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三角函数和差与二倍角公式试题

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三角函数和差与二倍角单元检测题 一.选择题 1. 已知 sin( A.

7 9

1 ? x) ? , 则 sin 2 x 的值为 4 3 5 4 2 B. C. D. 9 9 9

?

2. cos 80? cos 35? ? cos10? cos 55? ? A.

2 2

B. ? 2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

3. 已知 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? A.

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于 2 5 4 1 1 A. B. 7 C. ? D. ?7 7 7 0 0 0 0 5. (文) sin15 cos 75 ? cos15 sin105 等于
4. 已知 ? ? ( A.0 B.

1 2

B.

?

1 3

C.

1 4

1 , 则 cos ? cos ? 的值为 3 1 D. 6

1 2

C.

3 2

D.1

6. 设 ? 是第四象限角, sin ? ? ? A.

7 5

B.

1 5

3 ? ,则 2 cos( ? ? ) ? 5 4 7 1 C. ? D. ? 5 5

7. 函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 8. 已知 sin ? ? A. ? B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

24 25
0

4 ,且 sin ? ? cos ? ? 1 ,则 sin 2? ? 5 12 4 B. ? C. ? 25 5
0

D.

24 25

9. tan15 ? cot15 的值是

A.2

B.2 ? 3

C.4

D.

4 3 3

10. 已知 sin(? ? A.

2 2 3

1 ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于 4 3 4 1 1 2 2 B.- C. D.- 3 3 3 )?

?

1

3 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值是 5 3 9 9 3 A. B.- C. D.- 5 25 25 5 2 12. 若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A ? 3 5 5 15 15 A. B. ? C. D. ? 3 3 3 3
11. 已知 cos 2? ? π π 13. 函数 y=- 3sinx+cosx 在 x∈[- , ]时的值域是 6 6 A. [0, 6 ] 2 B.[- 3,0] C.[0,1]

D.[0, 3]

14. (文)已知 cos ? A. ? 15.

π 3 ?π ? ,且 | ? |? ,则 tan ? ? ?? ? ? 2 ?2 ? 2

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D. 3

5 ,则 sin ? ? 12 1 1 5 5 A. B. ? C. D. ? 5 5 13 13 ? 12 ? ?? 16. 已知 sin ? ? ,? ? ?0, ? ,则 tan =. 2 13 ? 2? 3 2 3 2 1 A. B. 或 C. D. 2 3 2 3 2 1 ? 2 sin ? cos ? 17. 已知 tan ? ? 2, 则 的值等于 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 1 A. B.3 C.- 3 3 ? 5 cos 2? 18. 已知sin( ? ? ) ? , 则 的值为 ? 4 13 cos( ? ? )

? 是第四象限角, tan ? ? ?

D.-3

4

24 13 2 sin 2? 19. 1 ? cos 2? A.
A. tan ?

13 24 cos2 ? ? cos 2? B.

C.

13 12

D.
=

12 13

B. tan 2?

C.1

D.

1 2

20. 下列各式中,值为 A 2 sin 15 cos15 C. 2 sin 15 ? 1
2 ? ? ?

3 的是 2
B. cos 15 ? sin 15
2 ? 2 2 ? 2 ? ?

21. 已知函数 y ? sin( x ?

?
12

D. sin 15 ? cos 15

) cos( x ?

?

12

), 则下列判断正确的是
2

A.此函数的最小正周期为 2? ,其图象的一个对称中心是 ( B.此函数的最小正周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 (

?
12

, 0)

?

12

, 0) , 0)

C.此函数的最小正周期为 2? ,其图象的一个对称中心是 ( D.此函数的最小正周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 (

?
6

, 0) 6 3 11? ) 的值 22. 已知 ? ? ? ? 2? , cos( ? ? 9? ) ? ? , 求 cos(? ? 5 2 3 3 4 A. B.- C.- 5 5 5
二填空题

?

D.

4 5

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,则 tan? ? tan ? ? _____. 5 5 5 4 ? 2. 已知cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? , 且? , ? ? (0, ), 则cos ? ? ____
1. 若 cos(? ? ? ) ?

