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浙江省台州中学2014届高三上学期第三次统练数学文试题


台州中学 2014 届高三上学期第三次统练数学文试题
参考公式: 球的表面积公式 S ? 4πR2 球的体积公式 V ? 4 πR3
3

棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 棱台的体积公式 V ? 1 h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3 其中 S1 , 2 分别表示棱台的上底、 下底面积,

S

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 V ? 1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 如果事件 A ,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

h 表示棱台的高

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.复数 (

2?i 2 ) = i
B.-3+4i C.3-4i D.3+4i

A.-3 -4i

2.设集合 M ? {x x ? sin A. 1 B.3

3 3 n? , n ? Z } ,则满足条件 P ? { , ? } ? M 的集合 P 的个数是 2 2 3
C.4 D.8

3.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积是 A.8 B.

20 3

C.

17 3

D.

14 3

4.等比数列{an}中, “公比 q>1”是“数列{an}单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

e2 x ? 1 5.函数 f ( x) ? 的图象 ex
A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称

? x ? y ? 1, ? 6.设变量 x、y 满足 ? x ? y ? 0, 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?

A.6

B.4

C.2

D.

3 2

7.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心相 近”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为 A.

1 9

B.

2 9

C.

7 18

D.

4 9

8.已知直线 m、l ,平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ; ③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? ; A.1 B.2
3

②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ; ④若 m∥ l ,则 ? ⊥ ? .其中正确命题的个数是 C.3 D.4

9.设函数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 ,数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ?
A.0
2 2

B.7

C.14

D.21

10.已知双曲线 C :

x y ? 2 ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,正三角形 AF1 F2 的一边 AF1 与 2 a b ???? ???? 双曲线左支交于点 B ,且 AF1 ? 4 BF1 ,则双曲线 C 的离心率的值是
3 ?1 2
B.

A.

13 ? 1 3

C.

13 ?1 3

D.

3 ?1 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的 直线方程是________. 12. 执行右面的框图,若输出结果为 ______. 13.椭圆 x ?
2

1 ,则输入的实数 x 的值是 2
.

y2 ? 1 的焦点到直线 2 x ? y ? 0 的距离为 4

14.下图是样本容量为 200 的频率分布直方图.根据样本的频率分布 直方图估计,数据落在[2,10)内的概率约为________.

第 14 题图

15.已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 ? 2 , 3? ? 3 , 4 ? ?4 , ?, 3 3 8 8 15 15

若 6?

a a ?6 (a,t 均为正实数) ,则类比以上等式, t t
.
2 2

可推测 a,t 的值,a+t=

16.已知 P 是圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 上的一个动点,A( 3 ,1),则 OP ? 的最小值 OA 为______. 17.给出下列五个命题中,其中所有正确命题的序号是_______. ①函数 f ( x) ?

??? ??? ? ?

x 2 ? 3x ? 3
2

x 2 ?5 x ? 4

的最小值是 3

|若 ② 函 数 f ( x) ? | x ? 4, f (m) ? f (n), 0 ? m ? n , 则 动 点 P(m,n) 到 直 线 且

5 x ? 1 2 ? 3 ? 的最小距离是 3 ? 2 2 . y 9 0
③ 命 题 “ 函 数

? ? ?? f ( x) ? x sin x ? 1, 当 x1,x2 ? ? ? , ? ,且 | x1 |?| x2 | 时, ? 2 2?

有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”是真命题.
④函数 f ( x) ? 是 a ? 1.

3 3 2 cos 2 ax ? sin x cos x ? sin ax ? 1 的最小正周期是 1 的充要条件 2 2

OB ⑤ 已 知 等 差 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , OA、 为 不 共 线 的 向 量 , 又
???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OC ? a1 OA ? a4026 OB, CA ? ? AB ,则 S4026 ? 2013 . 若
三、解答题本大题共 5 小题.共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) ?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2a ? 3c ,

??? ??? ? ?

cos C ?

