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2.1 空间点,直线,平面之间的位置关系


本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 小结

2.1 空间点、直线、平面 之间的位置关系
2.1.1 平面

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的

位置关系 2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系 复习与提高

2.1.1

平面
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1. 空间的点、直线、平面有怎样的位置关系? 2. 怎样画出空间的点、直线、平面的位置关系? 3. 怎样用字母和符号表示空间的点、直线、 平面的位置关系?

4. 三个公理的内容是什么? 各公理有什么作用?

问题 1. 如图的空间物体, 你认为是由一些什么 几何元素组成? 它们存在一些什么样的位置关系?
点、直 线、平面 是空间图 形的基本 元素, 它 们构成了 千姿百态 的世界.

2.1.1 平面
问题 2. 你能说明平面是一个什么样的形状吗? 你所在的教室中, 哪些是平面图形, 它们的位置关系 如何? 你能在纸上画出这些平面图形吗? 几何里的“平面”, 是从物体的平面图形中抽象 出来的, 它象水平面一样给人一种平整的感觉, 但可 以在空间任意放置, 可以向四周无限延展.

如何在纸上画图形表示平面呢? 通常,用平行四边 形来表示平面. 平面水平放置时, 平 行四边形的锐角常画成 45?, 横边画成邻边的 2 倍. 平面也可用其他平 面图形, 如用三角形、 梯形等来表示平面.

为了叙述、学习、研究的方便,各个平面要有 一个名称。一般用希腊字母 a、b、g 等表示。也可 用表示平面的平面图形的顶点字母表示(如下面的 图形)。

a b
平面a
A B

D

E
C 平面BCF

F

平面b

当一个平面的一部分被另一个平面遮住时, 应 把被遮部分的线段画成虚线或不画, 这样, 看起来 立体感强一些.

a
l

a∩b = l. b

画如图的平面与平面相交时, ① 注意画好交线, ② 注意画好被遮部分.

两平面相交, 用符号 “∩” 表示, 如:

练习: (补充) 1. 画一水平放置的平面 a. 2. 画一竖直放置的平面 b. 3. 画一水平放置的平面 a 与一竖直放置的平面 b 相交.

4. 画两竖直放置的平面 d 和 g 相交.

a
b b

g d

【点与直线, 点与平面】

1. 直线可以看作是点的集合, 即直线上的每一个 点是直线的元素. 若点 A 在直线 l 上, 记作 A∈l . B 可叙述为: 直线 l 经过点 A. A l 点 B 在直线 l 外, 记作 B?l. 2. 平面也可以看作是点的集合, 即平面内的每 一个点是平面的元素. 若点 A 在平面 a 内, 记作 B A∈a .
● ● ●

点 B 在平面 a 外 , 记作

B ? a.

A



【直线与平面】 直线可以看作是平面的子集, 它们的元素是点. 直线 l 在平面 a 内, 记作 l a l ?a. 也可叙述为: 平面 a 经过直线 l. l 直线 l 与平面 a 相交于点 P,

记作

l ∩a = P.

a

P

直线 l 与平面 a 只有一个公共点, 或无公共点, 称为直线 l 在平面 a 外, 记作 l ? a.

l
a

例 1. 如图, 用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系. 解: 图 (1) A?a, B?a, A?a, B?b, 即 a∩a = A, a∩b = B; a∩b = l. 图 (2) a?a, b?b, a∩b = l, a∩b = P, a∩l = P, b∩l = P.
a
A l

b
B

a
a a P

l
b

b

(1)

(2)

【三个公理】 问题 1. 将一把直尺一边的两端放在一张桌面上, 直尺的这条边是否都贴在桌面上的? 请你对这一现 象归纳出一个结论. 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 如图: A∈l , B∈l , B


A∈a , B∈a ,

?l?a.

l A


此公理用来判断直线是否在平面内.

问题 2. 在不太平整的地面上放一张三条腿的桌 子和一张四条腿的桌子, 哪一张能安放得较稳当? 你 能从中归纳出一个结论吗? 公理 2 过不在一条 直线上的三点, 有且只有 一个平面. 如图: A、B、C三点不共线, 则过点 A、B、C 有且只有 一个平面.

B i

Ai

i

C

a

在生活中, 三点确定平面的应用很广.

茶几、坐椅

问题 3. (1) 过一直线和直线外一点, 是否可以 确定一个平面? (2) 过两条相交直线是否可以确定一个平面? (3) 过两条平行线是否可以确定一个平面?

问题 4. 如图的两个平面有一个公共点, 那么它 们还有其它公共点吗? 如果没有, 为什么? 如果有, 那么这些点在什么地方? 你能根据你的判断归纳出 一个结论吗? 平面是向四周无限延展的, 当平面 a 延展后, 与平面 b 就不止一个公共点了. 公理 3 如果两个不 重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.

a


P

P?a∩b ? a∩b = l, 且 P?l.

这里 “a∩b = l ”, 表示平面 a 与 b 相交于直线 l.

问题 5. 如图, 平面 a 和平面 b 相交于直线 l, 如 果 a 内的直线 l1 与 b 内的直线 l2 会相交于一点 P, 问 P 点是否一定在直线 l 上?为什么?
l1∩l2 = P, ? P∈l1, P∈l2, l1 ? a, ? P∈a, l2 ? b, ? P∈b, ∴ P? a∩b, l
a

l1 l2

P

则点 P 应在 a 和 b 的交线上, (如图) ∴ 点 P 一定在直线 l 上.

