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武汉六中高三上学期理科数学周练试卷(14周)


武汉六中高三上学期理科数学周练试卷(第 14 周) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 选项填涂在答题卡上) 2 x 1.已知集合 A={x|y=lg(4﹣x )},B={y|y=3 ,x>0}时,A∩B=( ) A.{x|x>﹣2} B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x≤2} D.? 2.设 p:|4x﹣3|≤1;q:x

﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件, 则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. [0, ] (0, ) (﹣∞,0]∪[ , (﹣∞,0)∪( , +∞) +∞)
2

3.在空间中,下列命题正确的是( ) A.平面 α 内的一条直线 a 垂直与平面 β 内的无数条直线,则 α ⊥β B.若直线 m 与平面 α 内的一条直线平行,则 m∥α C.若平面 α ⊥β ,且 α ∩β =l,则过 α 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 β D.若直线 a 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则不能说一定有 a⊥α . 4.若直线 ax+by﹣1=0(a,b∈(0,+∞) )平分圆 x +y ﹣2x﹣2y﹣2=0,则 是( A. ) B. C.2 D.5
2 2

的最小值

5. 已知各项为正的等比数列{an}中, 4 与 a14 的等比中项为 a A.16 B.8 C.

, 2a7+a11 的最小值为 则 ( D.4



6.使函数 数的 θ 的一个值是( ) A. B.

是奇函数, 且在

上是减函

C.

D.

7.圆 x +2x+y +4y﹣3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 的点共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.函数 f(x)= 在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,a,b 为常

2

2

数,则 f(x)在(0,+∞)上的最大值为( ) A.9 B.5 C.7

D.,6

9.已知实数 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 范围是( ) A.[4,+∞)

的取值

B.(﹣∞, ﹣4]∪[4, (﹣∞,0]∪[4, D.不能确定 C. +∞) +∞)

10. 已知 x, 满足 y ( ) A.2

且目标函数 z=2x+y 的最大值为 7, 最小值为 1, 则

=

B.1

C.﹣1

D.﹣2

1-5

BADBB

6-10

BCACD

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 11.由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为 4﹣ln3 . 解答: 解:由 xy=1,y=3 可得交点坐标为( ,3) ,由 xy=1,y=x 可得交点坐标为(1,1) , 由 y=x,y=3 可得交点坐标为(3,3) , ∴由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为 =(3x﹣lnx) +(3x﹣ x )
2

=(3﹣1﹣ln3)

+(9﹣ ﹣3+ )=4﹣ln3 故答案为:4﹣ln3

12.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积是 8π



解答: 解:三视图复原几何体如图: 是一个三棱锥,其中 AB⊥面 BCD,∠BCD=90°,AB= ,BC=BD=1,BD= 它的外接球的球心是 AD 的中点 O,外接球的直径就是 AD 的长度, 即: =2 . ;所以外接球的表面积为:4π ( ) =8π .
2



所以外接球的半径为: 故答案为:8π .

13.如图, n(n∈N )个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来, 第 则第 n 个图形中共有 (n+2) (n+3) 个顶点(相临两条边的交点即为顶点) .

*

考点: 等差数列与等比数列的综合;归纳推理.. 专题: 规律型. 分析: 由已知图形中,我们可以列出顶点个数与多边形边数 n,然后分析其中的变化规律, 然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论. 解答: 解:由已知中的图形我们可以得到: 当 n=1 时,顶点共有 12=3×4(个) , n=2 时,顶点共有 20=4×5(个) , n=3 时,顶点共有 30=5×6(个) , n=4 时,顶点共有 42=6×7(个) , ?

由此我们可以推断: 第 n 个图形共有顶点(n+2) (n+3)个, 故答案为: (n+2) (n+3) . 14.若实数 x,y 满足 x +y =4,则
2 2

的最小值是



解答: 解:令 x=2cosθ ,y=2sinθ ,则 再令 cosθ +sinθ =t= sin(θ +

= ) ,t∈[﹣ ,

=
2



],平方可得 sin2θ =t ﹣1,

∴ 故答案为

=

=t+1∈[1﹣ .

,1+

],故

的最小值是 1﹣



15.定义在{x|x∈R,x≠1}上的函数 f(x)满足 f(1﹣x)=﹣f(1+x) ,当 x>1 时, , 则函数 f x) ( 的图象与函数 的图象的所有交点的横坐标之和等于 8 . 解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(1﹣x)=﹣f(1+x) , ∴f(1﹣x)+f(1+x)=0, ∴函数 f(x)的图象关于(1,0)对称 ∵ ∴函数 f(x)的图象与函数 图所示 所有交点的横坐标之和等于 2(﹣1.5+0.5+1.5+4.5)=8 故答案为:8. 的图象,如

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 62 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. )

16.已知 a ? (sin(

?

?

2 ? ? 函数 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

? ? x), cos( ? ? x)), b ? (cos x,? sin x) ,

(2)在 ?ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A) ? 1, BC ? 2, B ? 16 解: (1) 由题设知 f ( x) ? sin(

?
3

,求 AC 边的长.

?
2

? x) cos x ? sin x cos(? ? x)
(2 分)

? f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ?
(2)
2

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2 ??4 分

?T ? ?
?6 分
2

? sin A ? cos A

? f ( A) ? cos A ? sin A cos A ? 1 ?sin A cos A ? 1 ? cos A ? sin 2 A ?
?A ? 4
2 sin
????????8 分

AC BC ? sin B sin A

AC sin

?
3

?

