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2013届高三理科数学解答题训练10


2013 届高三理科数学解答题训练10
班别_________ 座号________ 姓名_________ 成绩__________

1.(本题 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , S 是该三角形的面积, (1) a ? (2sin 若 度数; (2)若 a ? 8 , B ?

?

? ? ? B B cos B,sin B ? cos B) ,b ? (sin B ? cos B, 2sin ) ,a / / b ,求角 B 的 2 2
2? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3

2.(本题12分)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 否击中目标,相互 之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响 ⑴求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率; ...

2 3 和 假设两人射击是 3 4
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

⑵假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被中止射击 ... 的概率是多少? ⑶设甲连续射击 3 次,用 ? 表示甲击中目标时射击的次数,求 ? 的数学期望 E? . (结果可以用分数表示)

D

C
D

A C

3.(本题 14 分)如图,四边形 ABCD 中(图
1

A

E
E

B
图1

B 图2

1) E 是 BC 的中点,DB ? 2 ,DC ? 1, BC ? 5 ,AB ? AD ? , 折起,使二面角 A ? BD ? C 为 60 (如图 2)
0

(图 1) 沿直线 BD 2. 将

(1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.

4.(2,3班选做)(本题 14 分)已知函数 f ? x ? ? (1)设 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 极大值和极小值; (2) a ? R 时讨论函数 f ? x ? 的单调区间.

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2 x ? 1) . 2 2

2013届高三理科数学解答题训练10答案

2

1.解: (1)? a / /b

B ? 4 c o B ? s2i n ? s cB ? 2 os 2 1 ? cos B ? 4 cos B ? ? 2 cos 2 B ? 1 ? 0 2

?

?

0
?c o s ? B 1 2

??B ? (0,1800 )
(2)? S ? 8 3

??B ? 60? ????????6 分
1 ? a cs i n B? 8 ????????7 分 3 2 得 c ? 4 ????????8 分
[来源:学科网 ZXXK]

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 82 ? 42 ? 2 ? 8 ? 4cos1200 ????????10 分

?b ? 4 7 ????????12 分
2.解: (1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,射击 3 次, 相当于 3 次独立重复试验,故 P(A1)=1- P( A1 )=1- ( ) = 答:甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率为

2 3

3

19 27

王新敞
奎屯

新疆

19 ;????????4 分 27

(2) 记“乙恰好射击 4 次后,被中止射击”为事件 A2,由于各事件相互独立,

1 1 3 1 1 1 3 3 3 × × × + × × × = , 4 4 4 4 4 4 4 4 64 3 答:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 ????????8 分 64 2 (3)根据题意 ? 服从二项分布, E? ? 3 ? ? 2 ????????12 分 3 1 3 1 2 1 6 0 1 p(? ? 1) ? C3 ? ( ) ? ( ) 2 ? (3)方法二: p (? ? 0) ? C3 ? ( ) ? 3 27 3 3 27 2 2 1 1 12 p (? ? 2) ? C32 ? ( ) ? ( ) ? 3 3 27 2 1 8 p (? ? 1 ) C3 ? ( 3? ( 0? ? 3 ) ) 3 3 27
故 P(A2)=
王新敞
奎屯 新疆

[来源:学科网]

?
p

0

1

2

3

1 27

6 27

12 27

8 27

E? ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ??????? 27 27 27 27

?12 分 说明: , (1)(2)两问没有文字说明分别扣 1 分,没有答,分别扣 1 分。 第(3)问方法对,算错数的扣 2 分 3.解: (1) 如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。因 AB ? AD ?

2. ? AM ? BD

??1 分

2 2 2 因 DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 满足: DB ? DC ? BC ,

3

所以 ?BCD 是 BC 为斜边的直角三角 形, BD ? DC , 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为 ?BCD 的中位线 ME //

1 CD , 2
?? 2 分 ??3 分 ??4 分

? ME ? BD , ME ?

1 2

? ?AME 是二面角 A ? BD ? C 的平面角? ?AME = 60 0 ? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线

? BD ? 平面AEM ? AE ? 平面 AEM? BD ? AE
因 AB ? AD ?

2. , DB ? 2 ? ?ABD 为等腰直角三角形? AM ?