【课时小结】
1. 点、线、面的关系符号 点在(不在)直线上, 点在(不在)平面内: ?, ? 直线在(不在)平面内: ?, ? 相交符号: ∩ 两直线相交: l1∩l2 = P, 直线与平面相交: l∩a = Q, 平面与平面相交: a∩b = l 2. 画图要点 ① 被遮线条画虚线或不画; ② 在平面内的直线要画在表示平面的图形内; ③ 两平面相交, 先确定交线.

【课时小结】
3. 三个公理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. (确定直线上的点在平面内) 公理 2 过不在一条直线上的三点, 有且只有一 个平面. 三推论: ① 两相交直线确定平面; ② 两平行直 线确定平面; ③ 直线外的点与直线确定平面. (确定一个平面) 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (两平面的公共点在交线上)

练习: (课本43页)

第 1、2、3、4 题. 习题 2.1 A组 第 1、 2 题 .

练习: (课本43页) 1. 下列命题正确的是 ( D ) (A) 经过三点确定一个平面 (B) 经过一条直线和一个点确定一个平面 (C) 四边形确定一个平面 (D) 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D C 分析: (A) 三点共线时不成立. A (B) 点在直线上时不成立. (C) 如图的四边形ABCD B 不是平面. l2 (D) 如图, 设 l1∩l2 确定平面 a, l1 A 则 B?a, C?a, ? l3?a. l
B C

3

2. (1) 不共面的四点可以确定几个平面? (2) 共点的三条直线可以确定几个平面?

解: (1) 四点不共面, 则
无三点共线, 如图. 经过每三点都能确定一 个平面, 则可确定 4 个平面. 如图: 平面ABC, 平面ABD, 平面ACD, 平面BCD. A·

·

B

C ·

· D

2. (1) 不共面的四点可以确定几个平面? (2) 共点的三条直线可以确定几个平面?

解: (2) 当三条直线共面时,
能确定 1 个平面 (如图); 当三条直线不共面时, 如图, 每经过两条都能确定一个平面, 所以能确定 3 个平面. 即经过共点的三条直线可以 确定 1 个或 3 个平面. l2 l3 l1
l1

l3

b

a g

3. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划 “√”, 错误的划 “×”. (1) 平面 a 与平面 b 相交, 它们只有有限个公共 点. ( ) (2) 经过一条直线和直线外一点, 有且只有一个 平面. ( ) (3) 经过两条相交直线有且只有一个平面. ( ) (4) 如果两个平面有三个不共线的公共点, 那么 这两个平面重合. ( )

4. 用符号表示下列语句, 并画出相应的图形: (1) 点 A 在平面 a 内, 但点 B 在平面 a 外; (2) 直线 a 经过平面 a 外的一点 M; (3) 直线 a 既在平面 a 内, 又在平面 b 内. 解: (1) A?a, B?a.
(2) a?a, M?a, M?a. A· B ·

a

a

M ·
a

4. 用符号表示下列语句, 并画出相应的图形: (1) 点 A 在平面 a 内, 但点 B 在平面 a 外; (2) 直线 a 经过平面 a 外的一点 M; (3) 直线 a 既在平面 a 内, 又在平面 b 内. 解: (3) a?a, a?b. 或 a∩b = a.

a

a b

习题 2.1

A组

1. 画出满足下列条件的图形: a∩b = l, AB?a, CD?b, AB//l, CD//l.

解: 画图如下:

b

C

D B l

a

A

2. 如图, 试根据下列要求, 把被遮挡的部分改为虚线: (1) AB 没有被平面 a 遮挡; (2) AB 被平面 a 直挡. 解: 如图: A B

a

a

A B
(1)

a

A B (2)

2.1.2 空间中直线与直线之间
的位置关系

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1. 空间中的两条直线有几种位置关系? 2. 什么叫两直线共面? 什么叫两直线异面? 3. 公理 4 的内容是什么? 其作用是什么?

4. 什么叫两异面直线所成的角? 范围有多大?
5. 空间两直线垂直是怎样规定的? 一定有垂 足吗?

问题 1. 在如图的长方体中, AB 和 A?B? 所在的 直线在一个平面内吗? 它们会相交吗? AB 和 B?C? 在一个平面内吗? 它们会相交吗? AB 和 BC 呢? D? C? AB 与 A?B? 在平面 AB? 内,

且互相平行;
AB 与 B?C? 不在任何一个 平面内, 它们既不平行, 也不 相交, 我们把这样的直线叫做

A?

B?

D
A

C

B

异面直线; AB 与 BC 在平面 AC 内, 它们是相交直线.

空间两条直线的位置关系有且只有三种: (1) 相交直线 —— 有且仅有一个公共点; (2) 平行直线 —— 在同一个平面内, 没有公共点; (3) 异面直线 —— 不同在任何一个平面内, 没有公共点. 平行直线、相交直线属共面直线. 共面

问题 2. 如图的两条直线是什么位置关系? 怎样 画才能使我们看出它们是异面直线? 可能是相交的, 也可能是异面的. 为了表示直线 a、b 不共面 的特点, 作图时, 通常用一个 或两个平面衬托. b b

a

a

a
a

b a

b
a

问题 3. 如图是一个正方体表面的展开图, 如果 将它还原为正方体, 那么 AB, CD, EF, GH 这四条 直线相互是什么位置关系? A C
A H GC B F H E D G





D

B

E

AB与CD异面, AB与EF相交, AB与GH异面, CD与EF平行, CD与GH相交, EF与GH异面.

