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高二数学(文科)(选修1—1)模块测试试题


高二数学(文科) (选修 1—1)模块测试试题
一、选择题 每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1、命题“若 x ? 1,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”以及它的逆命题,否命题和逆否命题中,真命题
2

的个数是( A、0

) B、2 C、3 ) D、4


2、 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ”是“ x ? 2 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ”的( “

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

x2 y2 1 3、若椭圆 ? ? 1 的离心率为 ,则实数 m 等于( 2 m 2
A、

) D、

3 8 或 2 3
2 2

B、

3 2

C、

8 3
2 ”的(

3 2 或 8 3

4、 “双曲线方程为 x ? y ? 6 ”是“双曲线离心率 e ?



A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 5、若直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点,与抛物线交于 A、B 两点,且线段 AB 中点的横坐
2

标为 2,则弦 AB 的长为( A、2 B、4

) C、6 D、8

6、函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内极值点 有( A、1 个 C、3 个 ) B、2 个 D、4 个

7、已知命题 p : 若a ? b ,则 A、若 a ? b ,则 C、若 a ? b ,则

1 1 ? ,那么“ ?p ”是 a b
B、若 a ? b ,则不一定有 D、若 a ? b ,则

1 1 ? a b 1 1 ? a b
2

1 1 ? a b

1 1 ? a b

8、 ? ? R ,则方程 x ? A、圆

y2 ? 4 表示的曲线不可能是 sin ?
C、双曲线 D、抛物线

B、椭圆

1

9、一物体作直线运动,其运动方程为 s ? 3t ? t 2 ,其中位移 s 单位为米,时间 t 的单位为 秒,那么该物体的初速度为 A、0 米/秒 B、—2 米/秒 ( ) C、3 米/秒 D、3—2t 米/秒

10、下列说法正确的是

A、函数在闭区间上的极大值一定比极小值大. B、函数在闭区间上的最大值一定是极大值. C、对于函数 f ( x) ? x ? px ? 2 x ? 1 ,若 | P |?
3 2

6 ,则 f (x) 无极值.

D、函数 f (x) 在区间 (a, b) 上一定存在最值. 二、填空题 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上.
2 2 11、已知动点 M ( x, y ) 满足 5 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?| 3 x ? 4 y ? 12 | ,则 M 点的轨迹曲线



.

12、函数 y ? x ? sin x, x ? [

?
2

, ? ] 的最大值为



13、已知椭圆 线方程为

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 ? 2 ? 1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近 3m 2 5n 2m 2 3n


14、已知函数 f ( x) ? 15、给出下列命题:

ln a ? ln x 在 [1,??) 上为减函数,则 a 的取值范围为 x



① ?? ? R ,使得 sin 3? ? 3 sin ? ;

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线; 16 ? k k ? x 2 ③ ?a ? R , y ? ae x 的递减区间为 (?2,0)
② ?k ? R, 曲线 ④ ?a ? R, 对 ?x? R ,使得 x ? 2 x ? a ? 0
2

其中真命题为

(填上序号)

三、解答题 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本大题满分 12 分)已知命题 p:方程 题 q:双曲线 值范围.

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命 2m m ? 1

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p、q 有且只有一个为真,求 m 的取 5 m

2

得分

评卷人

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d 的图象过 3 点(0,3) ,且在 (??,?1) 和 (3,??) 上为增函数,在 (?1,3) 上为减函数.
17、 (本大题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

(1)求 f (x) 的解析式; (2)求 f (x) 在 R 上的极值.

x2 y2 ? ? 1 (2≤m≤5),过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及 m m ?1 其准线交于 A、B、C、D,设 f (m)=||AB|-|CD| |. (1)求 f (m)的解析式; (2)求 f (m)的最大、最小值. D y
18、如图,已知椭圆 C F1 AB O F2 x

19、 (本大题满分 12 分)已知双曲线 C :

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0.b ? 0) 与椭圆 ? ? 1有 18 14 a2 b

共同的焦点,点 A(3, 7 ) 在双曲线 C 上. (1)求双曲线 C 的方程; (2)以 P(1,2)为中点作双曲线 C 的一条弦 AB,求弦 AB 所在直线的方程.
3

20、已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? 1 ? a ln x ,a>0, x
2

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a=3,求 f ( x) 在区间{1, e }上值域。期中 e=2.71828?是自然对数的底数。

21、已知椭圆 面积为 4.

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0).

|= (i)若|AB

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5
???? ??? ?

(0,y0) QB=4 .求 y 0 的值. (ii)若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ?

