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2014中国女子数学奥林匹克竞赛真题及参考答案


2 0 1 4年第 1 1 期 

2 7  

2 0 1   4 中 国 女 子 数 学 奥 林 匹 克 
中图 分 类 号 : C A 2 4 . 7 9   文献 标 识 码 :A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) I 1— 0 0 2 7—0 4  

. 如图 1 , oD 。 与o D : 交于 A 、 B两点 , 延长  0   A, 与 o0   交 于点 C , 延长 0   A, 与 oO   交 于 点 

D, 过 点  作 B E / / O 2 A, 与6 ) 0 。 交 于另一 点 . 若  D E / / O , A , 证明: D C上 C O   .  

图 2  

1 = 荸 l   1  

( 付 云皓 供题 )   7 . 对 有 限 非 空 实数 集  , 记  的 元 素 个 数  为I  I , 均有 
)=   。 .  

( 郑  焕 供题 )   2 . 记[  ] 表 示 不超 过 实数  的最 大整 数. 设 

,   。 , …,   E   R, 且[  , ] , [   : ] , …, [  ] 为 1 ,   2 , …, n的一个 排列 , 其中, n ≥2为 给定 整数. 求 


集合对 ( A ,   满足  A   uB={ 1 , 2 , …, 1 0 0 } , A   nB=   ,  
l ≤I A   I ≤9 8 .  

∑[   …一  ] 的最大值和最小值.  
( 梁应德 供题 )   3 . 在  名学 生 中, 每名学生 恰认识 d名男 生  和 d名女 生 ( 认识是相互 的 ) . 求所 有可能 的正整  数数对 ( 凡 , d ) .   ( 王新茂 供题 )  



任取 P∈ B, 令  A   =  U } P } , B p =i  I  E   B,  ≠ p } .   对所有 满足上述条件 的集合对(  ,   与P   E   求( 厂 ( A   ) 一  A ) ) (  B   ) 一   B) ) 的最大值.  

4 . 对整 数 m> 14 , 定 义  为满 足下列条 件的  数列 a 1 , a   , …, a  的个数 :  
( 1 ) 对每个 i = l , 2 , …, m, a   ∈{ l , 2 , 3 , 4 } ;   ( 2 ) a l =a  =1 , a 2 ≠1 ;   ( 3 ) 对每个 i = 3 , 4 , …, m, a 。 ≠a  , a   ≠   证明: 存 在 各项 均 为正 数 的等 比数 列 { g   } ,   使得对 任意整数 ≥4 , 均有 

( 何 忆捷 供题 )   8 . 设  为正整数 , S为 { 1 , 2 , …, n } 中所 有 与  互素 的数构成的集合. 记 

S - = s   n ( o , 号 ] , S z = . s   n ( 詈 ,   】 ,  
n (  ,   】 .  
若集 合 S的元 素个数为 3的倍数 , 证明: 集合  . s   、 J s   、 . s , 的元素个数相等.   ( 王 彬 供题 )  

g   一 2   0 g n < T   < g n 七 2、 『 g n .  
( 朱华伟 供题 )   5 . 设正整数 a 不为完全平方数 , r 为关于  的  方程  一 2 a x+1 = 0的一 个实 根. 证明: r +   为  无理数.   ( 李胜宏 供题 )  

参 考 答 案 
1 ? 辅 助线 如图 3 ?   c  

6 . 如图2 , 在锐角△ A B C中, A B> A C , D、 E分  别为 边 A B、 A C 的 中 点.△ A D E 的 外 接 圆 与  △ B C E 的外 接 圆交 于 点 P( 异 于点 E) , △A D E 的  外接 圆与△ B C D的外接阅交于点 Q( 异 于点 D) .   证明: A P= A Q .  

2 0 1 4年 第 1 1 期 

2 9  

选择.  

= = > Y   +a y+1一( 3 y  一0 )   :0 .  

此时 , 数列的个数为 

因为 a 不 为完 全 平方 数 , 即   不 为有 理数 ,  
所以,  
『 y  +a y +1=0,  

∑6 × 鲁  



= 4 ∑T  +   = 4 ∑T I .  
.  