F GC
E H D BF A

问题 4. 在如图的长方体中, 在平面 AD? 内, A?D?//AD, 在平面 A?C? 内, A?D?//B?C?, 问 AD 与 B?C?是否平行? D?

C?

公理 4 平行于同一条 直线的两条直线互相平行.
AD// A?D?, B?C?//A?D?,

A? D A

B? C B

? AD//B?C?.

此公理表明: 空间同平行于一已知直线的所有

直线都互相平行.

问题 5. 已知平面 a∩b = l, 分别在 a、b 内画直 线 a、b, 请问怎样画才能使 a∥b.
在平面 a 内画直线 a//l, 在平面 b 内画直线 b//l,

a
l

根据公理 4 即得 a//b.

b

例 2. 如图, 空间四边形 ABCD 中, E、F、 G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点, 求证: 四边形 EFGH 是平行四边形. A 证明: 连结对角线 BD, ∵ E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点, B ∴ 在△ABD和△CBD中, EH//BD, 且 EH = 1 BD, 2 ? EH 1 BD, 且 FG = FG//BD, 2 ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
E H D G F C

FG,

例 2. 如图, 空间四边形 ABCD 中, E、F、 G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点, 求证: 四边形 EFGH 是平行四边形. A 问题: 如果在条件中加上, E AC = BD, 四边形 EFGH 是 B 什么图形? 已证得 EFGH 是平行四边形. 由 AC=BD 可证得 EH=EF, ∴ 四边形 EFGH 是菱形.
H D G F C

(请同学们写出证明过程).

1. 选择题: (1) 如果直线 a 与 b 没有公共点, 那么 a 与 b ( D ) (A)异面. (B) 平行. (C)共面. (D) 平行或异面. (2) 设直线 a、b 分别是长方体的相邻两个面的 对角线所在的直线, 则 a 与 b ( D ) (A) 平行. (B) 相交. (C) 异面. (D) 相交或异面.
D1

练习: (补充)

a b
B1

C1

A1 D

C B

A

【异面直线所成的角】 问题 6. 在如图的三棱柱中, D、D?分别是 BC、 B?C? 的中点, 请问∠ADB与∠A?D?B? 的两边分别平行 吗? 这两个角有什么关系? ∠ADB 与∠A?D?C? 呢? 由此你能类似地找出其它角的这种关系吗? A? AD//A?D?, ?∠ADB=∠A?D?B?. DB//D?B?, D? C? B? AD//A?D?, ?∠ADB+∠A?D?C?=180?. A DB//D?C?,

定理 空间中如果两个角的 两边分别对应平行, 那么这两个 角相等或互补.

C B D

问题 7. 两直线异面时, 它们构成有角吗? 我们 用什么来刻划两异面直线交叉的程度? 规定: 已知两异面直线 a, b. 经过空间任一点 O 作直线 a?//a, b?//b, 我们把 a? 与 b? 所成的锐角 (或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角). (1) 点O常取在两异面直线中 O a ? · 的一条上较为简便. b? b b? (2) 常找图形中已存在的平 a? O a D? 行线. C? a O B? 如图中, AB A? 与B?C?所成的角为 D C ∠A?B?C?. A B

问题 8. 在如图的三棱柱中, 底面是等边三角形, 侧面都是正方形. (1) 异面直线AB与B?C?的夹角是多少? (2) 异面直线AA?与CB?所成的角是多少? (3) 异面直线A?C?与BB?所成的角是多少? C? (1) ∵A?B?//AB, A? ∴∠A?B?C?就是AB与B?C?的夹角, ∠A?B?C?=60?, 即 AB与B?C?的夹角是60?. C

B?

A

B

问题 8. 在如图的三棱柱中, 底面是等边三角形, 侧面都是正方形. (1) 异面直线AB与B?C?的夹角是多少? (2) 异面直线AA?与CB?所成的角是多少? (3) 异面直线A?C?与BB?所成的角是多少? C? (2) ∵BB?//AA?, A? ∴∠BB?C就是AA?与CB?的夹角, ∠BB?C=45?, 即 AA?与CB?的夹角是45?. C

B?

A

B

问题 8. 在如图的三棱柱中, 底面是等边三角形, 侧面都是正方形. (1) 异面直线AB与B?C?的夹角是多少? (2) 异面直线AA?与CB?所成的角是多少? (3) 异面直线A?C?与BB?所成的角是多少? C? (3) ∵AA?//BB?, A? ∴∠AA?C?就是A?C?与BB?的夹角, ∠BB?C=90?, C 即 A?C?与BB?的夹角是90?.

B?

如果两条异面直线所成的 角是直角, 就说这两条直线互 相垂直, 用符号 “⊥” 表示.

A

B

例 3. 如图, 已知正方体ABCD-A?B?C?D?. (1) 哪些棱所在直线与直线BA?是异面直线? (2) 直线BA?和CC?的夹角是多少? (3) 哪些棱所在的直线与直线AA?垂直?
D? 解: (1) 与直线BA?异面的直线有 D?C?, B?C?, DD?, CC?, AD, DC. A? (2) ∵BB?//CC?, D ∴∠B?BA?为BA?与CC?的夹角, A 而∠B?BA?=45?, C? B? C B

∴直线BA?和CC?的夹角是45?. (3) 与直线AA?垂直的直线有 A?B?, B?C?, C?D?, D?A?, AB, BC, CD, DA.

练习: (课本48页) 第 1、2 题.