13

5

2

1 ? 3? 3. 已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是__________ 5 2 4 1 4. 函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的最大值为 . 2
5. 函数 y ? sin x cos( x ? ) ? cos x sin(x ? ) 的最小正周期 T=___________。 6. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 7. 求 cot10°-4cos10°的值_____ 三.解答题 8. (文)已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [

? 4

? 4

?
2

? x) .

? 2?
6 , 3

] 上的最大值和最小值。

9. 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

3

10. 已知函数 f(x)=cos(

?
3

? x )cos(

?
3

?x) ,g(x)=

1 1 sin2x ? . 2 4

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x) ? g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

11. (文)已知函数 f ( x) ?

1 1 cos2 x ? sin 2 x , g ( x) ? sin 2 x ? 。 2 4 2

(1)函数 f ( x ) 的图像可由函数 g ( x) 的图像经过怎样的变化得到? (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使 h( x) 取得最小值的 x 的集合。

sin 2a ? sin 2 a ?? ? 1 的值。 ? a? ? , 求 1 ? cos2a ?4 ? 5 ? ? 13. 求函数 y =2 cos( x ? ) cos( x ? ) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期. 4 4 ? 1 13 14. 已知 cos ? ? , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14 (1)求 tan 2? 的值.
12. 已知:tan ? (2)求 ? . 15. 已知 ? 为钝角,且 tan(? ? (1) tan ? ; (2)

?

1 ) ? ? 求: 4 7

cos 2? ? 1

2 cos(? ? ) ? sin 2? 4 16. 已知函数 f ?x ? ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )为偶函数,且其图像上相邻的一个最高
点和最低点之间距离为 4 ? ? 2 . ⑴求 f ?x ? 的解析式;

?

.

2 f (2? ? ) ? 1 4 ⑵若 tan ? ? cot ? ? 5 ,求 的值。 1 ? tan? 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 17. 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, ?π 1? M ? , ?. ? 3 2? (1)求 f ( x ) 的解析式; 3 12 ? π? (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 2?
4

?

18. 已知函数 f(x)=2sin x+2 3 sinxcosx+1 (1)求 f(x)的单调递增区间. (2)若不等式 f(x)≥m 对 x∈[0,

2

? ] 都成立,求实数 m 的最大值. 2

19. 已知函数 f ( x) ? (1)求 f(x)的值域; (2)若 x ? (?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

? ?

3 2 , ), 且f ( x) ? , 求 cos 2 x 的值. 4 4 5

20. 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

5

第(

三角函数和差与二倍角)单元检测题参考答案(仅供参考) 4 A 19 B 5 D 20 B 6 A 21 B 7 B 22 D 8 A 9 C 10 D 11 B 12 A 13 D 14 C 15 D

1 2 3 A A D 16 17 18 C D A 二.简答题答案: 1.

1 2

2.

16 65

3. ?

7 25

4.

5 1 5. ? 6. - 2 2

7.

3

三.解答题答案:8. (1) f ( x) ? 2 cos x sin(

?
2

? x) ? 2 cos x cos x
(2) 因为 x ? [

? 2 cos2 x ? cos2 x ? 1
随哦压 2 x ? [

所以 f ( x) 的最小正周期为π 所以 ? 1 ≤ cos 2 x ≤

? 2?
6 , 3

],

? 4?
3 , 3

]

1 2

所以 0≤ cos 2 x ? 1 ≤

3 , 2

3 ,最小值为 0 2 9. y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x
即 f ( x) 的最大值为

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ? ? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x
2
2 2

? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x ? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为 zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10 最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 10. (1)f(x)= cos(

π π 1 1 1 3 1 3 ? x) cos( ? x) = ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) = cos 2 x ? 3 3 2 4 2 2 2 2
2π ?π 2

所以 f(x)的最小正周期为

(2)h(x)=f(x)-g(x)=

1 1 2 π cos 2 x ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) , 2 2 2 4

当 2x ?

π 2 ? 2kπ (k∈Z)时,h(x)取得最大值 4 2

h(x)取得最大值时,对应的 x 的集全为{x|x= kπ ? 11. (1) f ( x) ?

