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安徽省灵璧中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题


灵璧中学 2015——2016 学年度第二学期第一次月考 高一数学试题卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1. 数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是 an 等于 A. ?-1? +1 2
n

(

r />
)

B.cos


2

C.cos

n+1
2

π

D.cos

n+2
2

π

2. 若数列{an}的通项公式是 an=(-1) (3n-2),则 a1+a2+…+a10 等于( A.15 B.12 C.-12 D.- 15

n

)

3. 在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,若 2asin B= 3b,则角 A 等于( π A. 12 π B. 6 π C. 4 π D. 3

)

1 4.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6 等于 2 A.16 B.24 C.36 D.48

(

)

5. 设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为 A.15 B.16 C.49 D.64

2

(

)

6.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则∠A=( A. 90
?



B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N+),则 a5 等于 A.-16 B.16 C.31 D.32

(

)

8. 设{a n}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1 等于( A.18 B.20 C.22 D.24

)

9.已知等差数列{an}的公差 d=-2,a1+a4+a7+…+a97=50,那么 a3+a6+a9+…+a99 的值是 ( A.-78 B.-82 C.-148 D.-182

)

1

10.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b = 3bc,sin C=2 3sin B,则 A 等于( A.30° B.60° C.120° D.150°

2

2

)

11. 已知数列{an}为等差数列, 若 A.11 B.19 C.20

a11 <-1, 且它们的前 n 项和 Sn 有最大值, 则使 Sn>0 的 n 的最大值为 ( a10

)

D.21

7 2 12. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 b =c(b+2c),若 a= 6,cos A= ,则△ABC 8 的面积等于 A. 17 B. 15 C. 15 2 D.3 ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.等比数列 x,3x+3,6x+6,…则 x 的值为: 。

14.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,a,b,c 分别是其所对的边,若 a=1,b= 3,则角 A 的 大小为________.

15. 一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯 塔 M 在北偏东 60°方向,行驶 4 h 后,船 到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为______ km.

16. 已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an=n +λ n 恒成立,则实数 λ 的取值范围是________.

2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中, a , b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,且 2cos( A ? B) ? ?1 .
2

(1)求角 C 的度数,及△ABC 的面积. (2)求 c;

2

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn,n∈N+,a3=5,S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 2 n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
a

19. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,若 a cos A sin B ? b cos B sin A ,试判断△ABC 的形状.
2 2

20. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且公 差 d ? 0 ,它的第 2 项、第 5 项、第 14 项 分别是等比数列 {bn } 的第 2、3、4 项。 (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 对任意正整数 n 均有

c c1 c ? 2 ? ? ? n ? an?1 成立,求 a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn 的值 . b 1 b2 bn

3

21. (本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)设 cn= n,证明:数列{cn}是等差数列。 2

an

1? ? 2 22. (本小题满分 12 分)在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

Sn

4

灵璧中学 2015——2016 学年度第二学期第一次月考 高一数学参考答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 D 5 A 6 C 7 B 8 B 9 B 10 A 11 B 12 C

二、填空题 13: —3 ; 14: 30° ; 15:

30 2 ;

16: ? ?3, ?? ? 。

三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 解:(1)∵2cos(A+B)=1,∴cosC=-

1 .∴角 C 的度数为 120°. 2 2 ∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 ,ab=2,
S=

1 3 absinC= . 2 2
2 2

(2)c =a +b -2abcosC=(a+b) -2ab(cosC+1)=12-2=10.∴c= 10 . 18. (本小题满分 12 分) 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
2 2

a1+2d=5, ? ? 由题意,得? 10×9 10a1+ d=100, ? 2 ?
所以 an=2n-1. (2)因为 bn= ×4 2an =1 2
n

解得?

?a1=1, ? ?d=2, ?

1 2 n 所以 Tn=b1+b2+…+bn= (4+4 +…+4 ) 2 = 4
n+1

-4 2 n 2 = ×4 - . 6 3 3

19. (本小题满分 12 分) 解 ∵2sin Acos B·b =2cos Asin B·a ,
2 2 2 2

即 a cos Asin B=b sin Acos B. 方法一 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin Acos Asin B=sin Bsin Acos B, 又 sin A·sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 在△ABC 中,0<2A<2π ,0<2B<2π , π ∴2A=2B 或 2A=π -2B,∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ ABC 为等腰或直角三角形.
5
2 2

方法二 由正弦定理、余弦定理得:

b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 a2b =b a , 2bc 2ac
∴a (b +c -a )= b (a +c -b ), ∴(a -b )(a +b -c )=0, ∴a -b =0 或 a +b -c =0. 即 a=b 或 a +b =c . ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 20. (本小题满分 12 分)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?a1 ? d ? b1 q ?a 2 ? b2 ?d ? 2 ? ? ? 2 n ?1 解(1) ?a5 ? b3 ? ?a1 ? 4d ? b1 q ? ?q ? 3 ? a n ? 2n ? 1, bn ? 3 ?a ? b ? ?b ? 1 3 ? 1 4 ? 14 ?a1 ? 13d ? b1 q c (2)a n ?1 ? a n ? n ? 2 ? c n ? 2 ? 3 n ?1 bn
令Dn ? a n c n ? 2(2n ? 1) ? 3 n ?1 ? (4n ? 2)3 n ?1 则数列{Dn }的前n项和为S n S n ? 2 ? 1 ? 6 ? 3 ? ? ? (4n ? 2) ? 3 n ?1 (1) 3 S n ? 2 ? 3 ? 6 ? 3 2 ? ? ? ( 4 n ? 2 ) ? 3 n ( 2) (2) ? (1)得2 S n ? ?2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 2 ? ? ? 4 ? 3 n ?1 ? (4n ? 2)3 n ? ?2 ? 4 ? 3n ? 3 ? (4n ? 2) ? 3 n ? (4n ? 4)3 n ? 4 2

? S n ? (2n ? 2) ? 3n ? 2
21. (本小题满分 12 分) (1)证明 由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,有 a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3. 又?
? ?Sn+1=4an+2, ?Sn=4an-1+2, ?

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1, 所以 an+1-2an=2(an-2an-1). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1, 故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. (2) 证明 由(1)知 bn=an+1-2an=3·2 所以
n-1



an+1 an 3
2
n+1

- n= , 2 4

an 1 3 故{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 4
6

22. (本小题满分 12 分) 解 1? ? 2 ( 1)∵Sn=an?Sn- ?,an=Sn-Sn-1 (n≥2), 2? ?

1? ? 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn- ?, 2? ? 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由题意得 Sn-1·Sn≠0, 1 1 ①式两边同除以 Sn-1·Sn,得 - =2,

Sn Sn-1

?1? 1 1 ∴数列? ?是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列. ?Sn?

S1 a1

1 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . Sn 2n-1

Sn 1 (2)∵bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1?
1 ? 1? 1 - = ? ?, 2?2n-1 2n+1? 1 1 1 1 1 1 ∴Tn=b1+b2+…+bn= [(1- )+( - )+…+( - )] 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 ? 1? n = ?1- . ?= 2n+1? 2n+1 2?

7


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