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大二轮专题--圆锥曲线


大二轮专题——《圆锥曲线 1》 1.已知椭圆 C1 : 焦点. ⑴点 P 是曲线 C2 上位于第二象限的一点,若△ APF 的面积为
1 2 ? ,求证:AP⊥OP; 2 4

x2 ? y 2 ? 1 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? 1 ,A,B,F 分别为椭圆 C1 左顶点、下顶点和右 2

⑵点 M 和 N 分别是椭圆

C1 和圆 C2 上位于 y 轴右侧的动点,且直线 BN 的斜率是直线 BM 斜率的 2 倍,证明直线 MN 恒过定点.
y

P A O

N F M x

B

2. 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0,1) ,且离心率为

3 , Q 为椭圆 C 的左顶点. 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点 (? , 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. ①若直线 l 垂直于 x 轴,求 ?AQB 的大小;

A Q B

y

6 5

N

O

x

②若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形?如果存在,求出直线

l 的方程;如果不存在,请说明理由.

3.如图,已知:椭圆 M 的中心为 O,长轴的两个端点为 A、B,右焦点为 F,AF=5BF.若椭 圆 M 经过点 C,C 在 AB 上的射影为 F,且△ ABC 的面积为 5. (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知圆 O:x2 +y 2 =1,直线 l : mx ? ny =1,试证明:当点 P(m,n)在椭圆 M 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围. y
C

AF
1

O

F

B

x

4.如图,过椭圆 L 的左顶点 A(?3, 0) 和下顶点 B 且斜率均为 k 的两直线 l1 , l2 分别交椭圆于

C , D ,又 l1 交 y 轴于 M , l2 交 x 轴于 N ,且 CD 与 MN 相交于点 P .当 k = 3 时,
?ABM 是直角三角形.
(1)求椭圆 L 的标准方程; M C A O B P N x D y

???? ? ??? ? (2) ①证明:存在实数 ? ,使得 AM ? ? OP ;
②求|OP|的取值范围.

5.设椭圆 C:

y2 ? x2 ? 1 ,若一个矩形的每一条边所在直线与椭 2

圆有且只有一个公共点,则称该矩形为椭圆的外切矩形. (1)求证:椭圆 C 的所有外切矩形的顶点在一个定圆上; (2)求椭圆 C 的外切矩形面积 S 的取值范围.

6.如图,已知 A1 , A2 , B1 , B2 分别是椭圆 C : 是一个边长 为 2 的等边三角形,其外接圆为圆 M . (1)求椭圆 C 及圆 M 的方程;

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点,△ A1B1B2 a2 b2

y
B2

D F
A1

G

E M

(2)若点 D 是圆 M 劣弧 ? A1B2 上一动点(点 D 异于端 点 A1 , B2 ) ,直线 B1 D 分别交线段 A1 B2 ,椭圆 C 于点 E , G ,直线 B2G 与 A1 B1 交于点 F . (i)求

O

A2 x

B1 (第 18 题图)

GB1 的最大值; EB1

(ii) 试问:E ,F 两点的横坐标之和是否为定值?若是, 求出该定值; 若不是, 说明理由.

7.已知椭圆 C :

2 x2 y 2 , F1 , F2 是其左、右焦点,经过点 F1 且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

垂直于长轴的弦长为 2 . (1)求椭圆 C 的方程;
2 (2) 设动圆 C1 : x2 ? y 2 ? t12 ,C1 与 C 相交于 A, B, C , D 四点, 动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 ,C2 与

C 相交于 A?, B ?, C ?, D ? 四点,其中 t1 , t2 ? ? b, a ? ,且 t1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形
2 A?B ?C ?D ? 的面积相等,证明: t12 ? t2 为定值;

(3) 过右焦点 F2 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 , 其中 l1 与椭圆 C 交于点 A, B ,l2 与椭圆 C ???? ??? ? 交于点 C , D ,求 AC ? DB 的最小值.