1 BD ? 1, 2

AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos?AME ? 1 ?

1 1 3 3 ? 2 ? 1 ? ? cos60? ? ? AE ? 4 2 4 2
…… 6 分 …… 7分

? AE 2 ? ME 2 ? 1 ? AM 2 ? AE ? ME

? BD ? ME, BD ? 面BDC, ME ? 面BDC ? AE ? 平面BDC

(2)如图,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系,…….. 8 分 则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0), E (0, ,0) ,

1 2

1 3 A(0, , ) ,D (?1,0,0) ,C (?1,1,0) 2 2
1 3 AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), 2 2 设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,
则 cos? ? AB ? CD AB ? CD ?? 9 分

……10 分

?

1 2 ? 2 ……11 分 2 2 ?1

由 AD ? (?1,? ,?

1 2

3 ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2
?? 12 分

n ? AD ? 0, n ? CD ? 0, n 是平面 ACD 的一个法向量,
记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d 则 d ? AB ? n ……13 分 所以 d ?

n
(2) ,(3)解法二:

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?
2

3 ?0? 3

?

2

2 21 7

…… 14 分

取 AD 中点 N,连接 MN,则 MN 是 ?ABD 的中位线,MN//AB,又 ME//CD
4

所以直线 AB 与 CD 所成角为 ? 等于 MN 与 ME 所成的角, 即 ?EMN 或其补角中较小之一 ?? 8 分

AE ? 面BCD, DE ? 面BCD ? AE ? DE ,N 为在 Rt?AED 斜边
中点 所以有 NE=

1 1 2 1 2 ,MN= AB ? ,ME= , AD ? 2 2 2 2 2
MN 2 ? ME 2 ? NE 2 2 MN ? ME
…….9 分

? cos ? ? cos ?EMN ?

2 1 2 ? ? 2 = 4 4 4 ? ……10 分 4 2 1 2? ? 2 2 (3) 记 点 B 到 平 面 ACD 的 距 离 d , 则 三 棱 锥 B-ACD 的 体 积 1 V B ? ACD ? d ? S ?ACD , ……11 分 3
又由(1)知 AE 是 A-BCD 的高、 BD ? CD ?VB ? ACD ? V A? BCD ?

1 AE ? S ?BCD …..12 分 3

1 3 ?1 3 ? ? ? ? ? ? 2 ?1? ? 3 2 ?2 ? 6
E 为 BC 中点,AE ? BC? AC ? AB ?
2

2 又, DC ? 1, AD ? 2 , ?ACD为等腰?,

S ?ACD

1 1 ?1 ? ? ? CD ? AD 2 ? ? CD ? ? ? 1 ? 2 2 ?2 ?

? 2?

2

7 ?1? ?? ? ? 4 ?2?

2

……13 分

3V ? B 到平面 ACD 的距离 d ? B ? ACD ? S ?ACD

3?

3 6 ? 2 21 7 7 4

……14 分

2 2 2 解法三:(1) 因 DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 满足: DB ? DC ? BC , BD ? DC , 1 分 如图,以 D 为原点 DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,建立空间直角坐标系, …….. 2 分

则条件可知 D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0), E (1, , 0) , A(a,b,c) (由图知 a>0,b>0,c>0) …….3 分 得 AB ? AD ?

1 2

2. a2 ? b2 ? c2 ? (a ? 2)2 ? b2 ? c 2 ? 2 ? a ? 1, b2 ? c 2 ? 1 ….. 4 分 u r 平面 BCD 的法向量可取 n1 ? (0,0,1) , u r uur u uuu r 5分 DA ? (1, b, c), DB ? (2,0,0) ,所以平面 ABD 的一个法向量为 n1 ? (0, c, ?b)

? ?

2

5

u ur r u u ur r u n1 ? n2 b 则锐二面角 A ? BD ? C 的余弦值 cos ? n1 , n2 ? ? u ur ? ? cos 60? …..6 分 r u 2 b ? c2 n1 ? n2
从而有 b ?

r 1 3 1 3 uur 3 uuu , A(1, , ,c ? ), EA ? (0,0, ), DC ? (0,1,0) 2 2 2 2 2 uu uuu r r uu uuu r r EA? DC ? 0, EA ? DB ? 0 ? EA ? DC, EA ? DB 所以 AE ? 平面 BDC
(2)由(1) A(1, ,

7分 9分

1 3 1 3 ) ,D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0), AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), 2 2 2 2
……10 分

设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,则 cos? ? AB ? CD AB ? CD
?