4

高二数学(文科) (选修 1—1)模块测试试题参考答案
一、选择题 BDABC CBDCC 1、B 提示:原命题与逆否命题为真,逆命题与否命题为假。 2、 提示: “ ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ” x ? (??,1) ? (2,??) , “ x ? 2 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ” D 由 得 而由 得 x ? (1,??) 。 3、 提示: A 由已知 m ? 0 且 m ? 2 , 0 ? m ? 2, e ? 若 则e ?

2?m 2

?

1 3 , m ? , m ? 2, 得 若 2 2

m?2 m

?

1 8 得m ? 。 2 3

4、B 提示:离心率 e ? 5、C

2 也可以是其他等轴双曲线。 x ? x2 提示:设 A、B 两点横坐标分别为 x1 , x 2 ,则 1 ? 2 ,即 x1 ? x2 ? 4 ,故 2 | AB |? x1 ? x2 ? p ? 4 ? 2 ? 6 。
8、D

6、C 7、B 9、C 提示 vt ?0

3(t ? ?t ) ? (t ? ?t ) 2 ? (3t ? t 2 ) ? lim ? lim (3 ? 2t ? ?t ) ? 3 ? 2t |t ?0 ? 3 ?t ?0 ?t ?0 ?t
6 ,反之 | P |? 6

2 10、C 提示: f ?( x) ? 3x ? 2 px ? 2 无极值,则 ? ? 0 ,即 | p |?

f ?( x) ? 0 恒成立,即 f ?(x) 单调递增,? f (x) 无极值,易知 A、B、D 均不成立。
二、填空题 11、抛物线 12、 ? 提示:y ' ? 1 ? cos x ? 0( x ? [

?

, ? ]),? f ( x) 在 [ , ? ] 上递增? y max ? f (? ) ? ? 2 2
2 2 2 2

?

13、y ? ?

3 x 4

提示: 由已知得焦点在 x 轴上, 3m ? 5n ? 2m ? 3n , ? m ? 8n 且
2

2

5

b 3n 2 3n 2 3 x?? ?? x ?渐近线为 y ? ? x ? ? 2 2 a 4 2m 16 n
14、 a ? e

(ln a ? ln x)? x ? x?(ln a ? ln x) 1 ? ln a ? ln x ? x2 x2 由 f ?( x) ? 0 在 [1, ?) 上恒成立,即 1 ? ln a ? ln x ? 0 在 [1,??) 上恒成立,
提示: f ?( x) ?

? ln x ? ln
15、①③

e e e 恒成立,? ln ? 0 ,即 ? 1,? a ? e a a a 提示:①中当 ? ? k? (k ? z ) 时, sin 3? ? 3 sin ? 成立;
x 2

②中 k ? ?2 时,曲线表示椭圆,所以命题为假; ③中由 y ? ? ae ( x ? 2 x) ,知 a ? 0 时得递减区间为 (?2,0) ; ④中由于抛物线开口向上,一定存在 x ? R ,使 x ? 2 x ? a ? 0 ,所以命题为假.
2

故①③成立 三、解答题 16、解:将方程

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 改写为 ? ? 1, 2m m ? 1 2m 1 ? m

只有当 1 ? m ? 2m ? 0, 即 0 ? m ? 所以命题 p 等价于 0 ? m ? 因为双曲线

1 时, 方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆, 3

1 ;???4 分 3

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) , 5 m

所以 m ? 0 ,且 1 ?

5?m ? 4 ,解得 0 ? m ? 15 , 5

所以命题 q 等价于 0 ? m ? 15 ;????8 分 若 p 真 q 假,则 m ? ? ; 若 p 假 q 真,则

1 ? m ? 15 3

1 ? m ? 15 ?????12 分 3 17、 (1)? f (x) 的图象过点 (0,3) ,? f (0) ? d ? 3
综上: m 的取值范围为

1 3 x ? bx 2 ? cx ? 3 ,? f ?( x) ? x 2 ? 2bx ? c 3 又由已知得 x ? ?1, x ? 3 是 f ?( x) ? 0 的两个根, ? f ( x) ?
6

?? 1 ? 3 ? ?2b ?b ? ?1 ?? ?? ?? 1 ? 3 ? c ?c ? ?3 1 故 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 ???8 分 3 (2)由已知可得 x ? ?1 是 f (x) 的极大值点, x ? 3 是 f (x) 的极小值点

? f (x) 极大值 ? f (?1) ?

