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3.1.1方程的根与函数的零点


听到了,忘记了;看到了,记住了;动手了,理解了。

学会、会学、乐学

3.1.1 方程的根与函数的零点

授 课 时 间 学 习 目 标 重 点 难 点





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课型

/>
新授课

备课人

刘月飞

1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数从而了解函数的 零点与方程根的联系; 2. 掌握零点存在的判定定理.

1. 利用零点存在的判定定理的应用。

自主学习 一、预习课本 86——88 页找出疑惑之出? 1、旧知识铺垫 复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = 当? 当? 当? 学 习 过 程 与 方 法 什么关系? 判别 式 一元二次 方程 二次函数图象 . ; ; 0,方程有两根,为 x1,2 ? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实根.

复习 2:方程 ax 2 +bx +c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有

??0 ??0

??0
2、新知识学习 探究一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 个交点,坐标为 ② 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解为
2

,函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有 . ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 1的图象与 x 轴有 个

交点,坐标为

.
1

③ 方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 交点,坐标为 根据以上结论,可以得到: .

, 函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有



一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的 根 就 是 相 应 二 次 函 数
y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的图象与 x 轴交点的

.

你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗? 总结:零点的定义; 反思:函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交 点的横坐标,三者有什么关系?

探究二:零点存在性定理 问题:① 画出二次函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 的图像,观察函数在区间[-2,1]上有无零 点,计算 f(-2)与 f(1)的乘积,你能发现 他们的乘积有什么 特点?在区间 [2,4]上是 否也有这种特点呢? 通过函数的图象和计算发现: f ? ?2? ? f ?1? __0, f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 在(-2,1)有 零点_______,它是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的根。
2

② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象, 1 在区间 [ a, b] 上______零点; f ( a ) · f (b) _____0 ○ 2 在区间 [b, c] 上______零点; f (b) · f (c) _____0 ○ 3 在区间 [c, d ] 上______零点; f (c) · f ( d ) _____0 ○ 总结:零点存在性定理: 讨论:零 点个数一定是一个吗? 逆定理成立 吗?试结合图形来分析.

【精讲多练】 例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

变式一:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

2

小结:函数零点的求法. 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并 利用函数的性质找出零点. 例 2 求函数 y ? 2 x ? 3 的零点大致所在区间.

变式训练;求下列函数的零点: (1) y ? x2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ( x ? 1)( x2 ? 3x ? 1) .

课堂检测: 1. 函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的零点个数为( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若函数 f ( x) 在 ? a, b? 上连续, 且有 f ( a ) · f (b) >0. 则函数 f ( x) 在 ? a, b? 上 ( A. 一定没有零点 C. 只有一个零点
x

) .

B. 至少有一个零点 D. 零点情况不确定

3. 方程 2 +x=0 在下列哪个区间内有实数根( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(-1,0) 4.函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间( A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 5. 函数 y ? ? x2 ? x ? 20 的零点为 . )

6. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点.则 f ( x) 的 零点个数为 .

3

7. 已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 . m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个 零点;

作 业 布 置

P88 1、2

学 习 小 结

4


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