练习: (课本48页)
D? 1. 填空题. (1) 如图, AA?是长方体的一条 A? D 棱, 长方体中与AA?平行的 棱共有 3 条. A

C?
B?

C
B

(2) 如果 OA//O?A?, OB//O?B?, 那么∠AOB 和 ∠A?O?B? 相等或互补 . B? b A? O? A?
B

a

O

A

2. 如图, 已知长方体 ABCD-A?B?C?D? D? 中, AB = 2 3, AD = 2 3, AA?=2. A? D (1) BC和A?C?所成的角是多少度? (2) AA?和BC?所成的角是多少度? A

C? B? C B

解: (1) ∵B?C?//BC, 则∠A?C?B?就是BC和A?C?所成的角, 在Rt△A?B?C?中, A?B?=AB= 2 3 , B?C?=AD= 2 3 , ∴∠A?C?B?=45?. 答: BC和A?C?所成的角是45度.

2. 如图, 已知长方体 ABCD-A?B?C?D? D? 中, AB = 2 3, AD = 2 3, AA?=2. A? D (1) BC和A?C?所成的角是多少度? (2) AA?和BC?所成的角是多少度? A 解: (2) ∵BB?//AA?, 则∠B?BC?就是AA?和BC?所成的角, 在Rt△B?BC?中, BB?=AA? =2, B?C?=AD= 2 3 , 则 tan∠B?BC?= 2 3 = 3 , 2 得 ∠B?BC?= 60?, 答: AA ?和BC?所成的角是60度.

C? B? C B

【课时小结】 1. 空间两条直线的三种位置关系

相交 — 有且仅有一个公共点;
平行 — 在同一个平面内, 没有公共点; 2. 公理 4

共面

异面 — 不同在任何一个平面内, 没有公共点. 平行于同一条直线的两直线互相平行. (判断空间的两直线平行)

【课时小结】

3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补. (定义异面直线所成角的基础) 4. 两异面直线所成的角 ① 角的范围 (0?, 90?].
② 由定义找角: 相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线. ③ 垂直 异面垂直, 无垂足.

习题 2.1 A组 第 3、5、6 题. B组 第 1 题.

习题 2.1 A 组 3. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划 “√”, 错误的划 “×”. (1) 梯形可以确定一个平面. ( ) (2) 圆心和圆上两点可以确定一个平面 . ( ) 两点在直径两端时不成立 (3) 已知 a, b, c, d 是四条直线, 若 a//b, b//c, c//d, 则 a//d. ( ) (4) 两条直线 a, b 没有公共点, 那么 a 与 b 是异 面直线. ( ) (5) 若 a, b 是两条直线, a, b 是两个平面, 且 a?a, b?b, 则 a, b 是异面直线. ( )
a
b

a b

5. 如果一条直线与两条平行直线都相交, 那么 这三条直线是否共面? 答: 这三条直线是共面直线 (如图).
l1//l2, ?确定平面 a, l1

l∩l1=A, l∩l2=B,
则 A?a, B?a, 则直线 l?a, ∴三条直线共面于 a.

A
B

a
l

l2

6. 如图, 已知 AA?, BB?, CC? 不共面, 且 AA?//BB?, AA?=BB?, BB?//CC?, BB?=CC?, 求证 A? △ABC≌△A?B?C?. A

证明: ∵ AA?//BB?, AA?=BB?,

B C

B?

C?

?ABB?A?是□, ?AB = A?B?; ① 同理得 BC = B?C?; ② 又 AA?//BB?, AA?=BB?, ? AA? CC?, BB?//CC?, BB?=CC?, 即 ACC?A?是□, ?AC = A?C?. ③

由①②③得△ABC≌△A?B?C?.

1. 选择题. (1) 如图是正方体的平面展开图, 则这个正方体中: ① BM与ED平行. ② CN与BE是异面直线. ③ CN与BM成60?角. ④ DM与BN垂直. 以上四个命题中, 正确命题的序号是 ( C ) (A) ①、 ② 、③ (B) ②、 ④ (C) ③、 ④ (D) ②、③、④ ① 异面. ② 平行. ①②错, 排除 (A) (B) (D).
N E D F

B组

M

N
D C B F M

C
B

E

A

A

(2) 如图, 正方体ABCD-A?B?C?D?中, AB的中点 为M, DD?的中点为N, 则异面直线B?M与CN所成的 角是 ( D ) (A) 0? (B) 45? (C) 60? (D) 90? 取AA?的中点N?, 则 BN?//CN, 而 BM?⊥BN?, ∴ 应选D.
D?

C? B?

A?
N? A

N D M B C

(3) 给出三个命题 ① 若两条直线和第三条直线所成的角相等, 则这 两条直线互相平行. ② 若两条直线都与第三条直线垂直, 则这两条直 线互相平行. ③ 若两条直线都与第三条直线平行, 则这两条直 线互相平行. 其中不正确的个数是 ( C )


(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 D? ① 如图: A? AB⊥AA?, AD⊥AA?, 而AB // AD. ②与①同. D ③ 满足公理4. A

B?

C?

C B

2.1.3

2.1.4

空间中直线与平面 平面与平面 之间的位置关系

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1. 直线与平面有哪些位置关系? 这些位 置关系各有什么特点? 2. 平面与平面有哪些位置关系? 这些位 置关系各有什么特点?

