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江苏省青阳高级中学2013届高三数学综合练习(六) 附答案

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江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学综合练习(六)

正题部分
(满分 160 分 时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1. 已 知 集 合 A ? { 0 , 1} B ? {?1,0, a ? 3} , 且 A ? B , 则 a 等 , 于 。 2.已知复数 z ? 1 ? i

,则

z 2 ? 2z 的模为 z ?1



3、 样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布 直方图估计,样本数据落在 [6,10) 内的频数为 。

? x ? y ? 1, ? 4.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 2, ?
5. 右 图 是 讨 论 三 角 函 数 某 个 性 质 的 程 序 框 图 , 若 输 入

.

ai ? sin

i ? (i ? N ? ) ,则输出的 i 的值是 11

开始 。 输入 a1 , a2 ,?

6.给定下列四个命题: ①分别与两条异面直线都相交的两直线一定是异面直线; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线 与另一个平面也不垂直。 其中,为真命题的序号为 。

s ? a1 , i ? 2
i ? i ?1

s ? s ? ai
s?0
否 输出 i 结束 是

7.已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx2 的图象在点 (?1, 2) 处的切线恰好与直 线 3x ? y ? 0 平行,若 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实数 t 的 取值范围是 .
2

8.已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ?1 ,且 a ? (0, 3) ,则对于任意 的 b ? R ,函数 F ( x) ? f ( x) ? x 总有 两个不同的零点的概率是 .

9.由“直角三角形两直角边的长分别为 a,b,将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线可求 得该直角三角形外接圆的半径 r ?

a2 ? b2 ” 。对于“若三棱锥三条侧棱两两互相垂直, 2
.

侧棱长分别为 a,b,c” ,类比上述的处理方法,可得三棱锥的外接球半径为 R=

第 1 页

10.△ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则

??? ??? ???? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? CA? CB 等于
11.过双曲线



x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦点 F 且与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A、 两点, B a2 b2


若以 AB 为直径的圆周被右准线分成 2︰1 两部分,则该双曲线的离心率为

a x 12.函数 f ( x) ? (1 ? )e ( x ? 0) (其中 e 为自然对数的底数)存在一个极大值点和一个极 x
小值点的充要条件是 a ∈ 。 13.设 a ? 0 , b ? 0 , h ? min ?a, 数。则 h 的最大值为 。

b ? ? ,其中 min ?x, y? 表示 x,y 两数中最小的一个 2 2? ? a ?b ?

? an ? 1 , an ? 1, ? ? 14.数列 ?an ? 满足 a1 ? a ? ? 0,1? ,且 an ?1 ? ? an 若对于任意的 n ? N ,总有 ?2a , a ? 1. n ? n
an?3 ? an 成立,则 a 的值为


二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知锐角△ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c .且 (b2 ? c2 ? a2 ) tan A ? 3bc . (1)求角 A 的大小; (2)求 sin( A ?10?) ?[1 ? 3 tan( A ?10 ? 的值. )]

16. (本小题满分 14 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的 中点. (1)求证:EF ? 平面 PAD; (2)求截面将四棱锥 P-ABCD 分成两部分的体积之比(小的部分比 大的部分) ; (3)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小;

第 2 页

17. (本小题满分 15 分) 如图 1, OA , OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段 CD 和曲线段 EF 分 别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修 建与 OA , OB 平行的栈桥 MG 、 MK ,且以 MG 、 MK 为边建一个跨越水面的三角形观 光 平 台 M G K 。 建 立 如 图 2 所 示 的 直 角 坐 标 系 , 测 得 线 段 CD 的 方 程 是

x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) ,曲线段 EF 的方程是 xy ? 200 (5 ? x ? 40) , 设点 M 的坐标为

( s, t ) ,记 z ? s ? t 。 (题中所涉及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度)
(1)求 z 的取值范围; (2)试写出三角形观光平台 MGK 面积 S?MGK 关于 z 的函数解析式,并求出该面积的最小 值。

B

F

y B

F K

D
O C
图1

E

D
O

M
C
图2

G

E A

A

x

18. (本小题满分 15 分) 已知曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 ,直线 l : kx ? y ? k ? 0 , O 为坐标原点. a

(1)讨论曲线 C 所表示的轨迹形状; (2)若直线 l 与 x 轴的交点为 P ,当 a ? 0 时,是否存在这样的以 P 为直角顶点的内接于 曲线 C 的等腰直角三角形?若存在,求出共有几个?若不存在,请说明理由.