3 . 4
39 ,求 BD 的长度. 8

(1)求 sin B 的值; (2)若 D 为 AC 中点,且 ?ABD 的面积为

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 2 (n ? N ) ,数列 {bn }
*

满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? sin 2

n? n? ? bn ? cos 2 (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2

20. (本小题满分 14 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,已知
?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起, 使平面 ABD ?

平面 BDC,设点 F 为棱 AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)求直线 BF 与平面 ACD 所成角的余弦值.

A F D C A B A

A

D C
3 2

B

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 6 x ? 3x ? t )e , t ? R .若函数 y ? f ( x) 依
x

次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c) 处取到极值. (1)求 t 的取值范围; (2)若 a ? c ? 2b ,求 t 的值.
2

y
2

22. (本小题满分 15 分) 如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦 点为 F,过 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,其准线 l 与 x 轴交于 K 点. (1)求证:KF 平分∠MKN; (2)O 为坐标原点,直线 MO、NO 分别交准线于点 P、 Q,求 PQ ? MN 的最小值.

Q

M

K O P N

F

x

台州中学 2013 学年第一学期第三次统练试题 数学文科参考答案
1. 【答案】A 【解析】解:因为 ( 2. 【答案】C 【解析】 M ? {0, : 故选 C 3. 【答案】C 【解析】几何体是正方体截去一个三棱台, V ? 2 ? ? ( ? 2 ? 2 ? ) ? 2 ?
3

2 ? i 2 3 ? 4i ) ? ? ?3 ? 4i ,故选 A i ?1
3 3 3 3 , ? } ,由 P ? { , ? } ? M 得,0?P,这样的集合 P 共有 4 个, 2 2 2 2

1 1 3 2

1 2

17 3

4. 【答案】D 【解析】a1<0,q>1 时,{an}递减。a1<0,0<q<1 时,{an}递增 5. 【答案】D

e ?2 x ? 1 1 ? e 2 x ? ? f ( x) 【解析】 f (? x) ? e? x ex

? f (x) 是偶函数,图像关

于 y 轴对称. 6. 【答案】 C 【解析】由题意可得,在点 B 处取得最小值,所以 z=2,故选 C 7. 【答案】D 【解析】 :试验包含的所有事件共有 6×6=36 种猜数的结果。 其中满足题设条件的有如下情形: 若 a=1,则 b=1,2;他们“心相近”的概率为 若 a=2,则 b=1,2,3; 若 a=3,则 b=2,3,4; 若 a=4,则 b=3,4,5; 若 a=5,则 b=4,5,6; 若 a=6,则 b=5,6 共 16 种。 故他们“心相近”的概率为 P=16/36=4/9,选 D 8. 【答案】B 【解析】①④对,②③错

9. 【答案】D 【解析】 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a7 ) ? (a1 ? 3) ? a1 ? 1 ? (a2 ? 3) ? a2 ? 1 ? ? (a7 ? 3)
3 3 3

? a7 ? 1 ? 14 ,即 (a1 ? 3)3 ? a1 ? 3 ? (a2 ? 3)3 ? a2 ? 3 ? ? (a7 ? 3)3 ? a7 ? 3 ? 0 ,根据等差
数列的性质得 (a4 ? 3 ? 3d ) ? (a4 ? 3 ? 2d ) ? ? ? (a4 ? 3 ? 3d ) ? 7(a4 ? 3) ? 0 ,即
3 3 3

(a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? ? ? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 ? 2(a4 ? 3)(( a4 ? 3) 2 ? 27 d 2 ) ? 2(a4 ? 3)(( a4 ? 3) 2 ? 12d 2 ) ? 2(a4 ? 3)(( a4 ? 3) 2 ? 3d 2 ) ? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 , (a4 ? 3)(7(a4 ? 3) 2 ? 84 d 2 ? 7) ? 0 , 4 ? 3 ? 0, 即 a4 ? 3 , 即 ?a ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 7a4 ? 21 ,故选 D.
10.【答案】B 11. 【答案】2x+5y=0 或 x+2y+1=0 解析:分截距为 0 或不为 0 两种情况可求 2x+5y=0 或 x+2y+1=0. 12. 答案: 2 【解析】若执行 y ? x ? 1 ,则 x ? 若执行 y ? log 2 x ,则 x ?

