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初赛第1讲 有效数字


初赛第1讲 有效数字
内容要求:

1. 在化学计算和化学实验中正确使用有效 数字 2.定量仪器(天平、量筒、移液管、滴定 管、容量瓶等等)测量数据的有效数字 3.数字运算的约化规则和运算结果的有效 数字 4.实验方法对有效数字的制约

一、准确度与误差
1.准确度 表示测量值与真实值的符合程度。测量值与 真实值愈接近

,测量愈准确。准确度的高低用误 差大小表示。 2.误差 绝对误差(E): 表示测量值与真实值之差,简称误差 E=Xi-XT

测量值 真实值 相对误差(RE): 绝对误差与真实值之比,常用百分 率表示 RE=E/XT×100%

例:实验测得过氧化氢溶液的含量 w(H2O2)为0.2898, 若试样中过氧化氢的实值w(H2O2)为0.2902,则测量 结果的绝对误差和相对误差分别是多少?

E=0.2898-0.2902=-0.0004 RE=(-0.0004)/0.2902×100%=-0.14%
结论: E和RE都有正负之分。正值表示分析结果偏高, 负值表示分析结果偏低。其中RE能反映误差在真实 结果中所占的比例,这对于比较在各种情况下测定 结果的准确度更为方便,所以分析结果的准确度用 RE表示更具实际意义。

二、精密度与偏差
1.精密度 表示在相同条件下,同一试样的重复测定值 之间的符合程度。精密度高低用偏差大小表示。 2.偏差 绝对偏差(d):是某一测定值Xi与平均值X之差。 d= Xi-X 相对偏差(Rd):是绝对偏差与平均值之比,常用 百分率表示。 Rd=d/X×100% 准确度与精密度是两个不同的概念,精密是 准确的前提。

三、测量仪器的精密度与准确度的关系
测量仪器 分析天平 托盘天平 10mL量筒 移液管 滴定管 容量瓶 准确度 0.0001g 0.1g 0.1mL 非常准确 0.01mL 非常准确

例1:甲、乙、丙三位同学读取滴定管中一定量液体 的体积,分别得到23.43mL、23.42mL、23.44mL三 个数据。试说明这是为什么?是不是这三位同学读 数出现了错误? 准确数字:根据刻度直接读出的数字 可疑数字:没有刻度估计出来的数字(只能有一位) ±1 读数相对误差:RE= ×1000‰ =±0.4‰ 2343 讨论: (1)若要求中和滴定测量时的相对误差小于1‰,对 滴定剂的体积有何要求? (2)如何减少滴定误差? 措施:①增加试剂用量;②尽可能在第一次读数时调节 液面位置刚好在刻度线上;③多次测定,求平均值等。

四、有效数字
有效数字:指测量中得到的有实际意义的数值。 1.有效数字的位数 有效数字=准确数字+1位可疑数字 有效数字的位数,应根据分析方法与仪器的准确 度来决定,一般使测得的数值中只有最后一位是可疑 的。自然数、分数、倍数等有效数字位数视作无限 例:分析天平称得某物质质量为0.5000g,其有效 数字位数为4,不能记作0.5g。前者表明称得物质 质量为0.5000g,且其称量误差为±0.0001g,后者 表明称得物质质量为0.5g,且其称量误差为±0.1g。

2.有效数字的中“0”的意义 “0”在有效数字中有两种意义:一种是作为数 字定值,另一种是有效数字。 例如在分析天平上称量物质,得到如下质量: 物质 称量瓶 Na2CO3 质量(g) 10.1430 2.1045
有效数字位数

H2C2O4· 2H2O 称量纸 0.2104 0.0120 4位 3位

6位

5位

数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字, 而数字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”结尾 的正整数,有效数字的位数不确定。

科学计数法: 4.5×103 4.50×103 4.500×103 2位有效数字 3 位有效数字 4 位有效数字

很大或很小的数,常用10的乘方表示。当有 效数字确定后,在书写时一般只保留一位可疑数 字,多余数字按数字修约规则处理。

3.有效数字位数与相对误差的关系 例:设下列三个数的最后一位数字都有±1的绝对 误差,则它们的相对误差分别为多少?0.0121、 25.64、1.05782 ±1 × 1000‰ =± 8‰ (3 位 ) 121 ±1 2564 ×1000‰=±0.4‰ (4位) ±1 × 1000‰ =± 0.009‰ (6 位 ) 105782

有效数字位数越多,相对误差越小,准确度越高 测量结果所记录的数字,应与所用仪器测量 的精密度相适应

4.有效数字修约规则 “四舍六入五成双”法则: 四舍六入五成双,即当尾数≤4时舍去,尾数 ≥6时进位。当尾数为5时,则应视被保留末位数字 是奇数还是偶数,5前为偶数应将5舍去,5前为奇 数应将5进位。 这一法则的具体运用如下: a. 将28.175和28.165处理成4位有效数字,则分别为 28.18和28.16。 b. 若被舍弃的第一位数字大于5,则其前一位数字加 1,例如28.2645处理成3位有效数字时,其被舍去 的第一位数字为6,大于5,则有效数字应为28.3。 若被舍弃的第一位数字小于5,则舍去,例如 1.63499处理成3位有效数字时,其被舍去的第一位 数字为4,小于5,则有效数字应为1.63。

c. 若被舍弃的第一位数字等于5,而其后数字全部为 零时,则视被保留末位数字为奇数或偶数(零视 为偶),而定进或舍,末位数是奇数时进1,末位 数为偶数时舍弃,例如28.350、28.250、28.050处 理成3位有效数字时,分别为28.4、28.2、28.0。 若被舍弃的第一位数字为5,而其后的数字并非全 部为零时,则进1,例如28.2501,只取3位有效数 字时,成为28.3。 d. 若被舍弃的数字包括几位数字时,不得对该数字 进行连续修约,而应根据以上各条作一次处理。 如2.154546 ,只取3位有效数字时,应为2.15,而 不得按下法连续修约为2.16: 2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16