1 2 ? 2 ……11 分 4 2 ?1

(3)由 AD ? (?1,? ,?

1 3 ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2 2 n ? AD ? 0, n ? CD ? 0, n 是平面 ACD 的一个法向量,
3 ?0? 3
2

?? 12 分

记 点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d 则 d ? AB ? n ……13 分 所以 d ?

n

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?

?

2

2 21 7

…… 14 分

4.(1)? a ? 1,? f ( x) ?

x2 5 1 ? 3x ? ln(2 x ? 1), x ? ? 2 2 2
5 (2 x ? 1)( x ? 3) ? 5 ? 2 x ? 1?? x ? 2 ? = = , ??????1 2x ?1 2x ?1 2x ?1
1 或 x =2????????2 分 2 1 1 2 ( ,2) 2 2

f ?( x ) = x ? 3 ?


令 f ?( x ) =0,则 x =

x

( ?

1 , 2

(2,+ ? )

1 ) 2

f ?( x )

+ 0 极 大

?
0

+

f ( x)

?

?

极小

?
???????

?4 分
6

f

?

1 5 11 f ? x ?极大 =f ( ) ? ln 2 ? 2 2 8 5 x?极小 = f( 2 ? ) l n 5 ????????5 分 ? 4 2
4a ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1-2) ? 4a ? 1 ? 2 x ? 1?? x ? 2a ? = = 2x ?1 2x ?1 2x ?1



(2) f ?( x ) = x ? (1+2 a )+ 令 f ?( x ) =0,则 x =

1 或 x =2 a ?????6 分 2 1 1 i、当 2 a > ,即 a > 时, 2 4 x 1 1 1 1 2 (2 a , (? , ) ( , a +?) 2 2 2 2 2a) ? + + f ?( x )
[来源:学科网]

0

0

f ( x)

?

[来源:学科网]

? ?
1 1 1 , )和(2 a ,+ ? ) ,减区间为( ,2 a )?????8 2 2 2
2

所以 f ( x ) 的增区间为( ? 分

1 1 ? 2 x ? 1? 0 在( ? 1 ,+ ? )上恒成立, ii、当 2 a = ,即 a = 时, f ?( x ) = ? 2 4 2 2x ?1
所以 f ( x ) 的增区间为( ?

1 ,+ ? )?????10 分 2 1 1 1 1 iii、当 ? <2 a < ,即 ? < a < 时, 2 2 4 4 x 1 1 1 2 (2 a , (? , ( , a 1 2 2 2 ) 2a) +?) 2 ? + + f ?( x )
0 0
Z*X*X*K]

[来 源 :学 *科 *网

f ( x)

? ?

?
1 1 1 ,2 a )和( ,+ ? ) ,减区间为(2 a , )?????12 2 2 2

所以 f ( x ) 的增区间为( ? 分

7

iv、当 2 a ? ?

x

1 1 ,即 a ? ? 时, 2 4 1 1 (? , 2 2



1 , 2

1 ) 2

+?)

f ?( x )

?
0

+

f ( x)

?

?

1 1 1 ,+ ? ) ,减区间为( ? , )?????14 分 2 2 2 1 1 1 1 综上述: a ? ? 时, f ( x ) 的增区间为( ,+ ? ) ,减区间为( ? , ) 4 2 2 2 1 1 1 1 1 ,减区间为(2 a , ) ? < a < 时, f ( x) 的增区间为( ? ,2 a )和( ,+ ? ) 4 4 2 2 2 1 1 a = 时, f ( x) 的增区间为( ? ,+ ? ) 4 2 1 1 1 1 ,减区间为( ,2 a ) a > 时, f ( x) 的增区间为( ? , )和(2 a ,+ ? ) 4 2 2 2
所以 f ( x ) 的增区间为( 说明:如果前面过程完整,最后没有综上述,可不扣分

8


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