2.13 空间中直线与平面之间的位置关系
问题 1. 在空间, 你认为直线和平面有哪几种位 置关系? 各种关系的特点是什么? 在空间, 直线和平面有且只有三种位置关系:

(1) 直线在平面内—— 有无数个公共点; (2) 直线和平面相交—— 有且只有一个公共点; (3) 直线和平面平行—— 没有公共点.
我们把直线和平面相交或 平行统称为直线在平面外. 直线 l 与平面 a 平行时, 记作 l //a.
l1 P

l3

l2

a

例4. 下列命题中正确的个数是 ( B ) ① 若直线 l 上有无数个点不在平面 a 内, 则 l //a. ② 若直线 l 与平面 a 平行, 则 l 与平面 a 内的任意一 条直线都平行. ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么 另一条也与这个平面平行. ④ 若直线 l 与平面 a 平行, 则 l 与平面 a 内的任意一 条直线都没有公共点. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 分析: 长方体就是一个空间模型, A? 借助长方体即可观察和分析. l D ① 如图的反例, 则①错. ② l //a, 而 l //A?D?, ②错. A ③ AB//A?B?, AB//a, 但A?B?//a, ③错.
D?
B?

a

C? C

B

练习: (课本49页) 若直线 a 不平行于平面 a, 且 a?a, 则下列结论 成立的是 ( B ) (A) a 内所有直线与 a 异面 a (B) a 内不存在与 a 平行的直线 P a (C) a 内存在唯一的直线与 a 平行 l l (D) a 内的直线与 a 都相交 分析: 直线 a 既不平行平面 a, 也不在 a 内, 则 一定与 a 相交. 如图, (A)的反例, l与 a 不异面, (A)错. 又如图, l 与 a 不相交, (D)错.

a 内找不到与 a 平行的直线, ∴选B.

2.1.4 平面与平面之间的位置关系
问题 1. 观察教室内的物体, 你认为空间中两个 平面有怎样的一些位置关系? 空间中, 两个平面间的位置关系有且只有两种: (1) 两个平面平行—— 没有公共点; (2) 两个平面相交—— 有一条公共直线.
a
b a

a
b

画两平面平行时, 将表示平面的□对应边画平行. 平面 a 与平面 b 平行, 记作 a//b.

问题 2. 已知平面 a、b, 直线 a、b, 且 a //b, a?a, b?b, 则直线 a 与直线 b 具有什么样的位置 关系?

借助正方体模型, 平面A?C?为 a, 平面AC为 b,
当 A?B?=a, AB=b 时, a//b;

D? A?

C? B?
C

a a b
D

当 A?B?=a, BC=b 时,
a 与 b 异面. a 与 b 一定不会相交.

A

b

B

练习: (课本50页)

练习: (课本50页)

如果三个平面两两相交, 那么它们的交线有多 少条? 画出图形表示你的结论.
答: 有一条或三条, 如图.

b
a
b c

a
b a g

【课时小结】
1. 空间中直线与平面的位置关系 直线在平面内 — 有无数个公共点; 直线和平面相交 — 有且只有一个公共点; 直线和平面平行 — 没有公共点. 2. 平面与平面的位置关系 两个平面平行 — 没有公共点; 两个平面相交 — 有一条公共直线. 直线 在平 面外

习题 2.1 A组 第 4、 7、8 题. B组 第 2、3 题.

习题 2.1 A 组 4. 填空题. (1) 已知 a, b, c 是三条直线, 且 a//b, a 与 c 的 夹角为 q, 那么 b 与 c 的夹角为 ; (2) AA? 是长方体的一条棱, 这个长方体中与 AA? 垂直的棱共 条; (3) 如果 a, b 是异面直线, 直线 c 与 a, b 都相交, 那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个; (4) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平 行, 则这条直线与另一个平面的位置关系是 ; (5) 已知两条相交直线 a, b, a //平面 a, 则 b 与 a 的位置关系是 ; (6) 设直线 a, b 分别是长方体相邻两个面的对角 线所在的直线, 则 a 与 b 的位置关系是 .

习题 2.1 A 组 4. 填空题. (1) 已知 a, b, c 是三条直线, 且 a//b, a 与 c 的 夹角为 q, 那么 b 与 c 的夹角为 q ; 解: ∵a//b, ∴b 与 c 的夹角就是 a 与 c 的夹角.

习题 2.1 A 组 4. 填空题. (2) AA? 是长方体的一条棱, 这个长方体中与 AA? 垂直的棱共 8 条;

解: 由两直线的夹角知 上底面4条棱和下底面4条棱 都与AA?垂直.

D?

C?

A? D

B?

C
B

A

习题 2.1 A 组 4. 填空题. (3) 如果 a, b 是异面直线, 直线 c 与 a, b 都相交, 那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 2 个;

解: 如图, 在长方体模型中, D? b AB = a, A?D? = b, AA? = c, A?
其中只有两相交的直线能确 定平面. 即 a, c 确定一个平面, b, c 确定一个平面. c D
A

C? B? C

a

B

习题 2.1 A 组 4. 填空题. (4) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平 在这个平面内 行, 则这条直线与另一个平面的位置关系是 ; 或平行 解:上底面A?C?//下底面AC. D? C? 直线A?B?//平面AC, B? A? 直线A?B??平面A?C?. D
E F C

又分别取AA?, BB?的 中点E, F, 直线EF//平面AC, 直线EF//平面A?C?.

A

B

习题 2.1 A 组 4. 填空题. (5) 已知两条相交直线 a, b, a //平面 a, 则 b 与 . a 的位置关系是平行或相交 ;

解: 只有如图的两种情况. a
a

b

b

b a
a
P

b//a.

b∩a = P.