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19. (本小题满分 16 分)

设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,公比为 q (q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差
2

中项;数列 ?bn ? 满足 2n ? (t ? bn )n ? (1)、求数列 ?an ? 的通项公式;

3 bn ? 0 (t ? R, n ? N * ) 。 2

(2) 、试确定实数 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3) 、当数列 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 和 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一 个新数列 ?cn ? 。设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m 。

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

1 是偶函数,a 为实常数。 2x ? b

(1)求 b 的值; (2)当 a=1 时,是否存在 n ? m ? 0 ,使得函数 y = f ( x) 在区间 [m,n] 上的函数值组成 的集合也是 [m,n] ,若存在,求出 m,n 的值,否则,说明理由; (3)若在函数定义域内总存在区间 [m,n] (m<n),使得 y = f ( x) 在区间 [m,n] 上的函数 值组成的集合也是 [m,n] ,求实数 a 的取值范围.

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附加题部分
21.(选做题)从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分. 21.A 选修 4—1 几何证明选讲 F 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F。 (1)求证:∠DEA=∠DFA; (2) AB ? BF ? BD ? AF ? AC 。
2

D

E

A

O

?

B

21.B 选修 4—2 矩阵与变换已知矩阵 A ? ?

(1) 求矩阵 A 的特征值 ?1 、 ? 2 和特征向量 ?1 、 ? 2 ; (2)求 A5 ? 的值. 21.C 选修 4—4 参数方程与极坐标
? ?

?? ? 7 ? ?1 2 ? 向量 ? ? ? ? . ?, ? ?1 4 ? ?4? ?? ? ?? ?

C

2 在 极 坐 标 系 中 , 过 曲 线 L : ? s i n ? ? 2a c o s (a ? 0) 外 的 一 点 A(2 5, ? ? ? ) ( 其 中 ?

t a n ? 2, ? 为锐角)作平行于 ? ? ?

?
4

( ? ? R ) 的直线 l 与曲线分别交于 B, C .

(1) 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程(以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建系); (2)若 | AB |, | BC |, | AC | 成等比数列,求 a 的值. 21.D 选修 4—5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ,不等式 t ? f ( x) 在 R 上恒成立. (1)求 t 的取值范围; (2)记 t 的最大值为 T ,若正实数 a, b, c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? T ,求 a ? 2b ? c 的最大值. 二、必做题 本大题共有 2 小题,每题 10 分,共 20 分。
3 2 22.已知 x ? [0,1] ,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? ) , g ( x) ? x ? 3a x ? 4a .
2

1 2

(1)求函数 f (x) 的单调区间和值域; (2)设 a ? ?1, 若 ?x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值 范围.

1 1 ,设 4 4 动点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l : y ? kx ? 1 交曲线 C 于 A, B 两点, M 是线段 AB 的中点, 过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N . (1)求曲线 C 的方程; (2)证明:曲线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (3)若曲线 C 上存在关于直线 l 对称的两点,求 k 的取值范围.
23.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到定点 F (0, ) 的距离比点 P 到 x 轴的距离大

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2011 年高考数学预测卷(江苏卷)参考答案
正题部分
一、填空题: 1.-2 ; 2.2 ; 3.64 ; 4.5 ; 5.21 ; 6. ① 、 ② ; 7. 0 ? t ? 1 ; 8.

