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四川省宜宾市高中2013届二诊考试文科数学试题


宜宾市高中 2013 届二诊考试试题



学(文史类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、学校填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将

答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡规定位置上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后, 将答题卡交回。 参考公式: 球体的面积公式 S=4π R2 球的体积公式 V=

4 π R3 3 1 Sh 其中 S 表示锥体 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=

的底面积, h 表示锥体的高 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V= h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下面积,h 表示台体的高 如 果 事 件 互 斥 , 那 么 P( A + B) = P( A) + P( B) 如 果 事 件 相 互 独 立 , 那 么

1 3

p( A ? B) ? p( A) ? p( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 那么在 n 次独立 重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = Cn pk (1- p)n- k (k = 0,1, 2,…, n)

第 Ⅰ卷

(选择题共 50 分)

一、选择题。本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A= ?2,4,6,8,10?,B= ?3,5,8,12? ,C= ?8?,则可得到( (A) A U C ? B (B) B U C ? A (C) A ? B ? C ) (C) 25



(D) A U B ? C

2. 若是虚数单位,则 (4 ? 3i)(4 ? 3i) ? ( (A) 25 (B) 7

(D) 7

3. 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如下图所示,则该几何体的体积为(



4cm

4cm

4cm 正视图

4cm 侧视图

4cm 俯视图

(A)

16 3 16 64 3 3 cm ( B) ? cm (C) cm 3 3 3

(D)

64 ? cm3 3
开始

4. 如果执行如图所示的框图,输入N=10, 则输出的数等于( (A)25 (B) 35 ) (C) 45 (D) 55

输入 N

K=1,S=0 5.设是直线, ? , ? 是两个不同的平面, 下列命题成立的是( ) S=S+k K=K+1 是

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 2页(共 6 页)

K<N 否

(A) 若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? (B) 若 l ? ? , ? ∥ ? ,则 l ? ? (C) 若∥ ? , ? ? ? , 则 l ∥ ? (D)若∥ ? , ? ∥ ? ,则 l ∥ ? 6. 已知等差数列 ?a n ?中, a n ? 44, S n ? 158, d ? 3 , (A)4 (B)5 (C)6 则 n=( )

(D)7

7. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, | ? |?

?
2

)的图象如图所示,为了得到
y π 3 O -1 7π 12 x

f ( x) 的图象,则只需将 g(x)=sin2x 的图象

(A). (B). (C). (D).

? 向右平移 个长度单位 6 ? 向左平移 个长度单位 6 ? 向右平移 个长度单位 3 ? 向左平移 个长度单位 3

8. 设 a 、 b 为非零向量,则“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? (ax ? a) ? (bx ? b) 是一次函数”的 ( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 9. 已知抛物线 C: y ? 24 x ,
2

直线过抛物线 C 的焦点, 且与C的交点为A、 B两点, AB 则

的最小值为( (A)6

) (B)12
2

(C)18

(D)24

10. 已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x ? 2 x ? a ( x ? 0) ? f ( x ? 1)( x ? 0)

,且函数 y ? f ( x) ? x 恰有 3 个不同的零

点,则实数 a 的取值范围是 (A) (0,??) (B) [?1,0) (C) [?1,??) (D) [?2,??)

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 3页(共 6 页)

宜宾市高中新 2010 级二诊考试题



学(文史类)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用蓝、黑的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡对应的题中横 线上. 11. 某私立校共有 3600 人,其中高中部、初中部、小学部的学生人数成等差数列递增,已 知公差为 600, 现在按 1:100 的抽样比,用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取小学部学 生人数为 .

12. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 ( a >0)的离心率为 2 ,则 a 的值是 a
?x

.

13.方程 2

? x 2 ? 3 的实数解的个数为_______.

?x ? y ? 2 ? 14. 已知平面直角坐标系 xoy 上的区域D由不等式组 ? x ? 1 给定, M ( x, y ) 为D上的 若 ?y ? 2 ?
动点,A的坐标为(-1,1) ,则 OA ? OM 的取值范围是_____________. 15.
2

在平面直角坐标系 xoy 两轴正方向有两点 A (a, 0) 、B(0, b)(a>2, b>2), 线段 AB 和
2

圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切, 则△AOB 的面积最小值为_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.不 能答试卷上,请答在答题卡相应的方框内. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin(? ? ? x) ? sin( 相邻最高点的坐标分别为 ( (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 2 求 17.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥P-ABC 中, AB=AC=4, D、E、F 分别 为 PA、PC、BC 的中点, BE=3, 平面 PBC⊥平面 ABC, BE⊥DF. (Ⅰ)求证:BE⊥平面 PAF; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 PAF 所成的角.