舭  

综合两种情 形 , 当n > 1 7时有 
 

6 +4  

i 3 y   - a : 0 .   年 
设 Q D与 A C交 于 点 尺 .  

消去 a 得4 y 。 +1 = 0 , 与Y 为有理数矛盾.  
6 . 如 图 4, 联结 D E、 P D、 Q E、 P B、 QC、 P E、 Q D .  
=T n+4  

用  +1代 替 凡得 
— 、 

T n + 1=6 +4  

注意 至 0 ,   = 6+ 4 r , =3 0=T 6 +4 T 4 .  

从而 ,   =   一 , + 4  一 , 对所 有 整 数  ≥7成  立, 即{   }   为线性递推数列 , 其特征方 程为 
:   + 4.  

解 得 

2 ,  

,  

.  
图 4  

因此 , 可设  = A x   +   ; +   ; ( A 、 B、 c为待 
定系数 ) .  

由圆周角定理得 
A尸D =丁 c一   BPD = 


将  =   = r 6 = 6 代入解得 
=  
,   =  

AED =丁 c一   EPD 

ACB .  

( 半  

BPE 一  

( 7 c 一   A C B)一   B A C=   A B C,  

A Q E=   A DE=   A B C.   C Q E:   C Q R+   RQ E  
=  

A BC +  

DA E =7 c —   ACB.  

[   厂 _ ( 专  ] .  
令g   = 3 × 2 一   .   则{ g   } 为等比数列 , 且对任 意 ≥4均有 
I   —g  l  

故  A P B=   A P D" 4 -   B P D  
:  

A Q E+   C Q E=   A Q C .  
A DP  s i n  
APD s i n  

另一方面 , 在△ A P B中,  
AP   A P  B D  s i n  
BP  AD BP  s i n  

BP D 
BDP 

s i n / BP D 


s i n   A BC 



≤ 

l  [ ( 二  n - 5 - (   厂 ]   (   厂 I + l ( - 1 - , / 7   i ) 一   I ]  
× 2×(   )   =   =  

s i n   A P D —s i n (  一   A C B)  

类 似地 , 在△ C Q A中,  
s i n  
一  

A BC  

A Q  s i n ( 7 c 一   A C B)。  
因此 ,   =   .  

:  

< 2   0   g  .  

结合  A P B=   A Q C , 知△ A P B∽ △ C Q A .  

由于 D、  分 别 为这两 个相 似三 角形对 应 边 

因此 , g   一 2  

< T n < g   + 2  ̄ / g n .  

的中点 , 故△A P D∽△ C Q E .  
于是 ,   A D P=   C E Q=   A D Q .  

5 . 假设 r +   为有理数.  

令Y = r + √ Ⅱ. 贝 0   r = Y 一  ̄ / n.  
代人题给方程得 
( Y一   )  一2 a ( y一   )+1= 0  

因此 , A P= A Q .   7 . 记 S=(  A   ) 一  A ) ) (  B p ) 一  B ) ) .   由. 厂 的定义及题 目 所 给条件 知 

3 0  

中 等 数 学 

( I A   l + 1 ) f ( A   )   I A   I f ( A ) + p ,  

另一方 面 , 在 A={ 1 } , B={ 2 , 3 , …, 1 0 0} 且 

( I BI 一1 )  B   ) =l BI f ( B) 一 P 。  

P = 2 6的情形下 , 可 南式①验证得 


知 s : (   一  ) -   ( \     I I 一   1一   ” B ~   ) ) 』  


(   二  2 (   二  
2×9 8  

一  
1 9 6‘  

从而 , S的最大值为 

.  

( 卫二   ) 2   旦  
(f A   I +1 ) (I   Bl 一1 )’  

① 

8 . 用I Xl 表示有限集合  的元素个数.   对每个正整数 n , 定义 A ( n ) 为所有 与 凡互 素  的整数构成的集合 , 并对每个整数 , 定义 

及5 =   ) 一   , 一  
一 一    

] .   】  
二  
’  

n ) =  ) n (  n ,   n ] .  
则对任意整数 均有 

二   !  
l A   l     I B   l  

② 

(  , 凡 )=1亡  (   +n , n )=1 ,   ∈A   ( n )   +n∈ A   + 3 ( 凡 ) ,  

接下来证 明 :  

J AA ) 一  B ) } ≤5 0 , I f ( A   ) 一  B   ) l ≤5 0 ,  
且 5 ≤   .  

l A ^ ( n ) l =I A   + 3 ( n ) 1 .  