习题 2.1 A 组 4. 填空题. (6) 设直线 a, b 分别是长方体相邻两个面的对角 线所在的直线, 则 a 与 b 的位置关系是 相交或异面 .

解: 如图,
D1
A1

a b
B1

C1

D
A

C B

7. 如图, 三条直线两两平行且不共面, 每两条 确定一个平面, 一共可以确定几个平面? 如果三条 直线相交于一点, 它们最多可以确定几个平面? 答: 第一个问能 确定三个平面, 如图; 第二个问也能确定三 个平面, 如图.
b

a

a

b

8. 正方体各面所在平面将空间分成几部分? 分析: 如图: 现在分成了 3?3=9 (个) 9 部分. 3?3=9 (个) 现在分成了 18 部分. 3?3=9 (个)
D?
A? D A B C?

B?

现在分成了 27 部分.
3?9=27 (个) 把空间分成了27个部分.

C

B组 2. 如图, △ABC 在平面 a 外, AB∩a = P, BC∩a = Q, AC∩a = R, 求证: P, Q, R 三点共线. 证明: ∵AB∩a =P, A AC∩a =R, B 则 P、R 就是平面ABC C P 与平面 a 的公共点, 即 a Q R 平面ABC与平面 a 交于过 P、R 的一条直线. 又BC在平面ABC内, BC∩a = Q, 则Q为平面ABC与平面 a 的公共点, 则Q必在平面ABC与平面 a 的交线PR上, ∴ P, Q, R 三点共线.

B组 3. 空间四边形 ABCD 中, E, F 分别是 AB 和 CB 上的点, G, H 分别是 CD 和 AD 上的点, 且 EH 与 FG 相交于点 K. 求证: EH, BD, FG 三条直线相 交于同一点.
思路: 如果点 K 是平面 ABD与平面 CBD 的公共点, 则点 K 必在 BD 上.
A E B F H D G C

K

B组 3. 空间四边形 ABCD 中, E, F 分别是 AB 和 CB 上的点, G, H 分别是 CD 和 AD 上的点, 且 EH 与 FG 相交于点 K. 求证: EH, BD, FG 三条直线相 交于同一点. A 证明: ∵ EH∩FG = K, 则 K?直线 EH, K?直线FG, E H 又 GH?平面ABD, B D K FG?平面CBD, G F ∴ K?平面ABD, K?平面CBD, C 即 K 是平面ABD与平面CBD的公共点. 又 BD 是平面ABD与平面CBD的公共直线, ∴BD 必经过点 K, 即 EH, BD, FG 三条直线相交于同一点 K.

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1. 位置关系及符号表示 (1) 点与线 点在直线上: ?. 点在直线外: ?. (2) 点与面 点在平面内: ?. 点在平面外: ?. (3) 线与线 线线平行: //. 线线相交: ∩. 线线异面: 画异面直线, 常借助平面. (4) 线与面 直线在平面内: ?, 直线在平面外: 平行(//), 或相交(∩). (5) 面与面 面面平行: //, 面面相交: ∩. 画面面相交, 其要点是确定好交线.

2. 四个公理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 公理 2 过不在一条直线上的三点, 有且只有一 个平面. 三推论: ① 两相交直线确定平面; ② 两平行直 线确定平面; ③ 直线外的点与直线确定平面. 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行.

4. 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么 这两个角相等或互补. 5. 两异面直线所成的角 ① 角的范围 (0?, 90?]. ② 由定义找角: 相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线.

③ 垂直 异面垂直, 无垂足.

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例1. 已知直线 l 和点 P, P?l. 画平面 a, b, g, 使 l?a, l?b, P?g, g∩a=m, g∩b=n. 解: 如图, 已知直线 l 和点 P. (1) 过 l 分别画平面 a, b.

(2) 过点 P 分别在平面 a,

a

b 内画交线 m, n.
(3) 以 m, n 为邻边画平行 四边形表示平面 g. 要点: 先画两相交平面的交线.

m g
b

· P

l

n

例2. 给出下面四个命题 ① 如果直线 a//c, b//c, 那么a、b可以确定一个平 根据公理 4, 得 a//b, 可确定一个平面. 面; ② 如果直线 a 和 b 都与直线 c 相交, 那么a、b可 以确定一个平面; 借助正方体, 如图, a, b 不共面. ③ 如果 a⊥c, b⊥c, 那么a、b可以确定一个平面; ④ 直线 a 过平面 a 内一点与平面 a 外一点, 直线 b 在平面 a 内不过该点, 那么 a 和 b 是异面直线. 上述命题中, 真命题的个数是 ( B ) A D (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 B Cb c · 借助正方体, ③ 也不对. aA 1 D1 ④ 如图, a, b 不可能平行, 也不 b a B1 · C1 可能相交, 则异面是对的.

例3. 如图, a, b, c 为不共面的三条直线且相交 于一点 O, 点 M, N, P 分别在直线 a, b, c 上, 点 Q 是 b 上异于 N 的点, 判断 MN 与 PQ 的位置关系, 并 说明理由. O 解: MN 与 PQ 异面. 其理由是: 如果 MN 与 PQ 共面于a, Q P M 则 M, N, P, Q 四点在 a 内, N ∵直线 b 在 a 内, c b a 即得点 O 在 a 内, 那么 OP, OM 在 a 内, 则直线 a, b, c 都在 a 内了, 这与 a, b, c 不共面矛盾了, ∴ MN 与 PQ 不可能共面.

