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高中数学必修1知识点总结:第一章

时间:2017-11-05


高中数学必修 1 知识点总结
第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念 集合中的元素的性质:确定性、互异性和无序性. (2)只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 (3)常用数集及其记法 自然数集 N(又称非负整数集) : {0,1,2,3,??} 正整数集 N*或 N+ :{1,2,3,??} 整数集 Z:{??

,-2,-1,0,1,??} 有理数集 Q:包含分数、整数、有限小数等 实数集 R:全体实数的集合 空集Ф :不含任何元素的集合 复数集 C (4)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (5)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图(或文氏图)来表示集合. (6)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集( ? ). 【补充知识】 质数:即素数,是除 1 和它本身外,没有其它因数的正整数。 注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了

A ? ? 的情况。
【1.1.2】集合间的基本关系

(7)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A A 中的任一元素都属 于B (2) ? 性质 示意图

A? B
子集 (或

B ? A)
A?B
?

?A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B
(1) ?? A (A 为非空子集)
?

A(B)

B

A



真子集 (或 B ? A)
?

A ? B, 且 B 中至少
有一元素不属于 A

(2)若

A ? B 且 B ? C ,则 A ? C
? ? ?

B

A

集合 相等

A 中的任一元素都属

A?B

于 B,B 中的任一元素 都属于 A

(1)A ? B (2)B ? A

A(B)

(8)已知集合

A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子集,它有 2 n ? 1 个非空子集,它有 2n ? 2 非空

真子集.

【1.1.3】集合的基本运算
(9)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图

交集

A? B

{x | x ? A, 且 x ? B}

并集

A? B

{x | x ? A, 或 x ? B}

A? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A A? B ? B (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A A? B ? B
(1) 1 A ? (? U A) ? ? 2 A ? (? U A) ? U

A

B

A

B

补集

? UA

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) 痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B)

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0)
| x |? a(a ? 0)


{x | ?a ? x ? a}
x | x ? ?a 或 x ? a}

ax ? b

看成一个整体,化成

| x |? a



| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0) | x |? a(a ? 0) 型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象
O

一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a
? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

(其中 x1

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}
〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

?

?

(1)函数的概念 ①设 的数 记作

A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定
)叫做集合

f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f f : A? B.

A 到 B 的一个函数,

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数, 且a

? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ;满足 a ? x ? b 的实数 x ? x ?b, b 或 a ?x ?
的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别记做 [ a, b) ,

的集合叫做开区间, 记做 ( a, b) ; 满足 a

( a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
注意:对于集合 {x | a ?

x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b .

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① ② ③

f ( x) 是整式时,定义域是全体实数.
f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤

y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若

f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等

⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 式a ?

g ( x) ? b 解出.

⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域(或函数值的范围)或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,

这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最 值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数

y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在

a( y) ? 0 时,由于 x , y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
④数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑤函数的单调性法. ⑥不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑦换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.

【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

?2 x ? 1 y?? 2 ?? x ? 3 (6)分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如
(7)映射的概念 ①设

x?0 x?0

A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它
)叫做集合

对应,那么这样的对应(包括集合

A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f

A 到 B 的映射,记作 f : A ? B .

②给定一个集合

且 a ? A, b ? B . 如果元素 a 和元素 b 对应, 那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象, A 到集合 B 的映射,

元素 a 叫做元素 b 的原象.

〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 步骤及格式

如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个自 变量的值 x1、x2, 当 x < x2 1 . . . .. 时,都有 f(x )<f(x ) ,那 1 2 . . . . . . . . . . . 么就说 f(x) 在这个区间上 是增函数 . ... 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个自 变量的值 x1、x2,当 x < x2 1 . . . .. 时,都有 f(x )>f(x ) ,那 1 2 . . . . . . . . . . . 么就说 f(x) 在这个区间上 是减函数 . ...

y y=f(X)
f(x1 )

(1)利用定义

f(x2)

( 2 )利用已知函数的单 调性 ( 3 )利用函数图象(在

步骤: 取值→作差→变形→定号 →判断

o

x1

x2

x

某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 格式: 解:设

图象从左到右上升

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

(1)利用定义 ( 2 )利用已知函数的单 调性 ( 3 )利用函数图象(在
x2

x1 , x2 ? ?a, b? 且

x1 ? x 2 ,
则: f ?x1 ? ? f ?x2 ? =?

o

x1

x

某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数

图象从左到右下降

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减 去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若
y

y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减,u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.
④函数

f ( x) 在某区间上是增函数或减函数,那么说 f ( x) 在该区间具有单调性,该区间

o

x

叫做单调(增/减)区间 【初高中衔接内容】 1、一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0 (a ? 0)
2a

2 (1)求根公式: x1, 2 ? ? b ? b ? 4ac

(2)判别式: ? ? b 2 ? 4ac

(3) ?

? 0 时方程有两个不等实根; ? ? 0 时方程有一个实根; ? ? 0 时方程无实根。

(4)根与系数的关系——韦达定理: x1 ? x 2 ? ?
2、二次函数:一般式

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ;

c b , x1 ? x 2 ? a a

两根式

y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a ? 0)
y ; 0 x

(1)顶点坐标为 (?

b b 4ac ? b 2 ; , ) (2)对称轴方程为:x= ? 2a 2a 4a

2 (3)当 a ? 0 时,图象是开口向上的抛物线,在 x= ? b 处取得最小值 4ac ? b 2a 4a

2 当 a ? 0 时,图象是开口向下的抛物线,在 x= ? b 处取得最大值 4ac ? b

2a

4a

(4)二次函数图象与 x 轴的交点个数和判别式 ? 的关系:

? ? 0 时,有两个交点; ? ? 0 时,有一个交点(即顶点) ; ? ? 0 时,无交点。
(2)打“√”函数

f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 的图象与性质 x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 是函数

f ( x) ? M



(2)存在 x0 ? I ,使得 ②一般地,设函数

f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M

f ( x)

的最大值,记作

f max ( x) ? M .
(2) f ( x) ? m ;

y ? f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 m 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有

存在 x0 ? I ,使得

f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m .
【1.3.2】奇偶性

(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x,都有 . f( - x)= - . . . . . . f(x) ,那么函数 f(x)叫做奇函 . . . . .. 数 . . 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x, 都有 . f( - x)= f(x) , . . . . . . . . . 那么函数 f(x)叫做偶函数 . ... (1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于 y 轴对称) 图象 判定方法 (1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于原点对称)

②若函数

f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 .

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇函数)的积(或 商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②化解函数解析式; ④画出函数的图象.

②伸缩变换

0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩

0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换

x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)

y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重 要工具.要重视数形结合解题的思想方法.


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