?
4

AC ? 6
???????????12 分 17.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、 个黑球, 2 这些球除颜色外完全相同, 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球, 若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ )求在一次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ )求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 17 解答:(Ⅰ(i)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3) ,则 )

P( A3 ) ?

1 C32C2 1 ? . C52C32 5

(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件 B,则 B= A2 ? A3 ,又
1 1 1 2 1 1 7 C3C2C2 ? C32C2 1 P( A2 ) ? ? ,且 A2 , A3 互斥,所以 P( B) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? .(7 2 2 2 5 10 C5 C3 2

分) (Ⅱ )由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,,2, P( X =0)= (1 ?

7 2 9 ) ? , 10 100

7 7 21 (1 ? ) ? , 10 10 50 7 2 49 P( X =2) = ( ) ? , 10 100
P( X =1)= C2 ?
1

所以 X 的分布列是

X
P

0

1

2

9 21 100 50 21 49 7 9 ? 1? + 2 ? = . X 的数学期望 E ( X ) = 0 ? 50 100 5 100

49 100
(14

分)

18.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且 a3、a4、a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .

考点: 数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合.. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用待定系数法,根据 a10=15,且 a3、a4、a7 成等比数列,建立方程组,可求 首项与公差,从而可得数列{an}的通项公式; (Ⅱ)先利用错位相减法求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,再确定其单调性,即可证得 结论. 解答: (Ⅰ)解:设数列{an}的公差为 d(d≠0) ,由已知得:

即:

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

解之得:

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

所以 an=2n﹣5, (n≥1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (Ⅱ)证明:∵ .



,①

.②

①﹣②得:

=



,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)





∴Tn<﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) ∵ ∴Tn<Tn+1(n≥2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 而 T1>T2,所以 T2 最小 又 ,所以 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) ,

综上所述,

19.在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1, G 为 AD 中点. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小; (3)求点 G 到平面 BCE 的距离.

解答: 解法一:以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分 别经过点 A 和点 E,则各点的坐标为 D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,E(0,0,2) ,B(2, 0,1) , , (1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明:

设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 ∴ 则 , ,取平面 ACD 的法向量

, ,

∴BF∥平面 ACD; (2)设平面 BCE 的法向量为 则 由 ,且 , , , ,



,不妨设

,则

,即



∴所求角 θ 满足

,∴



(3)由已知 G 点坐标为(1,0,0) ,∴ 由(2)平面 BCE 的法向量为 ,



∴所求距离



解法二: (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 连接 FH,则 FH∥= ,∴FH∥=AB,

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴BF∥AH, 由 BF?平面 ACD 内,AH? 平面 ACD,∴BF∥平面 ACD; (2)由已知条件可知△ACD 即为△BCE 在平面 ACD 上的射影, 设所求的二面角的大小为 θ ,则 易求得 BC=BE= ∴ ,CE= , , ,







,而







(3)连接 BG、CG、EG,得三棱锥 C﹣BGE, 由 ED⊥平面 ACD,∴平面 ABED⊥平面 ACD, 又 CG⊥AD,∴CG⊥平面 ABED, 设 G 点到平面 BCE 的距离为 h,则 VC﹣BGE=VG﹣BCE 即 由 , , , ,



即为点 G 到平面 BCE 的距离.

20 如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M
2 2

作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的 斜率为 -

1 . 2

(I)求 p 的值;

(II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方 程. A, B重合于O时,中点为O .

?

?

21.已知函数 f(x)=e ﹣ln(x+1) (1)求曲线 y=f(x)上一点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)证明: .

x

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: x x (1)由函数 f(x)=e ﹣ln(x+1) ,知 f′(x)=e ﹣ ,由此能求出曲线 y=f(x) 上一点(0,f(0) )处的切线方程. (2)先求导数 f′(x)然后在函数的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)< 0,f′(x)>0 的区间为单调增区间,f′(x)<0 的区间为单调减区间. x (3)由(2)知当 x=0 时,f(x)取得最小值,即 f(x)≥1,即 e ﹣ln(x+1)≥1, 即 e ≥ln(x+1)+1,取 x= ,则
x

≥ln( +1)+1=ln(n+1)﹣lnn+1,再分别令

n=1,2,3,?,n 得到 n 个不等式,相加即得. x 解答: (1)∵函数 f(x)=e ﹣ln(x+1) 解: , ∴f′(x)=e ﹣ ∴k=f′(0)=e ﹣
0 0 x

, =0,

f(0)=e ﹣ln1=1, ∴曲线 y=f(x)上一点(0,f(0) )处的切线方程为:y﹣1=0. (2)∵f′(x)=e ﹣ ∴由 f′(x)=e ﹣ 当 x>0 时,e>1,
x x

,x>﹣1. =0,得 x=0. <1,所以当 x>0 时,f′(x)>0; >1,所以当 x<0 时,f′(x)<0.

当﹣1<x<0 时,ex<1,

∴函数 f(x)的减区间是(﹣1,0) ,增区间是(0,+∞) . (3)∵函数 f(x)的减区间是(﹣1,0) ,增区间是(0,+∞) , ∴当 x=0 时,f(x)取得最小值 f(0)=1,∴f(x)≥1, x x ∴e ﹣ln(x+1)≥1,即 e ≥ln(x+1)+1, 取 x= ,则 ≥ln( +1)+1=ln(n+1)﹣lnn+1,

于是 e≥ln2﹣ln1+1, ≥ln3﹣ln2+1, ≥ln4﹣ln3+1, ? ≥ln(n+1)﹣lnn+1. 相加得,e+ + +?+ ≥ln(n+1)+n. (n∈N*,e 为常数) .






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