例4. 如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠ACB =90?, 侧面 AA1C1C, BB1C1C 都是正方形, AA1B1B是矩形, 求异面直线 A1B1 与 BC1 所成的角的大小. 解: 在矩形 AA1B1B 中, A1B1//AB, ∴A1B1 与 BC1 所成的角就是∠ABC1. 连结 AC1, 在正方形 AA1C1C C1 和 BB1C1C 中, CC1=CA=CB, ∠ACC1=∠BCC1=∠ACB=90?,
A1 C A B B1

则 △ACC1≌△BCC1≌△ACB, 得 AB=AC1=BC1, ∴∠ABC1=60?.
即 A1B1 与 BC1 所成角的大小为60?.

例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列四个命题: ① 过 M 点有且只 有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; ② 过 M 点有且 只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直; ③ 过 M 点有 且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; ④ 过 M 点 有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真 命题是 ( ) A D (A) ②③ ④ (B) ①③ ④ B C M a (C) ①② ④ (D) ①②③ · A1 D1 分析: ① 过直线 AB 和点 M B1 C1 P 作平面 a, 这样的 a 有且只有一个, 且 a 必与直线 B1C1 相交于唯一点, 设为点 P, 则在 a 内, 有且只有一条 PM 必与 AB 相交.

例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列四个命题: ① 过 M 点有且只 有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; ② 过 M 点有且 只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直; ③ 过 M 点有 且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; ④ 过 M 点 有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真 命题是 ( ) A D (A) ②③ ④ (B) ①③ ④ B C M (C) ①② ④ (D) ①②③ · A1 D1 分析: ② 过 M 点垂直直线 AB B1 C1 的直线都在 平面 AA1D1D 内. 过 M 点垂直直线 B1C1 的直线都在 平面 CC1D1D 内, 则 M 点只有在这两平面的交线 DD1上.

例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列四个命题: ① 过 M 点有且只 有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; ② 过 M 点有且 只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直; ③ 过 M 点有 且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; ④ 过 M 点 有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真 命题是 ( ) A D (A) ②③ ④ (B) ①③ ④ B C M (C) ①② ④ (D) ①②③ · A1 D1 分析: ③ 如图, 可作无数个平面 B1 C1 与直线 AB, B1C1 都相交.

例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列四个命题: ① 过 M 点有且只 有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; ② 过 M 点有且 只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直; ③ 过 M 点有 且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; ④ 过 M 点 有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真 命题是 ( C ) A D (A) ②③ ④ (B) ①③ ④ B C M (C) ①② ④ (D) ①②③ · A1 D1 分析: ④ 有且只有如图的一个 B1 C1 平面与 AB, B1C1 都平行.


(共10题)

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1. AB, CD 是表示平面 a, b 的两个平行四边形的边, EF 是 a 与 b 的交线, 根据给出的条件画出两个 相交平面 a, b. F D A E D
F C 2. 用符号表示语句: “直线 l 经过平面 a 内一定点 P, 但 l 在 a 外.” 并画出图形. 3. a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 的位置关系是 ( (A) 相交、平行或异面 (B)相交或平行 (C) 异面 4. 回答下列问题: (1) 过空间一点有几条直线与一已知直线平行? (2) 过空间一点有几条直线与一已知直线垂直? (3) 过空间一点有几个平面和已知平面平行? (4) 过空间一点有几个平面和一已知平面平行? 5. 下列四个命题中, 假命题的个数是 ( ) ① 两条直线都和同一个平面平行, 则这两条直线平行. ② 两条直线没有公共点, 则这两条直线平行. ③ 两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行. ④ 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 则这条直线和这个平面平行. (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 6. 平面 a 与 b 平行, 且 a?a, 下列四个命题中: ① a 与 b 内的所有直线平行. ② a 与 b 内的无数条直 线平行. ③ a 与 b 内的任何一条直线都不垂直. ④ a与 b 无公共点. 其中真命题的个数是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 7. 若直线 l 不平行于平面 a, 且 l?a, 则 ( ) (A) a 内的所有直线与 l 异面 (B) a 内不存在与 l 平行的直线 (C) a 内存在唯一的直线与 l 平行 (D) a 内的直线与 l 都相交 ) (D)平行或异面 C

B

A

E

B

8. 分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线吗? 为什么?
9. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M, N 分别是 A1B1, A1D1 的中点. (1) 四边形 BDNM 是不是平面四边形? 为什么? (2) 直线 BM 与 DN 是否相交? 如果不相交, 说明理由; 如果相交, 指出交 点位置, 并画出图形. N D1 M B1 C1

A1

D A

C

B 10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是棱 AA1, CC1 的中点, 则在空间中与三条直线A1D1, EF, CD 都相交的直线 ( ) (A) 不存在 (B) 有且只有两条 (C) 有且只有三条 (D) 有无数条

1. AB, CD 是表示平面 a, b 的两个平行四边形 的边, EF 是 a 与 b 的交线, 根据给出的条件画出两 个相交平面 a, b.
A C F F E

D A B
C

D

E

B

解: (1) 过 AB, CD 的各端点分别画 EF 的平行线. (2) 过点 F 分别画 AB, CD 的平行线与 EF 的平 行线相交得表示平面的两平行四边形. (3) 将被遮线条改为虚线.