1 ; 3

9.

a2 ? b2 ? c2 2 3 ; 10.3; 11. ; 12. a ? 4 ; 13. 3 2

1 2 ; 14. 或 1。 2 2

提示:12.解析:因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程 x ? ax ? a ? 0 在 (0, ??) 内存在两个不等实根,
2

则?

?? ? a 2 ? 4a ? 0, ?a ? 0.

所以 a ? 4 .

? h ? a, ab ab 1 2 2 ? 2 ? ? ,∴ h ? 13.解析: ? ∴h ? 2 ,∴h 的最大值为 。 b 2 a ?b 2ab 2 2 2 ?h ? a 2 ? b 2 , ?
14.解析:∵ a1 ? a ? ? 0,1? ,∴ a2 ? 2a ? (0, 2] , (1)当 0 ? a ? 若

1 1 时, a3 ? 2a2 ? 4a ,若 0 ? a ? ,则 a4 ? 2a3 ? 8a ? a1 ,不合适; 2 4

1 1 1 1 a ?1 1 ? a ? ,则 a4 ? 3 ? a ,∴ a ? 。 ,∴ 1 ? ? 1? 4 2 4a 2 a3 4a 1 1 1 a ?1 1 ? 1? ? a ? 1 时, a3 ? 2 ? 1 ? ? ? 0, ? ,∴ a4 ? 2a3 ? 2(1 ? ) ? 2 ? , 2 2a a a2 2a ? 2 ?
综上得,

(2)当 ∴2?

1 ? a ,∴a=1. a

1 或 1。 2

二、解答题: 15.解:(1)由已知: 2bc cos A ? tan A ? 2bc sin A ? 3bc ∴ sin A ?

3 , 2

∵锐角△ABC ,

∴A?

?
3

.

(2)原式= sin 70? ? (1 ? 3 tan 50?) ? sin 70? ? = sin 70? ?

cos50? ? 3 sin 50? cos50?

2 cos(50? ? 60?) 2 cos110? sin 70? ? cos 50? cos 50?

第 6 页

?2sin 20? cos 20? ? sin 40? ? ? ?1 . cos 50? sin 40? 16.(1)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD , ∴ AB ? 平面 PAD, ∵E、F 为 PA、PB 的中点,
= ∴EF//AB,∴EF ? 平面 PAD; (2)取 AD 中点 M,连结 FM,EM,则多面体 ABGMEF 是由三棱锥 F-AEM 和四棱锥 F-ABGM, ∴ VABGMEF ? VF ? ABGM ? VF ? AEM = ? 8 ? 3 ?

1 3

1 10 3 , ? 3?2 ? 3 3

又 V P ? ABCD ?

1 5 32 3 22 3 ? 16 ? 2 3 = , ∴多面体 PEFGCDM 的体积为 , ∴体积之比为 。 3 11 3 3

(3)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O, ∵ 平面PAD ? 平面ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD. 取 AO 中点 M,连 OG,,EO,EM, ∵EF //AB//OG, ∴OG 即为面 EFG 与面 ABCD 的交线, 又 EM//OP,则 EM ? 平面 ABCD.且 OG ? AO, 故 OG ? EO ∴ ?EOM 即为二面角的平面角。

Rt?EOM中 ,EM= 3, OM=1,
∴tan ?EOM = 3, 故 ?EOM = 60? 。 ∴平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是 60? 。 17.解: (1)由题意,得 M ( s, t ) 在线段 CD: x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) 上,即 s ? 2t ? 20 , 又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、MK, 所以 5 ? s ? 10

1 1 z ? s ? t ? s (10 ? s ) ? ? ( s ? 10) 2 ? 50, 5 ? s ? 10 2 2 75 ? z ? 50 。 所以 z 的取值范围是 2 200 200 ), G ( , t ) ,所以 (2)由题意,得 K ( s, s t 1 1 200 200 1 40000 S?MGK ? ? MG ? MK ? ( ? s )( ? t ) ? ( st ? ? 400) 2 2 t s 2 st
则 S?MGK ?

1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400), z ? ? ,50? , 2 z ?2 ?
1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400) 在 z ? ? ,50 ? 单调递减 2 z ?2 ?