5.有效数字运算规则 (1)加法和减法 在计算几个数字相加或相减时,它们的和或差只 能保留一位可疑数字,即有效数字位数的保留,应以 小数点后位数最少的数为依据。如将3.0113、41.25及 0.357相加,见下式(可疑数以“x”标出); 3.0113 → 3.01 3.0113 先取舍 41.25 → 41.25 41.25 再运算 0.357 →+) 0.36 +) 0.357 44.62 44.6183→44.62 可见,小数点后位数最小的数41.25中的5已是可 疑,相加后使得44.6183中的1也可疑,所以,再多保 留几位已无意义,也不符合有效数字只保留一位可 疑数字的原则,这样相加后,结果应是44.62。

练习1:0.0121+25.64+1.05782=? 0.01 0.0121 25.64 25.64 +) 1.06 +) 1.05782 26.71 26.70992 练习2:36+2.51+0.4987=?

36 3 +) 0 39 加减法中涉及到的是相同的物理量,计算时 以测量精度最差的数据作为标准。

(2)乘法和除法 乘除法中涉及不同的物理量,计算所得结果的相 对误差等于各测量数值的相对误差的总和,因此有效 数字的保留,应根据这一原则进行判断。 例:0.0121×25.64×1.05782=? 相对极值误差(相对误差的总和)为: 8‰+0.4‰+0.009‰≈8‰ 可见相对极值误差由有效数字位数最少(即相对 误差最大)的数决定。即在计算几个数相乘或相除时, 其积或商的有效数字位数应以有效数字位数最少的为 乘除法中,计算有效数字位 准。如1.211与1.2相乘: 数时,对于第一位的数值大于7 1.211 1.2 的数,则有效数字的总位数可 ×1.2 先取舍 ×1.2 多算一位。例如8.78,虽然只有 2422 再运算 24 3位数字,但第一位的数大于7, 1211 12 已接近于10.00,所以运算时可 14532→1.5 144→1.4 看作4位。

练习:0.0121×25.64×1.05782=? 以上3个数的乘积应为:0.0121×25.6×1.06=0.328 (3)对数 进行对数运算时,对数值的有效数字只由尾数部 分的位数决定,首数部分为10的幂数,不是有效数字。
例: lg2345=3.3701 四位有效数字,首数3不是有效数字 lg2345=3.370 错。只有3位有效数字,与原数不符 c(H+)=4.9×10-11mol· L- pH=10.31 正确 1 pH=10.31 c(H+)=4.898×10-11mol· L-1 错误

大量数据运算中,为使误差不迅速积累,对 参加运算的所有数据,可以多保留一位可疑数字 (多保留的叫“安全数字”)。此法加减和乘除 均适用。 在一般的定量分析实验中,要求相对误差不 超过1‰(四位有效数字即达到要求),如果测量数 据多于四位有效数字时,测量结果只须保留四位 有效数字,如果测量数据小于4位有效数字,应按 有效数字位数最少的位数保留(可能达不到相对误 差不超过1‰的要求)。中和滴定时试剂用量不得 少于20.00mL。

五、有效数字的运算规则在定量实验中的应用
1.正确地记录测量数据 例1:万分之一分析天平称得某物重0.2500g,不能 记录为0.250g或0.25g。 例2:滴定管上读取溶液的体积为24mL时,应该记 为24.00mL,不能记为24mL或24.0mL。 2.正确地确定用量和选用适当的仪器 一般定量实验要求相对误差不超过1‰即0.1%。 若样品重为2~3g时,不需要万分之一克的分析天平, 用千分之一天平即可。 ±0.002 ×100%=±0.1% 2.000

3.正确地表示分析结果

例:分析煤中含硫量时,称取样品3.5g,两次测得 结果(S%):甲为0.042%和0.041%,乙为 0.04201%和0.04199%,应采用谁的结果?为什么?
分析: ±0.001/0.042×100%=±2% (甲的准确度) ±0.00001/0.04201×100%=±0.02%(乙的准确度) ±0.1/3.5×100%=±3% (称样的准确度) 甲的准确度与称样的准确度是一致的,而乙的 准确度大大超过了称样的准确度,是没有意义的。

练习: 1.判断有效数字位数: (1)10.030; (2)40.02%; (3)pH=4.74;(4)8.7×10-6。 2.根据有效数字运算规则和修约规则,判断下列 计算过程应如何对数字进行修约?最后结果是多少? 应保留几位小数或几位有效数字? (1)7.9936÷0.9967-5.02=? (3.00) (2)0.0325×5.103×60.06÷139.8=? (0.0712) (3)0.414÷(31.3×0.0530)=? (0.249) (4)1.276×4.17+1.7×10-4-0.0021764×0.0121=? (5.34) (5)1.20×(112-1.240)÷5.4375=? (24.5)

3.有人用分光光度法测定某药物中主要成分的含量, 称取此药物0.0250g,最后计算其主要成分的百分含量 为96.24%,问此结果合理不合理?应如何表示?96.2% 4.用加热法驱除水份法测定CaSO4·1/2H2O中结晶 水的含量时,称样0.2000g。已知天平称量误差为 (4位) ±0.1mg,试问分析结果应以几位有效数字报出? 5.用返滴定法测定试样中某组分含量,按下式计算: 0.1000×(25.00-1.52)×246.47 X%= ×100% 1.000×10000 问分析结果应以几位有效数字报出? (4位)


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