若 正整数 凡 满 足题 目的结论 , 即 
l  l ( 1 1 , )I =l A 2 ( n ) l :I A 3 (  ) I ,  

事实上 , 注意到 , I AI +l Bl = 1 0 0 .   故f ( A )一  B )  
≤  一  

这等价于对所有 的整数 , l A   ( n ) I 均 相等 , 将 满  足这一性 质的正整数 凡 称为 “ 平衡 的” .   先证明一个 引理.  

引理
5 0.  

若 正整数 凡为平衡 的 , 则对 任意 素数 

1 0 0+( I   B   I +1 )   1- I - I   B  
2   2  

P , 乘积 p n 也为平衡的.   此时 , 南定义知对 所有 的整 数 , J   A   ( n ) I 均  相等 , 令其 为 m .   下面分两种情形考虑.  



( A)一   B)   + 2+… +I A     1 l 0 0+ 9 9+… +( I A   l +1 )  
I A   l  
l+ I A  I  
: ~ ~  

I 曰I  
2   = 一5 O.  

( 1 ) 若P   I 凡 , 贝 0 (  , p n ) = 1   e  (  , n ) =1 .  
从而 , A( p n )= A( 几 ) .  

1 1 3 0+(1 A   l +1 )  

2  

因此 , l I 厂 ( A)一   B) l ≤5 0 .  

则 A 1 (  = A ( p n ) n ( o ,   = 4 ( n ) n ( 0 , 钏 
=A   ( n ) UA : ( 凡 ) U… u   ( n ) ,  

同理 , 由l   I +l   B   l = 1 0 0 , 得 
)一  B   ) I ≤5 O .  

当1 ≤l A   l ≤9 7时 , 由  

( p  A ) )  B ) 一 p ) ≤ f  
故 由式① 知 
s=   (I 1  (  I +  ) I  f 1
一  

1   <  ̄ 6 2 5 ,  

A 2 ( p n )= A( p n ) n  1  n
,  

2 州  

且  (1 A   I +1 ) ( I   B   I 一1 ) /2× > 9 8:1 9 6,  
=  

) n (  

)  

≤   1 9 6.   ‘  

=A 『 J + 】 ( n ) UA   + 2 ( 凡 ) u… uA 2   ( n ) ,  

当f AI = 9 8时 , 根据式②知 



A 3 ( p n ) = A ( p n ) n (   叫  

( P- f ( A ,   ) ) (  B   )一 p )  
— — —   — 一  

:  ) n (   n ,  

’  
( 下转第 4 8页 )  

≤  (  

)   ≤ .  ‘ 6 2 5    

= A 2 川 ( 凡 ) uA 2 p + 2 ( n ) U… uA 3 P ( n ) .  

巾 等 数 学 

且 取 “+” 时, m= 9 4 n一 2 1 ; 取“一” 时, 肌= 9 4 n一 2 5 .  

jⅡ . ≥ 2   0 1 3 +, / 2   0 1 3   十 4   0 5 6   1 9 5≥ 4   8 6 0 . 5  
j 口1 ≥4   861 .  

经计算 , 能够使得 4 7 n   一 2 n+ 1 为完全平方数 
的最 小正整 数 n= 6 , 此时, m: 9 4   X 6—2 5= 5 3 9 ; 4 7 n  

+ 2 n+ 1 为完全平方数 的最小正整数 n = 8 , 此时 ,  
m =9 4 ×8 —2l=731 .  

于是 , Ⅱ   ≥4   8 6 0+   ( i =1 , 2, …, 2   0 1 5 ) .   设A 0 ={ 4   8 6 1 , 4   8 6 2, …, 6   8 7 5} .  

故使得 4 7 ( m   + 4 6 m+ 7 1 3 ) 为完全平方数 的 
最小 的两 个 正 整 数 m 为 5 3 9、 7 3 1 .  