?
2

? ? x)(?>0) 的图像上两

?

4 ,2), ( ? ,2) . 3 3

b ? 2c 的取值范围. a
P D H F B 17 题图 E C

A

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 4页(共 6 页)

18. 某校为了解毕业班学业水平考试学生的数学考试情况, 抽取了该校 100 名学生的数学 成绩, 将所有数据整理后, 画出了样频率分布直方图(所图所示), 若第 1 组、 9 组的频率各 第 为x. 频率 组距
0.054

0.036 0.030 0.024 0.020 0.012 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105

分数/分 18 题图

(Ⅰ) 求 x 的值, 并估计这次学业水平考试数学成绩的平均数; (Ⅱ)若全校有 1500 名学生参加了此次考试,估计成绩在 ?80,100 ? 分内的人数. 19. (本小题满分 12 分)在数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? c(c 为常数, n ? N ) ,且
?

a1 , a 2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列.
(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 。 a n a n ?1

. 20. (本小题满分 13 分)

x2 y2 设 F1 、 F2 分别为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点. a b
(Ⅰ) 若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 、 F2 两点的距离之和等于 4, 写出椭圆 C 的方程 和离心率.; (Ⅱ)若 M、 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆上除 M、 外的任意一点, 当 N N 直线 PM、PN 的斜率都存在, 并记为 k PM 、 k PN 时, 求证: k PM · k PN 为定值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 , x ? 1时函数 f (x) 取得一个极值, 当
3 2

3 2

其中 m, n ? R, m ? 0 . (Ⅰ)求 m 与 n 的关系式; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; 求 m 的取值范围. (Ⅲ)当 x ? ?? 1,1? 时,函数 y ? f (x) 的图象上任意一点的切线的斜率恒大于 3m ,

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 5页(共 6 页)

宜宾市高新 2010 级二诊考试
数学(文史类)试题参考答案及评分意见
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分 意见制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

C

A

B

D

B

A

B

B

D

C

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.18; 12.1; 13. 2; 14. ?0,2?; 15. 3 ? 2 2

三、解答题(共 75 分) 16.解: (Ⅰ) f ( x ) ?

3 sin ?x ? cos?x ? 2 sin(?x ?

?
6
?

)
11? , 6

由题意知 T ? 2, ? ? 2 .

………..(4 分)

(Ⅱ) f ( A) ? 2, 即 sin(2 A ?

?
6

) ? 1, 又 ?

?
6

? 2A ?

?
6

?2 A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

.

……………………….(8 分)

b ? 2c sin B ? 2 sin C 2 3 2? ? ? ? [sin( ? C ) ? 2 sin C ] ? 2 sin( ? C ) ….. 10 分) ( a sin A 3 3 6

?0 ? C ?

2? ? ? ? b ? 2c ? , ? ? ? ? C ? ,? ? 2 sin( ? C ) ? ( ?2,1) ….(12 分) 3 2 6 6 a 6
P D H F B 17 题图 E C

17.解: (Ⅰ)证明:连结 AF, ∵ AB=AC, F 为 BC 的中点, ∴ AF⊥BC, ??????( 1 分) 又平面 PBC⊥平面 ABC, 且平面 PBC ? 平面 ABC 于 BC, ∴ AF⊥平面 PBC. ??????( 2 分) 又∵ BE ? 平面 PBC, ∴ AF⊥BE. ??????( 5 分) 又∵BE⊥DF, DF ? AF ? F ,
A

∴ BE⊥平面 PAF. ??????( 5 分) (Ⅱ)设 BE ? PF=H, 连 AH, 由(1)可知 AH 为 AB 在平面 PAF 上的射影, 所以∠HAB 为直线 AB 与平面 PAF 所成的角. ∵ E 、F 分别为 PC、BC 的中点,

?????? ( 7 分)

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 6页(共 6 页)

∴ ∴ 分)

H 为△PBC 的重心, 又 BE=3, BH=

2 ?3 ? 2 3 BH 2 1 ? ? AB 4 2
0

??????(

9

在 Rt△ABH 中, sin ?BAH ?

??? ( 10 分) ?????? (12 分)

∴AB 与平面 PAF 所成的角为 30 . 18. 频率 组距
0.054

0.036 0.030 0.024 0.020 0.012 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105

分数/分 18 题图

解: (Ⅰ) x ?