14 3

f (x) 极小值 ? f (3) ? ?6 ????12 分
18、解:(1)设椭圆的焦距为 c,则 c2=m-(m-1)=1,则 F1(-1,0),F2(1,0),椭圆的准线为 x=±m,直线的方程为 y=x+1 易知 A(-m,-m+1),B(m,m-1) ?y ? x ? 1 ? 由 ? x2 消去 y 并整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 y2 ? ?1 ? m m ?1 ? △=8m(m-1)2,∵ m∈[2,5],∴△>0 恒成立

2m ,又直线的斜率 k=1 2m ? 1 ∴ || AB | ? | CD ||?| 2 | xB ? xA | ? 2 | xD ? xC ||? 2 | ( xB ? xC ) ? ( xA ? xD ) |
此时 xB ? xC ? ? 又 xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0 故 f (m) ? 2 | x B ? xC | ? (2)解: f (m) ?

2 2m m∈[2,5] 2m ? 1

1 1 1 2 2 ,又 m∈[2,5],易知 2 ? ? 2 ? ?2? 1 2 m 5 2? m 10 2 4 2 ∴ f (m) ?[ , ] ,故 f (m) max ? 4 2 (m ? 2时) f (m) min ? 10 2 (m ? 5时) 9 3 9 3

19、解: (1)由已知双曲线 C 的焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) 由双曲线定义 || AF1 | ? | AF2 || ? 2a,? 25 ? 7 ? 1 ? 7 ? 2a

? a ? 2 , c 2 ? 4,? b 2 ? 2

x2 y2 ? ? 1 ????6 分 2 2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,因为 A 、 B 在双曲线上

?所求双曲线为

7

? x12 ? y12 ? 2 ? ?? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 2 ?

① ②

①-②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2 2 1 1 ? ? ? ,? k AB ? x1 ? x 2 y1 ? y 2 4 2 2

1 ?弦 AB 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2 经检验 x ? 2 y ? 3 ? 0 为所求直线方程. ????12 分
20、解: (Ⅰ)由于 f ( x) ? 1 ?
/

2 a ? x2 x

令t ?

1 / 2 得 f ( x) ? 2t ? at ? 1 (t ? 0) x
2
/

① 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) ? 0 恒成立,∴ f ( x) 在 (??,0),(0, ??) 上都是增函数。 ② 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

由 2t ? at ? 1 ? 0 得 t ?
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或t ? 4 4

∴x?0或x ?
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或0 ? x ? 2 2 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ?t ? ?x? ,∴ 4 4 2 2

又由 2t ? at ? 1 ? 0 得

综 上 当 0 ? a ? 2 2 f ( x) 在 (??,0),(0, ??) 上 都 是 增 函 数 ; 当 a ? 2 2 f ( x) 在

(??, 0), (0,
在(

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )及( , ??) 上都是增函数, 2 2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 是减函数。 2 2 2 (2)当 a ? 3 时,由(1)知, f ( x) 在[1,2]上是减函数,在[ 2, e ] 上增函数。
又 f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln 2 ? 0, f (e ) ? e ?
2 2

2 ?5 ? 0 e2
2

∴函数 f ( x) 在区间[1, e ]上的值域为 [2 ? 3 ln 2, e ?
2

2 ? 5] 。 e2

21、 【解析】 (Ⅰ)解:由 e=

c 3 2 2 2 2 2 ? ,得 3a ? 4c .再由 c ? a ? b ,解得 a=2b. a 2
8

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab=2. 2 ? a ? 2b, x2 解方程组 ? 得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. ab ? 2, 4 ?
由题意可知 (Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直 线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

? y ? k ( x ? 2), ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 ? y 2 ? 1. ? ?4 2 2 2 2 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0 .

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k 由 ?2 x1 ? ,得 x1 ? .从而 y1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 所以 | AB |? ? ?2 ? . ?? ? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ?
2

2

4 1? k 2 4 2 4 2 ? ,得 . 1 ? 4k 2 5 5 2 2 4 2 整理得 32k ? 9k ? 23 ? 0 ,即 (k ? 1)(32k ? 23) ? 0 ,解得 k= ?1 .
由 | AB |? 所以直线 l 的倾斜角为

? 3? 或 . 4 4

? 8k 2 2k ? , (ii)解:设线段 AB 的中点为 M,由(i)得到 M 的坐标为 ? ? . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0) ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? . 由 QA ? QB ? 4 ,得 y0 ? ?2 2 。
(2)当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

2k 1? 8k 2 ? ? ? ?x? ?。 1 ? 4k 2 k? 1 ? 4k 2 ?

6k 。 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 由 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? ,
令 x ? 0 ,解得 y0 ? ?

9

??? ??? ? ? ?2 ? 2 ? 8k 2 ? 6k ? 4k 6k ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?

?

4 ?16k 4 ? 15k 2 ? 1?

?1 ? 4k ?
2

2 2

? 4,

整理得 7k ? 2 。故 k ? ?

14 2 14 。所以 y0 ? ? 。 7 5 2 14 5

综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ?

10


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