因为函数 S ?MGK ?

所以当 z ? 50 时,三角形观光平台的面积取最小值为 225 平方米。

第 7 页

18.解: (1) C : x ?
2

y2 ?1 a

当 a ? 0 时,曲线表示焦点在 x 轴上的双曲线; 当 a ? 1 时,曲线表示单位圆; 当 0 ? a ? 1 时,曲线表示焦点在 x 轴上的椭圆; 当 a ? 1 时,曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆; (2)由(2)知:点 M (1, 0) 即点 P(1, 0) ,设过点 P(1, 0) 的直线 l1 : y ? k ( x ? 1) 与曲线 C 交 于另一点 A( xA , yA ) ,由 ?

? y ? k ( x ? 1) ? (a ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? a ? 0 2 2 ?ax ? y ? a

? xA ?

?2ak k2 ? a , yA ? 2 ; 2 k ?a k ?a

同理可求过点 P(1, 0) 的直线 l2 : y ? ?

1 ( x ? 1) 与曲线 C 交于另一点 B( xB , yB ) k

? xB ?
2

2ak 1 ? k 2a , yB ? 2 1 ? k 2a 1? k a
2

由 PA ? PB ? k 2 (k 2 ? a)2 ? (1 ? k 2a)2 ? k (k 2 ? a) ? ?(1 ? k 2a)

? (k ?1)[k 2 ? (1 ? a)k ? 1] ? 0 或 (k ? 1)[k 2 ? (a ?1)k ? 1] ? 0
所以,当 0 ? a ? 3 时,存在一个满足条件的等腰直角三角形; 当 a ? 3 时,存在三个满足条件的等腰直角三角形。 19.解: (1)由题意 6a3 ? 8a1 ? a5 ,则 6q ? 8 ? q ,解得 q ? 4 或 q ? 2
2 4 2 2

因为 q 为正整数,所以 q ? 2 , 又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 (n ? N )
n *



(2)当 n ? 1 时, 2 ? (t ? b1 ) ?

3 b1 ? 0, 得 b1 ? 2t ? 4 , 2

同理: n ? 2 时,得 b2 ? 16 ? 4t ; n ? 3 时,得 b3 ? 12 ? 2t , 则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 3 。 而当 t ? 3 时, 2n ? (3 ? bn ) n ?
2

3 bn ? 0 ,得 bn ? 2n 。 2

由 bn?1 ? bn ? 2 ,知此时数列 ?bn ? 为等差数列。 (3)由题意知,
第 8 页

c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,?
则当 m ? 1 时, T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去; 当 m ? 2 时, T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立; 当 m ? 3 时,若 cm?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm?1 ,不合题意,舍去;从而 cm?1 必是数列 ?an ? 中的某 一项 ak ?1 , 则 Tm

? a1 ? 2? ? 2 ? a2 ? 2? ? 2 ? a3 ? 2? ? 2 ? a4 ? ?? ak ? 2? ? 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ??? ??? ??? ???
b1个 b2个 b3个 bk 个

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ?? bk )
? 2(2k ? 1) ? 2 ? (2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 , 2
k ?1

又 2cm?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2
k 2

,所以 2

k ?1

? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,

即 2 ? k ? k ? 1 ? 0 ,所以 2k ? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1) , 因为 2k ? 1 (k ? N * ) 为奇数,而 k 2 ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解。 即当 m ? 3 时, Tm ? 2cm?1 。 综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 。 20.解:(1)由已知可得, f ( x) ? a ?

b b 1 ? ,且函数的定义域为 D= (??, ) ? ( , ?) . 2 2 | 2x ? b |

又 y ? f ( x) 是偶函数,故定义域 D 关于原点对称. 于是,b=0( 否则,当b ? 0时,有-

b b ? D且 ? D,即D必不关于原点对称 ). 2 2

又对任意 x ? D,有f ( x) ? f (? x),可得b ? 0. 因此所求实数 b=0. (2)由(1)可知, f ( x) ? a ?