8.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A(?2,0) ,过右焦点 F 且垂直于长轴的弦 a2 b2

长为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 Q ,与 y 轴交于点 R ,过原点与 l 平行的直线与椭圆 交于点 P ,求证:

AQ ? AR OP
2

为定值.

9.如图,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1的左焦点为 F,过点 M (?3, 0) 作一条斜率大于 0 的直线 l 与椭圆 6 2
y
A B

C 交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,延长 BF 交椭圆 C 于点 C。
(1)求 x1 关于 x 2 的表达式;
M

F
C

O

x

(2)若 ?BAC ? 60 ,求直线 l 的斜率.
0

10.如图,设 A , B 分别为椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点,过原点 O 作 a 2 b2

B) D 两点 ?ABC 直线交线段 AB 于点 M(异于点 A , , 交椭圆于 C , (点 C 在第一象限内) ,
和 ?ABD 的面积分别为 S1 与 S2 . (1)若 M 是线段 AB 的中点,直线 OM 的方程为 y ? (2)当点 M 在线段 AB 上运动时,求 值.

1 x ,求椭圆的离心率; 3

S1 的最大 S2
y

B C O M A D

x

2 2 2 2 11.已知动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,且与圆 F 2 : ( x ? 3) ? y ? 1 相内切,记圆

心 P 的轨迹为曲线 C ;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究 | MN | 和 | OQ |2 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请 说明理由;
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(Ⅲ)记 ?QF2 M 的面积为 S1 , ?OF2 N 的面积为 S2 ,令 S ? S1 ? S2 ,求 S 的最大值.

12.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其短轴的下端点在抛物线 2 a b 2

x2 ? 4 y 的准线上.
(?) 求椭圆 C1 的方程; (?? ) 设 O 为坐标原点,M 是直线 l : x ? 2 上的动点,F 为椭圆的右焦点, 过点 F 作

OM 的垂线与以为 OM 直径的圆 C2 相交于 P, Q 两点, 与椭圆 C1 相交于 A, B 两点,

如图所示.
?若 PQ ? 6 ,求圆 C2 的方程; ?设 C2 与四边形 OAMB 的面积分别为 S1 , S2 , 若 S1 ? ? S2 , 求? 的 取值范围.

13. 已 知 椭 圆 C :
2

x2 ? y 2 ? 1 , 点 M ? x0 , y0 ? 是 椭 圆 4
2

C

上 一 点 , 圆

M : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 2 .
(1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点,求圆 M 的方程; (2)从原点 O 向圆 M : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ?
2 2

4 作两条切线分别与椭 5

圆 C 交于 P,Q 两点 (P,Q 不在坐标轴上) , 设 OP, OQ 的斜率分别为 k1 , k2 . ①试问 k1k2 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由; ②求 OP ? OQ 的最大值.

14.设椭圆 C:
2

x2 y 2 a 2b 2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) x ? y ? , 定义椭圆 C 的 “相关圆” 方程为 , a 2 b2 a 2 ? bb

若抛物线 y ? 4 x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合, 且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点 构成直角三角形。 (I)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程; (II)过“相关圆”E 上任意一点 P 作“相关圆”E 的切线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为 坐标原点。

(i)证明∠AOB 为定值; (ii)连接 PO 并延长交“相关圆”E 于点 Q,求△ABQ 面积的取值范围。

15.如图:A,B,C 是椭圆 到直线 CF 的距离为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的顶点,点 F ? c,0? 为椭圆的右焦点,原点 O a 2 b2

1 c ,且椭圆过点 2 3,1 . 2

?

?

(I)求椭圆的方程; (II) 若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点, 直线 CP 交 x 轴于点 E, 直线 BC 与 AP 相交于点 D, 连结 DE.设直线 AP 的斜率为 k, 直线 DE 的斜率为 k1 ,问是否存在实数 ? ,使得 ? k1 ? k ? 成立,若存在求出 ? 的值,若不存在,请说明理由.

1 2

16.作斜率为 的直线 l 与椭圆 C:

交于 A, B 两点 (如图所示) , 且

在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若∠APB=60°,求△ PAB 的面积.


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