3x2 3.(2014· 郑州模拟)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是________. 1-x x<1, ? ? ?1-x>0, 由? 得? 1 x>-3, ?3x+1>0, ? ? ? 1 ? ?-3,1? ? ? ? 1 ? 所以定义域为?-3,1?. ? ?

解析

答案

4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是________.
1

解析

∵g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,

∴g(x)=2x-1. 答案 g(x)=2x-1

x ?2 ,x<0, 5.(2015· 无锡检测)已知函数 f(x)=? 则 f(2 014)=________. ?f?x-1?+1,x≥0,

解析 4 031 2 . 答案

f(2 014)=f(2 013)+1=…=f(0)+2 014=f(-1)+2 015=2-1+2 015=

4 031 2

?1-x? 1-x2 ?= 6.已知 f? 2,则 f(x)的解析式为________. ?1+x? 1+x 解析 1-x 1-t 令 t= ,由此得 x= (t≠-1), 1+x 1+t

?1-t?2 ? 1-? 2t ?1+t? 所以 f(t)= = 2, ?1-t?2 1+t ? 1+? ?1+t? 2x 从而 f(x)的解析式为 f(x)= (x≠-1). 1+x2 答案 f(x)= 2x (x≠-1) 1+x2

7.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除 以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班 人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表 示为________(填序号). ?x+3? ?x+4? ?x+5? ?x? ?;③y=? ?;④y=? ?. ①y=?10?;②y=? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 解析 α+3? ?x+3? ? ? ?=?m+ ? 设 x=10m+α(0≤α≤9, m, α∈N), 当 0≤α≤6 时, 10 10 ? ? ? ?

?x? =m=?10?, ? ? α+3? ?x+3? ? ?x? ?=?m+ ?=m+1=?10?+1. 当 6<α≤9 时,? 10 ? ? ? ? 10 ? ?

2

答案

② 的定义域为 R,则 a 的取值范

8.(2015· 武汉一模)若函数 f(x)= 围是________. 解析 由题意知 恒成立.

∴x2+2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ=4a2+4a≤0,∴-1≤a≤0. 答案 [-1,0]

二、解答题 9. 已知 f(x)是二次函数, 若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.求函数 f(x)的解析式. 解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又 f(0)=0,

∴c=0,即 f(x)=ax2+bx.又 f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+(b+1)x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, ?2a+b=b+1, ∴? ?a+b=1, 1 ? ?a=2, 解得? 1 ?b=2. ? 1 1 ∴f(x)= x2+ x. 2 2

10.根据如图所示的函数 y=f(x)的图象,写出函数的解析式.



当-3≤x<-1 时,函数 y=f(x)的图象是一条线段(右端点除外),设 f(x)

3 7 =ax+b(a≠0),将点(-3,1),(-1,-2)代入,可得 f(x)=-2x-2; 当-1≤x<1 时,同理可设 f(x)=cx+d(c≠0), 3 1 将点(-1,-2),(1,1)代入,可得 f(x)=2x-2; 当 1≤x<2 时,f(x)=1.

3

? ? 所以 f(x)=?3 1 2x-2,-1≤x<1, ? ?1,1≤x<2.

3 7 -2x-2,-3≤x<-1,

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 2+x ? x? ?2? 1.设 f(x)=lg ,则 f?2?+f? x?的定义域为________. ? ? ? ? 2-x 解析 ∵ 2+x x 2 >0,∴-2<x<2,∴-2<2<2 且-2<x <2,解得-4<x< 2-x

-1 或 1<x<4, 定义域为(-4,-1)∪(1,4). 答案 (-4,-1)∪(1,4)

1-x ?3 ,x≤1, 2.(2014· 扬州检测)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤3 的 x 的取值 ?1-log3x,x>1,

范围是________. 解析 ?x≤1, 依题意,不等式 f(x)≤3 等价于①? 1-x 或 ?3 ≤3

?x>1, ②? 解①得 0≤x≤1,解②得 x>1. ?1-log3x≤3. 因此,满足 f(x)≤3 的 x 的取值范围是[0,1]∪(1,+∞)=[0,+∞). 答案 [0,+∞) 1 的值域是________. |x|+1 1 ≤1, |x|+1

3.(2015· 杭州质检)函数 f(x)=ln 解析 ln

依题意,因为 |x|+1≥1,则 0<

1 ≤ln 1=0,即函数的值域是(-∞,0]. |x|+1 (-∞,0]

答案

4.某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返回 A 地,把汽车与 A 地的距离 x(km)

4

表示为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.



? ? 5 7 x=?150,2<t≤2, 7 13 ? < t ≤ ?150-50???t-2???,7 2 2.

5 60t,0≤t≤2,

其图象如图所示.

5


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