1 ( D ? (??, ? (0, ?)) . 0) ? 2| x|

考察函数 f ( x) ? a ?

1 的图像,可知: f ( x)在区间(0, ?)上是增函数, ? 2| x|

f ( x)在区间(??,0)上是减函数 .又 n ? m ? 0 ,∴ y = f ( x) 在区间 [m,n] 上是增

第 9 页

函数。因 y = f ( x) 在区间 [m,n] 上的函数值组成的集合也是 [m,n] ,

1 ? ?1 ? 2m ? m 1 ? ? x ,也就是 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的正根。∵ , 即方程 1 ? ∴有 ? 2x ?1 ? 1 ? n ? 2n ?
? ? 4 ? 8 ? 0 ,∴此方程无解。故不存在正实数 m,n,满足题意。
(3) 由(1)可知, f ( x) ? a ?

1 ( D ? (??, ? (0, ?)) . 0) ? 2| x|

考察函数 f ( x) ? a ?

1 的图像,可知: f ( x)在区间(0, ?)上是增函数, ? 2| x|

f ( x)在区间(??,0)上是减函数 .
因 y = f ( x) 在区间 [m,n] 上的函数值组成的集合也是 [m,n] , 故必有 m、n同号 .

1 ? ? a ? 2m ? m ? ① 当 0 ? m ? n 时 , f ( x) 有 ,即方程 在区间 [m n] , 上是增函数, ? 1 ?a ? ?n ? 2n ?
x?a?

? 2a ? 0 1 2 ,也就是 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不相等的正实数根,因此 ? , 2 2x ? ? ? 4a ? 8 ? 0

解得 a ? 2(此时,m、n(m ? n)取方程2x2 ? 2ax ?1 ? 0的两根即可) .

1 ? ? a ? 2m ? n ? ② 当 m ? n ? 0 时 , f ( x) 有 ,化简得 在区间 [m n] , 上是减函数, ? 1 ?a ? ?m ? 2n ?
1 (m ? n) a? 0 ,解得 a ? 0(此时,m、n(m ? n)的取值满足mn ? ,且m ? n ? 0即可) . 2
综上所述,所求实数 a的取值范围是a ? 0或a ? 2 .

第 10 页

附加题部分
一、选做题 21.A 选修 4—1 几何证明选讲 证明: (1)连结 AD,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,。 又∵EF⊥AB,∴∠EFA=90°,∴A、D、E、F 四点共圆,∴∠DEA= ∠DFA。 (2)由(1)知, BD ? BF ? BA ? BE , 又△ABC∽△AEF,∴ E A O F D

?

B

AB AC ? ,即 AB ? AE ? AF ? AC , AF AE

C

∴ BF ? BD ? AF ? AC ? BA ? BE ? AB ? AE = AB ? ( BE ? AE) ? AB2 , 故 AB ? BF ? BD ? AF ? AC 。
2

21.B 矩阵与变换 解:(1)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ? 令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ,

? ?1
1

?2

??4

? ? 2 ? 5? ? 6 ,

?? ? 2? ? ?? ?1? ? 当 ?1 ? 2 时,得 ?1 ? ? ? ,当 ?2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? . ?1 ? ?1?

? ? ?? ? ?? ? ? 2m ? n ? 7 (2)由 ? ? m?1 ? n?2 得 ? ,得 m ? 3, n ? 1 . ?m ? n ? 4 ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ∴ A5 ? ? A5 (3?1 ? ?2 ) ? 3( A5 ?1 ) ? A5 ?2
?? ? ?? ? ? 2? ?1? ? 435? 5 ? 3(?15 ?1 ) ? ?2 ? 2 ? 3 ? 25 ? ? ? 35 ? ? ? ? ?. ?1 ? ?1? ?339 ?
21.C 解:(1) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 .