则S ( A ) ≥s ( A 。 ) , 且 当集合 A 。 中任意三个不  同数 。   < 口 , < 0   时,  
口  +0   >4 /   8 61   +4   8 6 2  =4 7   2 6 8   3 6 5   >4 7   2 6 5   6 2 5 =6   8 7 5  ≥ 0   ,  

四、 当集合 A给定 时 , S ( A ) 唯一确 定. 于是 ,   要使 s ( A ) 最小必须 使集合 A中元素尽可能小.  
设 A={ 口 l , n 2 , …, 0 2   o 1 5 } , 0 l <0 2 <… <口 2   0 l 5 ,  
口   E  Z+ ( i =1 , 2, …, 2   0 1 5 ) .  

即集合 A  中任 意三个 不 同的数 均为 一个非 钝角 
三 角 形 的三边 长.   故5 ( A)   =S ( A 。 )  


注意到 , 集合 A中任 意三 个不 同数 口   、 口 , 、 Ⅱ   ( 1 ≤  .   < k ≤2   0 1 5 ) 为一个非钝角三角形 的三边            

的充分必要条件是 口   + 0 2 , ≥口   , 即  =4   0 2 6 a 2 + 2   0 1 3   ≥4   O 2 6 ( n l +1 )+2   0 1 3  
’   ’  2  



n、 b 、 r }^ n   1 1   8 2 4   02 0C o l 4 .  

∑ ( Ⅱ + b + c ) = c   ∑0  
aE - ^ 。  

Ⅱ自 .  相等  

0 j  +r Ⅱ  一4 上  ≥Ⅱ   0 ; 2 o 6 l 5 a .   】一4   0 5 6   1 9 5≥ 0  


( 于现峰 南师范 大学附属 中学 , 4 5 3 0 0 7 )   r z .   河(  墨 鱼  ± 鱼  
。   2  

则 口≥n 2 0 l 5 — 0 ; ≥( n+ 2 0 1 3 )一 ;
( 上接 第 3 O页)   故I A   J ( p n ) I =I A 2 ( p n ) l =l   A   ( p n ) l = p m, 即  
p n为平 衡 的.  

由于 B ( n ) 为A ( 孔 ) 的子集 , 故 
( p n )= A( 凡 )一  (  )  

在三个 区间上的点数均为 p m— m, 即 
I A l ( p 凡 )l :I A 2 ( p n ) I =I A   ( p n ) l  
= p m—m=( P一1 ) m.  

( 2 ) 若 P十 n , 则 
(  , p n )=1   (  , n )=1 , 且(  , P )=1 .  

于是 , A ( p n ) = A ( n )一 B( 1 1 , ) , 其中 ,   B ( n )={  I  E   A ( 凡 ) , P I  }  


所以,   为平衡 的.   从而, 平衡数 的任意素数倍均为平衡的.  

{  f  = p y , Y∈ A ( n ) } .  

反 复使用引理 , 知平 衡数 的任意正 整数倍 均 
为平衡 的.  

由( 1 ) 中讨论 , 知A ( n ) 在区间  

( 0 ,   1 凡 】 、 (  ,  凡 】 、 (   叫  
上各有 p m个点.  

现假设 5的元素个数为 3的倍数 , 将凡 分解为 
n= p   P 2   …p :   ,  

其中 , P 。 , P : , …, P  为互不 相 同的素数 , n   , 口   , …,  

 为 正 整 数 .   集 合 B ( 凡 ) 中 的 元 素   : p y   E ( 0 ,   1   n ] 对 应  n

A ( n ) 中 的 元 素 y ∈ ( o , ÷ 凡 ] , 这 样 的 数 有 I   ( n ) I   得到 n为 9的倍数或 n含有 孤 +l 型素因子 
=m 个 .  

南3   l   I S I =   ( n ) = ( P 。 一 1 ) …( p   一 1 )  ~ ? ?   ~,  

简单验算知 9和素数 P= 3 k +1 均 为平衡 的.   从而 , 正整数 n为平衡 的.   ( 朱华伟 提供 )  

于是 , 集合 B ( 凡 ) 在该 区间中恰有 m个点.   同理 , B ( n ) 在另外两个 区间中也恰有 m个点.  


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