1 ?1 ? 5 ? (2 ? 0.012 ? 0.024 ? 0.020 ? 0.054 ? 0.036 ? 0.030 )? 2

=0.03???????( 3 分) 由图可估计样本平均数

X =0.03×(62.5+102.5)+5×(0.012×67.5+0.012×72.5+0.024×77.5
+0.020×82.5+0.054×87.5+0.036×92.5+0.030×97.5) =85.8(分) ;???????(6 分) (Ⅱ)由图可知样本数据在 ?80,100 ? 分内的频率为

(0.02 ? 0.054 ? 0.036 ? 0.03) ? 5 ? 0.7 ,???????(9 分)
则可以估计此次考试中成绩在 ?80,100 ? 内的人数为 1500×0.7=1050(人)???????(12 分) 19.解: (Ⅰ)∵ a n?1 ? a n ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ? 1)c …..(2 分)

∴ a 2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c . 又 a1 , a 2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) 2 ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2 当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n ? 2n ? 1
….(4 分)

……………..(5 分)

……………………(6 分)

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 7页(共 6 页)

∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a n a n ? 1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

…………………(9 分)

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
?

1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)? 2? ?

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1

…(12 分)

20.解:(Ⅰ) 根据已知条件: 2a=4, 即 a=2, ?????????(1 分) ∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .?????????( 2 分) 4 b2

又 A(1, ) 为椭圆 C 上一点, 则

3 2

1 9 ? 2 ? 1 ,?????????( 3 分) 4 4b
x2 y2 ? ? 1 .?????????( 4 4 3

解得 b ? 3 , 则 椭圆 C 的方程为
2

分)

c ? a 2 ? b 2 ? 1 , ?????????( 5 分)
则椭圆 C 的离心率. e ?

c 1 ? ?????????( 6 分) a 2

(Ⅱ) 设 M 、 N 是椭圆上关于原点对称点, 设 M ( x 0 , y 0 ) , 则 N (? x0 ,? y 0 ) ,
2 2 x0 y 0 ? ? 1 ,?????????( 8 分) 4 3

P 点坐标为(x, y), 则

x2 y2 ? ? 1 ?????????( 9 分) 4 3
即 y 0 ? 3(1 ?
2 2 x0 ), 4

y 2 ? 3(1 ?

x2 ) ?????????(10 4

分)

k PM ? k PN

2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 ? ? ? 2 ?????????( 11 分) 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0

3 2 ( x0 ? x 2 ) 3 ? 4 2 ? ? ?????????(13 2 4 x ? x0
' 2

分)

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n ,???????( 1 分) ∵ ∴

x ? 1 是函数 f (x) 的一个极值点,
f ' (1) ? 0 , 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 , 即 ??????? ( 3 分)

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 8页(共 6 页)

则 n ? 3m ? 6 ;???????( 4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6
' 2

= 3m( x ? 1)[ x ? (1 ? ∵

2 )] , m

m ? 0 ,∴ 1 ? 1 ?

2 ???????(5 分) m

当 x 变化时, f ( x)与f ( x) 的变化情况如下表:
'

x

(??,1 ?
- ↘

2 ) m

1?

2 m

(1 ?

2 ,1) m

1

(1,??)
- ↘

f ' ( x)

0 极小值

+ ↗

0 极大值

f (x)

由上表知,当 m ? 0 时, f (x) 在 (??,1 ? 在 (1 ?

2 ) 上单调递减,???????(8 分) m

2 ,1) 上单调递增,在 (1,??) 上单调递减; m
' 2

(Ⅲ)由已知得 f ( x) ? 3m ,即 mx ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 ,???????( 分)

9

2 2 (m ? 1) x ? ? 0 , m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其图象开口向上, m m


m ? 0, ∴

x2 ?

由题意知当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? 0 恒成立,???????( 11 分)

2 2 ? ? g ( ?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 则? ,即 ? , m m ? g (1) ? 0 ?? 1 ? 0 ?

4 .???????(13 分) 3 4 又 m ? 0 ,∴ ? ? m ? 0 , 3 4 故 m 的取值范围为 (? ,0) .???????( 14 分) 3
解之得 m ? ?

宜宾市高中新 2010 级二诊考试数学(理工农医类)第 9页(共 6 页)


四川省宜宾市高中2013届二诊考试文科数学试题

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