? ? x ? ?2 ? ? (2)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( 为参数),代入 y 2 ? 2ax 得到 t 2 t 2

t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 ,则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a),t1 ? t 2 ? 8(4 ? a) ,
因为 | BC | ?| AB |, | AC | ,所以 (t1 ? t 2 ) ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1 ? t 2 ? t1 ? t 2
2 2 2

解得 a ? 1 .
第 11 页

21.D解: (1)? f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
? f ( x)min ? 3 .

? 不等式 t ? f ( x) 在R上恒成立,
? t ? f ( x) min ? 3 , t 的取值范围为 (??,3] . (2)由(Ⅰ)得 T ? tmax ? 3 ,

由柯西不等式得: (a ? 2b ? c)2 ? (12 ? 22 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 18 ,
? a ? 2b ? c ? 3 2 .

当且仅当

a b c 2 2 时, ? ? 即a? , b ? 2, c ? 1 2 1 2 2 a ? 2b ? c 的最大值为 3 2 .

二、必做题: 22.解: (1) f / ( x) ? 2 x ?

1 1 x? 2

,令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ?

1 , 2

x ? ?1 (舍去) 。

列表:

x
f / ( x)

0

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? ? ,1? ?2 ?

1

-

0
1 4

+
1 ? ln 3 2

f (x)

ln 2


1 2 1 2



可知 f (x) 的单调减区间是 (0, ) ,增区间是 ( ,1) ; 因为

1 3 ? 1 ? ln ? ln 2 ? (ln 3 ? 1) ? ln 2 , 4 2

所以 当 x ? [0,1] 时, f (x) 的值域为 ? , ln 2? ,
/ 2 2 / (2) g ( x) ? 3( x ? a ) ,因为 a ? ?1 , x ? (0,1) ,所以 g ( x) ? 0 , g (x) 为[0,1]上的

?1 ?4

? ?

减函数, g (1) ? g ( x) ? g (0) ,
2 所以 g ( x) ? [1 ? 4a ? 3a ,?4a] 。因为 当 x ? [0,1] 时, f (x) 的值域为 ? , ln 2?

?1 ?4

? ?

由题意知: [ , ln 2] ? [1 ? 4a ? 3a ,?4a]
2

1 4

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所以 ?

1 ? ?1 ? 4a ? 3a 2 ? 4 ? ? 4a ? ln 2 ?

,又 a ? ?1 ,得 a ? ?

3 2



23.(1)解:由已知,动点 P 到定点 F (0, ) 的距离与动点 P 到直线 y ? ? 由抛物线定义可知,动点 P 的轨迹为以 (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 所以曲线 C 的方程为 y ? x2 . (2)证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 由?

1 4

1 的距离相等. 4

1 4

1 为准线的抛物线. 4

? y ? x2 , ? y ? kx ? 1,

得 x ? kx ? 1 ? 0 .
2

所以 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 .

设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

k k . 因为 MN ? x 轴,所以 N 点的横坐标为 . 2 2 k 时, y ' ? k . 2

由 y ? x2 ,可得 y ' ? 2 x , 所以当 x ?

所以曲线 C 在点 N 处的切线斜率为 k ,与直线 AB 平行. (3)解:由已知, k ? 0 .设直线 l 的垂线为 l ' : y ? ?
2 代入 y ? x ,可得 x ?
2

1 x ? b. k

1 x?b ? 0, k

(*)

若存在两点 D( x3 , y3 ), E( x4 , y4 ) 关于直线 l 对称, 则

x3 ? x4 y ? y4 1 1 ?? ? 2 ?b, , 3 2 2k 2 2k x3 ? x4 y3 ? y4 , ) 在 l 上, 2 2 1 1 1 1 ? b ? k (? ) ? 1 , b ? ? 2 . 2 2k 2k 2 2k

又(

所以

由方程(*)有两个不等实根 所以 ? ? ( ) ? 4b ? 0 ,即
2

1 k

1 2 ?2? 2 ? 0 2 k k

所以

1 2 2 ? 2 ,解得 k ? ? 或k ? . 2 k 2 2

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