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江苏省宿迁市宿豫中学2015届高考数学二轮复习专题检测:圆锥曲线中的探索性问题

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37 圆锥曲线中的探索性问题 x2 2 1.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y =1 有两个 2 不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; → → (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k,使得向量OP+OQ → 与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由已知条件,得直线 l 的方程为 y=kx+ 2, 代入椭圆方程得 +(kx+ 2) =1. 2 1 2 2 整理得( +k )x +2 2kx+1=0.① 2 1 2 2 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ =8k -4( +k )=4k -2>0, 2 解得 k<- 2 2 或 k> . 2 2 2 2 )∪( ,+∞). 2 2 x2 2 即 k 的取值范围为(-∞,- (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2), 4 2k 由方程①,得 x1+x2=- 2.② 1+2k 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2.③ → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1). → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 2 将②③代入上式,解得 k= . 2 由(1)知 k<- 2 2 或 k> , 2 2 故不存在符合题意的常数 k. 2.已知双曲线方程为 x - =1,问:是否存在过点 M(1,1)的直线 l,使得直线与双曲线交 2 于 P、Q 两点,且 M 是线段 PQ 的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说明理 由. 解 显然 x=1 不满足条件,设 l:y-1=k(x-1). 2 y2 联立 y-1=k(x-1)和 x - =1, 2 消去 y 得(2-k )x +(2k -2k)x-k +2k-3=0, 2 3 2(k-k ) 由 Δ >0,得 k< ,x1+x2= 2 , 2 2-k x1+x2 k-k2 由 M(1,1)为 PQ 的中点,得 = 2=1, 2 2-k 3 解得 k=2,这与 k< 矛盾, 2 所以不存在满足条件的直线 l. 2 2 2 2 2 y2 x 2 y2 3.设椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过 M(2, 2),N( 6,1)两点,O 为坐标原点. a b (1)求椭圆 E 的方程; → (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA → ⊥OB?若存在,写出该圆的方程,并求 AB 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 (1)因为椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过 M(2, 2),N( 6,1)两点, 4 2 ? ?a +b =1, 所以? 6 1 ? ?a +b =1, 2 2 2 2 x2 y2 a b 1 1 ? ?a =8, 解得? 1 1 ? ?b =4, 2 2 ? ?a =8, 所以? 2 ?b =4, ? 2 椭圆 E 的方程为 + =1. 8 4 x2 y2 → (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA y=kx+m, ? ? 2 2 → ⊥OB,设该圆的切线方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组?x y + =1 ? ?8 4 x2+2(kx+m)2=8, 即(1+2k )x +4kmx+2m

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