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重庆市十一中2015届高三11月月考数学理试题


重庆 11 中学高 2015 级 11 月月考

数学试题(理科) (2014.11)
命题人:蒋 成 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ? ( )

A. 2

B. 1

C. 0

>2

D. ? 1


(1,? ) 2、已知随机变量 ? 服从正态分布 N , P(? ? 4)=0.79, 则 P(-2 ? ? ? 1)= (
A.0.21
x0

B. 0.58 )

C. 0.42 B. ?x ? R, 2x ? x2

D. 0.29

3、下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e ? 0 C.a+b=0 的充要条件是

a =-1 b

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

4、函数 ( f x)= ? A.0

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
C.2

的零点个数为 ( D.3

)

B.1

5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 S21 的值是( A. 1 B. ?1 C. 0 D.不能确定



2 2 6、已知双曲线 x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 a b

y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为( )
(A)

x2 y 2 ? ? 1 (B) 36 108

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 (C) ? ?1 9 27 108 36

(D)

x2 y 2 ? ?1 27 9

7、标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中 标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( ) (A) 12 种 8、 ( x ? (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

a 5 ) 的展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 为( ) x
B.-1 C. 1 D. 2

A.-2

9、 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数, 且对任意 x , 都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立, 如果实数 m, n
2 2 满足不等式 f (m ? 6m ? 21) ? f (n ? 8n) ? 0 ,那么 m ? n 的取值范围是( )
2 2

A. (9,49)

B. (13,49)

C. (9,25)

D. (3,7)

10 、 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 f ( f ( )) 的值( ) xf ( x? 1) ? (1? x ) f (x ,则 ) 2 1 A.0 B. C.1 2

D.

5 2

w.w.w.k.s .5.u.c .o.m

第 II 卷(非选择题 100 分)
二、填空题(本大题共 25 分,每小题 5 分。11、12、13 为必做题; 14、15、16 为为选做题, 考生只能选做其中的两题,三题全答的,只计算前两题的得分) : 11. 从如图所示的长方形区域内任取一个点
开始

M ( x, y) ,则点 M 取自阴影部分的概率为
___. 12 程序框图 (即算法流程图) 如图 (右) 示, 其输出结果是_____ 13、设 x,y 满足条件 x ?1 ? y ? 2, 若目标 函数 z ? x ? y (其中 a ? b ? 0 )的最大值为 5,则 a ? 8b 的最小值为
a b


a?3
a ? 3a ? 1

a ? 100 ?
是 输出 a

14.(4-1 几何证明选讲选做题)如图,点 A, B, C 是圆 O 上的点,
结束

且 AB ? 2, BC ? 6, ?CAB ? 120? ,则 ?AOB 对应的劣弧长为 15. (4-4 坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点 到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是

. B O A C
第 14 题图

?

?

.

16、 (4-5 不等式选讲选做题)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 。 17. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R , 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 c ? = (1, sin A) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,求 a,b 的值.

3 , f (C ) ? 0 ,若向量 m

18. (本小题满分 13 分) 某中学在高三开设了 4 门选修课,每个学生必须且只需选修 1 门选修课。对于该年级的甲、 乙、丙 3 名 学生,回答下面的问题: (1)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (2)某一选修课被这 3 名学生选修的人数的数学期望.

19、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 4ax2 ? 5x ( a ? R ) . (1) 当 a = 1 时, 求函数在区间[0, 2]上的最大 值; (2) 若函数 f ( x) 在区间(0, 2]上无极值 , 求 a 的取值范围. ...

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x x

(1)若函数在区间 (a, a ? ) 其中 a >0,上存在极值,求实数 a 的取值范围; (2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?

1 2

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

21、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的动点到焦点距离的最小值为 a 2 b2

2 ? 1 。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.
(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )若过点 M (2 , 0) 的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点, P 为椭圆上一点, 且满足

??? ? ??? ? ??? ? 2 5 。当 AB ? 时,求实数 t 的值. OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点) 3

22. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 an ? n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 (n ? 2, n ? N * ) . n ?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ?

3n?1 (n ? N * ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S 2n 与 n 的大小; an
? 2c ? an ?1 ? 的前 n 项和为 T .求证:对任意 n ? N * n ? N * n (n ? N * ) ,数列 ? , n ? 2? n ?1 ? ? cn ? 1? ? ? ?

(3) 令 cn ?