3 ? ? ??,1? ,所以不成立, 2

2 ? ?1, ?? ? ,成立

13. 【答案】1 14.【答案】0.4 解析 (0.02+0.08)× 4=0.4. 15.【答案】41 【解析】照此规律:a=6,t=a2-1=35 16. 【答案】2( 3 -1) 【解析】如图:作 PQ?OA 于 Q,CD?OA 于 D,根据向量数量积的几何意义得

??? ??? ? ? OP? min=|OA|?|OQ|min=|OA|?|OT|=2 (|OD|-1)=2( 3 -1) OA
? x 2 ? 3x ? 0 ? 17 . ① ③ ⑤ 【 解 析 】 在 ① 中 , 函 数 的 定 义 域 是 ? 2 解得: ? x ? 5x ? 4 ? 0 ?
x x x ? ? ??,? ? ? 4, ? ? , 当 x ? ? ? ? ? 时 , f ( x )? x 2 ? x ? 3 ? 5 ? 4是 减 函 数 , 0 ? , 0 3
2

? f (0)min ? 3, x ? ? 4, ? ? 时 f ( x) ? x 2 ? 3x 当

?3

x 2 ?5 x ? 4

0 ? 是增函数, f (4) min ? 9 ? 3, 所以 x ? ? ??,? ? ? 4, ? ? , f ( x) min ? 3 .①正确.
2 2 2

f 在②中,由图像知, 0 ? m ? 2,? n ? 2 2 ,? f (m) ?| m ? 4 |? 4 ? m , (n) ?| n ? 4 | 2 ? n2 ? 4, f (m) ? f (n) ? 4 ? m2 ? n2 ? 4 ,即 m2 ? n2 ? 8 ,则动点 P(m,n) 的轨迹是以 ?
,所以点 P(m,n) 到直线 5 x ? 12 y ? 39 ? 0 的最 O(0, 为圆心,半径 r ? 2 2 的圆(虚线) 0) 小 距 离 是 d ? r ( d 是 点 P 到 直 线 的 距 离 ), ? d ?

| 5 ? 0 ? 12 ? 0 ? 39 | ?3 , 13

? d ? r ? 3 ? 2 2 ,因为是点 P 的值取不到,所以 d ? r 也不能取到最小值.故②错.
在③中,函数 f ( x) ? x sin x ? 1 是偶函数,且 x ? ?0, ? 时, f ?( x) ? sin x ? x cos x ? 0 2 即 f ( x) ? x sin x ? 1 是增函数,当 | x1 |?| x2 | 时, 有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故③正确. 在④中,由 f ( x) ?

? ?? ? ?

3 3 2 cos 2 ax ? sin x cos x ? sin ax ? 1 整理得, 2 2

2? ? 故④错误. ? 1,a ? ?1, f ( x) ? sin(2ax ? ) ? 1,函数的周期 T ? | 2a | 3
在⑤中,由 CA ? ? AB 知, A、B、C 三点共线,且 OC ? a1 OA ? a4026 OB, 所以 a1 ? a4026

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

? 1 所以 S4026 ? ,

(a1 ? a4026 ) ? 4026 ? 2013 ,故⑤正确. 2
3 13 a sin C 39 ? ,得 sin C ? ,由正弦定理得 sin A ? , 4 4 c 8

18.解: (1)由 cosC ?

? a ? c, ? A ? C , ? A ? (0,

?
2

) ? cos A ?

5 8

39 3 5 13 13 ? ? ???????????7 分 8 4 8 4 4 (2)?sin B ? sin C ,? B ? C, ?b ? c 。

?sin B ? sin( A ? C ) ?

由 ?ABD 的面积为

39 1 b 1 2 39 39 ? ,? ? c sin A ? c ? ,得 c ? 2 , 4 2 2 4 8 8

10 5 5 .???????????14 分 BD 2 ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? ? ,? BD ? 2 8 2
19. 【解析】 (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 ,∴ an ? 2an ?1 , ∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2 由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1
n

? 2n n为奇数 (Ⅱ) cn ? ? ? ?(2n ? 1) n为偶数
Tn ? 2 ? 23 ? ? ? 22 n ?1 ? [3 ? 7 ? ? ? (4n ? 1)]

22 n ?1 ? 2 ? ? 2n 2 ? n 3
20. 【解析】 (1)证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45? ∴ ?ADB ? 45? , ?ABD ? 90? 即 AB ? BD 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD.

