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105662

时间:2013-02-14


南莫中学

万金圣

求函数值域(最值)的常见方法有哪些?
1.分离变量法 2.反表示法 3.判别式法 4.数形结合法 5.单调性法 6.基本不等式法 7.换元法

基础练习
1 ( 的值域是 1. 函数y ? 2 sin x ? 1
? 1 ? ( A) ? ? ,1? ? 3 ?

)

1 ( B)(??,? ] ? [1,??) 3
( D )[1,? ?)

1 (C )(? ?,? ] 3

基础练习
3 sin x ? 1 的最值是 2.函数 y ? sin x ? 2

发散思维

sin x 1.求函数 y ? 的最值. 2 ? cos x

有界

判别

数1形

数2形

发散思维
2.求函数 y ?
sin x sin x ? 3
2

的值域.

下面解法的每个步骤是否正确?为什么?

解: 形 为 ? 变 y

1

3 sin x ? sin x 3 3 ? sin x ? ? 2 3或 sin x ? ? ?2 3 --------② sin x sin x
?0 ? y ? 1 2 3
故值域为? [

-----------------------------①

或?

1 2 3

? y?0

------------------------③

3 3 ,0) ? (0, ] 6 6

-------------------------④

发散思维
2.求函数 y ?
sin x sin x ? 3
2

的值域.

分析一: 将分子化为常数,使变量集中到分母中,
从而只考虑分母的取值范围,化繁为简.

分析二: 令 t ? sin x , 则 t ? ??1,1?,去分母,变为一
元二次方程根的分布问题,化新为旧.

小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有: ①分离系数法

②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法

小结
2.树立转化的数学思想,锻炼发散思维能力.
排除法

1 y? 2 sin x ? 1
3 sin x ? 1 y? sin x ? 2
sin x y? 2 ? cos x
y? sin x sin x ? 3
2

反表示法 数形结合法

反表示法 数形结合法

分离系数法

数形结合法

有界性法 判别式法

根的分布

单调性法

课后思考
2 2 1.求函数 y ? a sin x ? 6a cos x ? 2a (a ? R)

的最值. 作业
sin x cos x 的值域. 2.求函数 y ? 3 ? 2 sin x ? 2 cos x

《数学之友》 P 课外练习1、2、3、4、 70


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