2. 用符号表示语句: “直线 l 经过平面 a 内一定 点 P, 但 l 在 a 外.” 并画出图形. 解: P?a, P?l, l? a l

a P

3. a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 的位置关系是 ( A ) (A) 相交、平行或异面 (B)相交或平行 (C) 异面 (D)平行或异面 解: 借助正方体分析. 情形一: a, c 相交. 情形二: a, c 平行.
B1 A1

c

D1

a
B

c
A

c

C1

情形三: a, c 异面.

bD
C

4. 回答下列问题: (1) 过空间一点有几条直线与一已知直线平行? (2) 过空间一点有几条直线与一已知直线垂直? (3) 过空间一点有几个平面和已知平面平行? (4) 过空间一点有几个平面和一已知平面平行? 答: (1) 若点在已知直线上, 过点没有与已知直线 平行的直线. 若点不在已知直线上, 则过点有且只有一条直线 与已知直线平行. D C B (2) 过空间一点有无数条直线 A 与一已知直线垂直, 如图: D1 C1 过点 A1 可作无数条直线垂直于 AA1. ·
A1 B1

4. 回答下列问题: (1) 过空间一点有几条直线与一已知直线平行? (2) 过空间一点有几条直线与一已知直线垂直? (3) 过空间一点有几个平面和一已知平面平行? (4) 过空间一点有几个平面和一已知平面本交? 答: (3) 若点在已知平面上, 过点没有与已知平面 平行的平面. 若点不在已知平面上, 则过点有且只有一个平面 与已知平面平行. (4) 过空间一点有无数个平面和一已知平面相交.

5. 下列四个命题中, 假命题的个数是 ( A ) ① 两条直线都和同一个平面平行, 则这两条直线 平行. ② 两条直线没有公共点, 则这两条直线平行. ③ 两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行. ④ 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 则 这条直线和这个平面平行. (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 D C 解: 借助正方体, 如图: B A 相交直线 AB, AD 平行底面, ① 假. D1 C1 异面直线也没有公共点, ② 假. A1 B1 相交直线 AB, AD 都垂直AA1, ③ 假. AA1与底面相交, 但与底面内无数条直线都没有 公共点, ④ 假.

6. 平面 a 与 b 平行, 且 a?a, 下列四个命题中: ① a 与 b 内的所有直线平行. ② a 与 b 内的无数条直 线平行. ③ a 与 b 内的任何一条直线都不垂直. ④ a 与 b 无公共点. 其中真命题的个数是 ( B ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解: 如图:

① 错. ② 对. ③ 错. ④ 对.

a

a
b

7. 若直线 l 不平行于平面 a, 且 l?a, 则 ( B ) (A) a 内的所有直线与 l 异面 (B) a 内不存在与 l 平行的直线 (C) a 内存在唯一的直线与 l 平行 (D) a 内的直线与 l 都相交 l 如图: a

8. 分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两 条直线 AC、BD 一定是异面直线吗? 为什么? 答: 一定是异面直线. 如图, 如果AC、BD 不是异面直线, 则AC、BD共面. 那么 AB, CD 就共面, 就与已知中 AB、CD 异面矛盾. ∴ AC、BD 共面不成立, 则 AC、BD 一定是异面直线.
C

A

B
D

9. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N 分别是 A1B1, A1D1 的中点. (1) 四边形 BDNM 是不是平面四边形? 为什么? (2) 直线 BM 与 DN 是否相交? 如果不相交, 说 明理由; 如果相交, 指出交点位置, 并画出图形. 答: (1) BDNM 是平面四边形. 因为 MN//B1D1, BD//B1D1, 则 MN//BD, 即 MN 与 BD 确定平面, 所以 BDNM 是平面四边形.
D1 AN M
1

C1 B1 C B

D
A

9. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N 分别是 A1B1, A1D1 的中点. (1) 四边形 BDNM 是不是平面四边形? 为什么? (2) 直线 BM 与 DN 是否相交? 如果不相交, 说 明理由; 如果相交, 指出交点位置, 并画出图形. 答: (2) 由(1)得 BDNM 是梯形.
所以两腰 BM, DN 一定相交. BM 在平面 ABB1A1内, DN 在 平面 ADD1A1 内.
D1 AN M
1

C1 B1 C B

D

所以交点在这两平面的交线 AA1 A 上, 如图.

10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是棱 AA1, CC1 的中点, 则在空间中与三条直线A1D1, EF, CD 都相交的直线 ( ) (A) 不存在 (B) 有且只有两条 (C) 有且只有三条 (D) 有无数条 思路一: 找特殊位置. Q D C 连 DE 的直线可与 A1D1 相交, B A R F 排除 A 选项. E D1 · C1 连 D1F 的直线可与 DC 相交, A1 连 A1C 的直线可与 EF 相交, B1 排除 B 选项. P 如果还能找到一条, 即可排除 C 选项, 否则即选 C. 分析已找到的三条位置, 即可估计还有, 如过 DC, ER, PA1 的中点的连线.

10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是棱 AA1, CC1 的中点, 则在空间中与三条直线A1D1, EF, CD 都相交的直线 ( D ) (A) 不存在 (B) 有且只有两条 (C) 有且只有三条 (D) 有无数条 思路二: 过一直线作平面与另 D C B 两条相交, 则可在平面内作与三 A F R 条直线都相交的直线. E D1 · C1 如图, 过 DC 作平面 DPQC, Q A1 P B1 交 EF 于 R, 交 A1D1 交于 P, 在平面 DPQC 内, 直线 PR 就一定与 DC 相交. 因为过 DC 且与 EF 和 A1D1 相交的平面可以作 无数多个, 所以这样的直线有无数多条.


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