又 ?DCB ? 90? ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 ABC. ???????? 7 分 (2)解:作 BE⊥AC,垂足为 E。 由(1)知平面 ABC⊥平面 ACD,又平面 ABC ? 平面 ACD=AC,∴BF⊥平面 ADC, ∴ ?AFE 即为直线 BF 与平面 ACD 所成角 设 CD ? a 得 AB= BD ? 2a, BC ? 3a ,AC= 7a

∴ BE ?

2 3 2 a , BF ? 2a , FE ? a 7 14

2 a 14 ? 7 ∴直线 BF 与 ∴ cos ?BFE ? 7 2a

平面 ACD 所成角的余弦值为 21. 【解析】

7 。……..14 分 7
x 3 2 x 3 2 x

(1)① f ?( x) ? (3x ?12 x ? 3) e ? ( x ? 6 x ? 3 x ? t )e ? ( x ? 3x ? 9x ? t ? 3)e
2

? f ( x)有3个极值点,? x3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3 ? 0有3个根a, b, c. 令g ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3, g '( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3)

g ( x)在(-?,-1),(3,+?)上递增, (-1,3)上递减.
?g(-1)>0 ? g ( x)有3个零点? ? ??8 ? t ? 24. ? g (3) ? 0
②? a, b, c是f ( x)的三个极值点

? x3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3 ? (x-a)(x-b)(x-c)=x 3 ? (a ? b ? c) x 2 ? (ab ? bc ? ac) x ? abc

?a ? 1 ? 2 3 ?a ? b ? c ? 3 ? 3 ? ? ? ab ? ac ? bc ? ?9 ? b ? 1或 ? (舍 ? b ? (-1,3)) ? ?b ? 1 ?t ? 8 2 ?t ? 3 ? ? abc ? ? ?c ? 1 ? 2 3

22. 【解析】解: (1)抛物线焦点坐标为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 设直线 MN 的方程为 x ? my ? 1 。设 M、N 的坐标分别为 ( 由?
2 1 2

?????.2 分

y y , y1 ), ( 2 , y2 ) 4 4

? x ? my ? 1 ? y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 4x
y1 y ?1 4
2 1

∴ y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4 ??..4 分

设 KM 和 KN 的斜率分别为 k1 , k 2 ,显然只需证 k1 ? k 2 ? 0 即可. ∵ K (?1,0) ∴ k1 ? k 2 ?

?

y2 y ?1 4
2 2

?

4( y1 ? y 2 )( y1 y 2 ? 4) ? 0 ????????6 分 ( y12 ? 4)( y12 ? 4)

(2)设 M、N 的坐标分别为 (

y12 y2 , y1 ), ( 2 , y2 ) ,由 M,O,P 三点共线可求出 P 点的坐标为 4 4

(?1,?

4 4 ) ,由 N,O,Q 三点共线可求出 Q 点坐标为 (?1,? ) ,????7 分 y1 y2

设直线 MN 的方程为 x ? my ? 1 。由 ? ∴ y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4 则 | PQ |?|

? x ? my ? 1 ? y 2 ? 4my ? 4 ? 0 2 ? y ? 4x

4 4 4( y1 ? y2 ) ? |? ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 y1 y2 | y1 y2 |

? 16m2 ? 16 ? 4 m2 ? 1 ?????9 分

又直线 MN 的倾斜角为 ? ,则 m ? ∴ | PQ |? 4 1 ?

1 ,? ? (0, ? ) tan?

1 4 ? ?.10 分 2 tan ? sin ? 4 同理可得 | MN |?? ??..13 分 sin 2 ? 4 4 ? PQ ? MN ? ? 2 ? 8 ( ? ? 时取到等号) sin ? sin ? 2

????..15 分


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