1 1 ? 1 ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) ? sin 2( x ? ). 2 2 2 2 4 ? 所以要得到 f ( x) 的图象只需要把 g ( x) 的图象向左平移 个单位长度,再将所得的图象向 4

π ,k ?Z } 8

6

上平移

1 个单位长度即可。 4

(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 1 2 ? 1 cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? . 2 2 4 2 4 4
2 1 1? 2 2 ? ? . 2 4 4
3? , k ? Z }. 8

当 2x ?

?
4

? 2k? ? ? (k ? Z ) 时, h( x) 取得最小值 ?

h( x) 取得最小值时,对应的 x 的集合为 {x | x ? k? ?
12.∴tana = ? ?

? 2? ? ? 3? 2 2 sin a ?s i n a 2s i n ac o a s ?s i n a 2 cos a ? sin a 2 ? tan a ? ? ?2 . = ? 2 2 sin a 2 tan a 1? c o 2 sa 1 ? (1 ? 2 s i n a) ? ? ? 13. y=cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x =cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ ) 4 4 6 ? ? ∴函数 y=cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x 的值域是[-2,2],最小正周期是 π. 4 4 2 1 ? 1? 4 3 14.解: (Ⅰ)由 cos ? ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ?
7 2
?7? 7

∴ tan ? ? sin ? ? 4 3 ? 7 ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 2 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

13 ? 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

? 1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 所以 ? ? 3 7 14 7 14 2 4 15. (1)由已知: tan ? ? ? 3 2 cos 2 ? cos 2? ? 1 (2) ∴ ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ?
cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?

?

2 cos(? ? ) ? sin 2? 4

18 29

16. ⑴设最高点为 ( x1 , 1) ,相邻的最低点为 ( x2 , ? 1) ,则|x1–x2|= ∴

T (T ? 0) 2

T2 2? ? 4 ? 4 ? ? 2 ,∴ T ? 2? ? ,∴ ?=1 ………………………(3 分) ? 4 ? ∴ f ( x) ? sin( x ? ? ) , ∵ f ( x ) 是偶函数,∴ sin ? ? ?1 , ? ? k? ? (k ? Z ) .
∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
2

2

,∴ f ( x ) ? sin( x ?

?
2
7

) ? cos x …⑵∵ tan ? ? cot ? ? 5 ,∴

2 cos(2? ? ) ?1 2 4 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? tan ? 5 ? 1 ? 1 17. (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2 ? ? ? 5 而 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x ) ? sin( x ? ) ? cos x ; 2 2 3 6 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2 3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13 3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65 ? 18. (1)∵f(x)=1-cos2x+ 3 sin2x+1=2sin(2x- )+2 6 ? ? ∴f(x)的单调增区间是[kπ - ,kπ + ](k∈z) 6 3 ? ? ? 5? 1 ? (2)∵0≤x≤ ∴- ≤2x- ≤ - ≤sin(2x- )≤1 ∴f(x) ∈[1,4] 2 6 6 6 2 6
1 sin ? cos ? ? ∴原式 ? 5
∴m≤1 19. (1) f ( x) ? 即 m 的最大值为 1.

?

2 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1 ? 1 ? ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4 2 cos x ? ? 3? 2 cos x ? 0,得 x ? k? ? (k ? Z ),? x ? ? k? ? (k ? Z ) 则 2 4 4 3 2 ? 3 2 ,? 2 sin(x ? ) ? . f ( x)的值域为 {y | ? 2 ? y ? 2} (2)∵ f ( x) ? 5 4 5 ? ? ? ? ? 3 ?0 ? x ? ? ∴ sin( x ? ) ? ∵? ? x ? , 4 4 4 2 4 5 ? 4 ? ? ? ? 24 ∴ cos( x ? ) ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) ? 2 sin( x ? ) ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ) ? 4 5 2 4 4 4 25
20. (Ⅰ)

f ( x) ? sin

x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2 ? x ? ? (Ⅱ)由 2k? ? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) 解得 2 2 3 2 5? ? 4 k? ? ? x ? 4 k? ? 3 3 5? ? , 4k? ? ](k ? Z ) 。 ∴ f ( x) 的单调递增区间为 [4k? ? 3 3

8


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