都有 Tn ? 2 .

重庆十一中高 2013 级高三 12 月月考 数学试题(理科)答案及评分标准
一、选择题:D D D C C,B B A A A 二、填空题 11、 1 12、283
3

13、

5

14、 (4-1 几何证明选讲选做题) : 16、 (4-5 不等式选讲选做题) :x? 三、解答题: (75 分) 17、解 (1)∵f(x)=

2 ? 2

15、 (4-4 坐标系与参数方程选做题) : 1

1 4

3 1+cos2x 1 π sin2x- - =sin(2x- )-1,∴函数 f(x)的最小值是 2 2 2 6

2π -2,最小正周期是 T= =π. …………………………………… 6 分 2 π π (2)由题意得 f(C)=sin(2C- )-1=0,则 sin(2C- )=1, 6 6 π π 11 π π π ∵0<C<π ,∴0<2C<2π ,∴- <2C- < π ,∴2C- = ,C= ,……… 8 分 6 6 6 6 2 3 1 sinA ∵向量 m=(1,sinA)与向量 n=(2,sinB)共线,∴ = , 2 sinB a 1 由正弦定理得, = ,①………………………………………………………… 10 分 b 2 π 2 2 2 2 2 由余弦定理得,c =a +b -2abcos ,即 3=a +b -ab,② 3

由①②解得 a=1,b=2. ………………………………………………… 13 分 3 3 4 18、解: (1) 3 名学生选择的选修课互不相同的概率: p1 ? A3 ? ;…………4 分 4 8 (2)设某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? ? 0,1,2,3.
p(? ? 0) ? 33 27 , ? 43 64

p (? ? 1) ?

1 C3 32 27 , ? 43 64

p (? ? 2) ?
所以 ? 的分布列为:

2 3 C3 3 9 , p(? ? 3) ? C3 ? 3 4 64 43

?

1 .…………9 分 64

?
p
E? ? 0 ?

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? …………13 分 64 64 64 63 4 3 2 19、解: (1)当 a = 1 时, f (x)=x -4x +5x ,

5 f ?( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 5 ? 3( x ? 1)( x ? ) ……………………… 3 分 3
因为 f (0)=0,f (1)=2,f ( 5 )= 50 ,f (2)=2,
3 27

所以区间[0, 2]上最大值 2……………………………………………………6 分
2 (2) 即 f ?( x) ? 3x ? 8ax ? 5 ? 0 在(0, 2]上无解或有两个相同的解…………7 分 当 f ?( x) ? 0 在(0, 2]上无解,由 8a ? 3x 2 ? 5 ? ?2 15,???

x

15 …………………………………………………10 分 4 当 f ?( x) ? 0 在(0, 2]上有两个相同的解,得 a ? 15 ……………12 分
则 8a ? 2 15即a ?
4

综上, 所求 a 的取值范围是 a

?

15 4

………………………………13 分

2 另解:因 f ?( x) ? 3x ? 8ax ? 5 过(0,5)故要使 f ( x) 在区间(0, 2]上无极值 ...

必有 f ?( x) ? 0 在(0, 2]上恒成立,有 8a ? 而 3x ?

1 ? ln x , x ? 0,则 f ?( x) ? ? ln 2x , x x 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减,所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得 极大值. ………………………………………………(3 分)
20、解: (1)因为

5 ? 2 15 , 故 8a ? 2 15 x
f ( x) ?

3x 2 ? 5 5 ? 3x ? x x 15 a? 4

因为函数 f ( x ) 在区间 (a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值,
? a ? 1, 所以 ? ? 1 a ? ? 1, ? ? 2

1 2

解得 1 ? a ? 1 .
2

…………(6 分)

(2)不等式 f ( x) ?

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) k ? k , 记 g ( x) ? , , 即为 x x x ?1

所以 g ?( x) ? ?

( x ? 1)(1 ? ln x) ?? x ? ( x ?1)(1 ?ln x) x
2

?

x ? ln x x2

…………(9 分)

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x ) ? 1 ? 1 , ? x ? 1 ,? h?( x) ? 0, ? h( x) 在 ?1, ??) 上单调递增, x ??h( x)?min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 , 故 g ( x) 在 ?1, ??) 上也单调递增, 所以 ? g ( x)?min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2 . …………………(12 分) 21、 解: (1)由题意知 a ? c ? 2 ? 1; 又因为 b ?
2
2 a2 ? 1 ,所以 1?1

? 2 , b2 ? 1 .

2 故椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1 .…………………………………………4 分

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ?2 1 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ? . 2 2 2 8k 8k ? 2 2 5 x1 ? x2 ? , x1 ?x2 ? .又由 | AB |? ,得, 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3 2 5 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 2 可得. k ? …………………………8 分 3 4 x1 ? x2 8k 2 ? 又由 OA ? OB ? t OP ,得 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) ,则 x ? , t t (1 ? 2k 2 ) y ?y 1 ?4k y ? 1 2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

(8k 2 )2 (?4k )2 故 2 ?2 2 ? 2 ,即 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) . 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )
8 2 6 ,即 t ? ? ……………………………………12 分 3 3 a a n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 知, n ? n ?1 ? 2 ? 3n ? 2 , 21.解:(1)由题 an ? n ?1 n n ?1 an a1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n?2 由累加法,当 n ? 2 时, n 1 a 2(1 ? 3n?1 ) ? 3n?1 代入 a1 ? 1 ,得 n ? 2 时, n ? 1 ? n 1? 3 n?1 * 又 a1 ? 1 ,故 an ? n ? 3 (n ? N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分
得, t ?
2

3n?1 1 ? . an n 1 1 1 方法 1: S2n ? 1 ? ? ? ? ? n 2 3 2 1 1 1 记函数 f (n) ? S 2n ? n ? (1 ? ? ? ? ? n ) ? n 2 3 2
(2) n ? N 时, bn ?
*

1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ) ? (n ? 1) 2 3 2 1 1 1 2n ? n ? ? ? n?1 ) ? 1 ? n ?1 ? 0 则 f (n ? 1) ? f (n) ? ( n 2 ?1 2 ? 2 2 2 ?1 所以 f (n ? 1) ? f (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 1 由于 f (1) ? S 21 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? 0 ,此时 S21 ? 1 ; 2 1 1 1 f (2) ? S22 ? 2 ? (1 ? ? ? ) ? 2 ? 0 ,此时 S22 ? 2 ; 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 f (3) ? S23 ? 3 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 3 ? 0 ,此时 S23 ? 3 ; 2 3 4 5 6 7 8 由于, f (n ? 1) ? f (n) ,故 n ? 3 时, f (n) ? f (3) ? 0 ,此时 S2n ? n .
所以 f (n ? 1) ? (1 ? 综上所述:当 n ? 1, 2 时, S2n ? n ;当 n ? 3(n ? N * ) 时, S2n ? n . 方法 2:当 n ? 1 时, S 21 ? 1 ? . . . . .7 分

1 1 1 1 ? 1 ;当 n ? 2 时, S 22 ? 1 ? ? ? ? 2 ; 2 3 4 2 1 1 1 1 1 1 1 当 n ? 3 时, S 23 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 . 2 3 4 5 6 7 8 猜想当 n ? 3 时, S2n ? n . . . . . . . . . . .5 分
下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 3 时,由上可知 S23 ? 3 成立;

1 1 1 ? ?? ? k ? k . 2 3 2 1 1 1 1 1 ? ? ? k ?1 当 n ? k ? 1 时,左边 ? 1 ? ? ? ? ? k ? k 2 3 2 2 ?1 2 k 1 1 2 ?k? k ? ? ? k ?1 ? k ? k ? k ? 1,所以当 n ? k ? 1 时成立. . . . . . . .6 分 2 ?1 2 2 ?1 * 由①②可知当 n ? 3, n ? N 时, S2n ? n .
②假设 n ? k (k ? 3) 时,上式成立,即 1 ? 综上所述:当 n ? 1 时, S21 ? 1 ;当 n ? 2 时, S22 ? 2 ; 当 n ? 3(n ? N ) 时, S2n ? n .
*

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分

an ?1 ? 3n n ?1 2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n?1 1 1 当 n ? 2 时, n ? n ? n ? n?1 ? n . 2 n n ?1 (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1
(3) cn ?

3 2 ? 32 2 ? 3n 3 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ?( ? 2 )?( 2 ? 3 ) 2 n 2 2 (3 ? 1) (3 ? 1) 2 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 ? n ) ? 2? n ? 2. + ? ? ( n ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 且 T1 ? ? 2 2 * 故对 n ? N , Tn ? 2 得证. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
所以当 n ? 2 时 Tn ?


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