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三角恒等变换习题课1


三角恒等变换复习与习题课

一.公式回顾
⑴两角和与差的三角函数公式
sin(α ? β)=sinαcosβ

? cosαsinβ

cos(α

tan? ? tan ? tan(α ?β) = 1 ? tan? tan ?

? β)=cosαcosβ<

br />
?

sinαsinβ

⑵二倍角公式 sin2α=2sinαcosα

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

⑶变形公式: ? 2 升幂缩角 1+cosα=2cos

? 1-cosα=2sin2 2 2 1 ? cos 2? 2α= 1 ? cos 2? sin 降幂扩角 cos2α= 2 2 2 tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? (1 ? tan ? tan ? ) sin ? ? cos ? ? 1 ? sin 2?
? a a sin x ? b cos x ? a ? b ? sin x ? 2 2 ? a ?b
2 2

?

? cos x ? 2 2 a ?b ? b

?

? a 2 ? b 2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? 其中cos ? ? a a 2 ? b2 , ?? sin b a 2 ? b2

? a 2 ? b2 cos ? x ? ? ?

(4)半角公式: sin ? ? 1 ? cos? 2 2

?

? tan = ? 1 ? cos? 1 ? cos? 2

1 ? cos ? sin ? = = sin ? 1 ? cos ?

1 ? cos? cos ? ? 2 2

?

已知实数x、y满足x ? y ? 1,则x ? y的
2 2

取值范围为_____.

1 sin 2 A ? cos2 A 已知 tan( ? A) ? ,求 的值. 2 4 2 2 cos A

?

已知锐角三角形 ABC的内角A、B、C,B ? 求 cos A ? sin C的取值范围 .

?
6



1.已知函数f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2

(1)求f ( x)的最小正周期和单调减区间;

(2)当x ? [0, ]时,求f ( x)的最大值和最小值。 2

?

T ?? f ( x)max

5? [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 ? 2? 2 f ( x)min ? 1

?

2.已知f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x, x ? R.
2 2

求(1)函数f ( x)的最大值及取得最大值的 (2)函数f ( x)的单调增区间。

自变量x的集合

? { x | x ? k? ? , k ? Z } 8

? ? [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8

1 3.已知函数f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ? 2 (1)求函数f ( x)的最小正周期
2

(2)求函数的最大值、最小值及取得 最大、小值时自变量x的集合 (3)求函数的单调区间

专题一

三角函数式的化简

1.三角函数式化简的基本原则: (1)切化弦. (2)异名化同名 (3)异角化同角. (4)高次降幂. (5)分式通分. (6)无理化有理(化平方后开方) . (7)常数的处理(特别注意“1”的代换).

专题二 三角函数的求值 三角函数的求值有三种类型: (1)给角求值:利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角 的三角函数问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角 的三角函数值,解题的关键在于“变角” ,如:

α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.把所求角
用含已知角的式子表示,求解时要注意角范围的讨论; (3)给值求角:实质上是转化为“给值求值” ,关键也是变角, 把所求角用含有已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函 数的单调性求得角.

例4、 设α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1, 3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.

专题三

三角恒等式的证明

(1)从复杂的一边入手,逐步化简,证得与另一边相等; 在证明过程中,时刻“盯”住目标,分析其特征,时刻向着目 标“奔” . (2)从两边入手,证得等式两边都等于同一个式子. (3)把要证的等式进行等价变形. (4)作差法,证明其差为 0.
1 2? ( 3+cos4x? 例 5、求证:tan x+ = tan2x 1-cos4x
2

) .

[分析]

本题目中角有 x、 x, 4 函数名称有切、 有弦. 证

明可从左到右,或从右到左,统一角,统一函数名称.

[证明] sin x cos x sin x+cos x 左边= 2 + 2 = cos x sin x sin2xcos2x ? = sin2x+cos2x? 2-2sin2xcos2x 1 2 sin 2x 4 8-4sin 2x = = 1-cos4x
2 2 2 4 4

1 1 2 2 1- sin 2x 1- sin 2x 2 2 = = 1 1 2 sin 2x ? 1-cos4x? 4 8

4+4cos22x 4+2(1+cos4x) 2(3+cos4x) = = =右边.原 1-cos4x 1-cos4x 1-cos4x 式得证.

专题五

数形结合的思想

在解决三角函数方面的问题时, 大多数题目都要画出所涉及 三角函数的草图,然后结合图象去解决,所以数形结合思想在解 决三角函数问题上有着广泛的应用.

例 6、若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上恰有两个不 同的实数解,求 a 的取值范围.

[解析]

∵ 3sinx+cosx=a,

? π? ? ∴a=2sin?x+ ?,其中 6? ? ?

x∈[0,2π].

画出函数

? π? ? f(x)=2sin?x+ ?, 6? ? ?

x∈[0,2π]的图象,如下图所示,
由已知方程 3sinx +cosx = a 在 [0,2 π ] 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 解.即函数
? π? f(x)=2sin?x+ ?,x∈[0,2π]的图象与直线 ? 6? ? ?

y =a

有两个不同的交点,结合图象易得 a 的取值范围为(-2,1)∪ (1,2).

专题四 三角恒等变换的综合应用
tanA 2sinC 例 7、在△ABC 中,角 A,B,C 满足 1+ = . tanB sinB (1) (2) 求角 A;

?? ? | m ? n |的最小值.

? ? ?? ? 2C? ? 若 m = (0 , - 1) , n = ?cosB,2cos ? , 试 求 2
? ?

sinAcosB 2sinC 解: (1) 1+ = , sinBcosA sinB sinBcosA+sinBcosB 2sinC sin(A+B) 2sinC 即 = , ∴ = , sinBcosA sinB sinBcosA sinB

1 π ∴ cosA= .∵ 0<A<π, ∴ A= . 2 3

解:(2) ∴

C m+n=(cosB,2cos -1)=(cosB,cosC), 2
2

?2π ? |m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2? -B? ? ? 3 ? ?

? π? 1 π 2π ? ? =1- sin?2B- ?.∵ A= ,∴ B+C= , 6? 2 3 3 ?



? 2π? π π 7π ? ? B∈?0, . ?.从而- <2B- < 3 ? 6 6 6 ? ? π? ? sin?2B- ?=1, 即 ? 6? ?

∴ 当

π 1 2 B= 时, +n| 取得最小值 . |m 3 2

2 所以,|m+n|min= . 2

π 例 8: 已知 a=(1,2sinx),b=(2cos(x+ ),1),函数 f(x)=a·b(x∈R). 6
8 π (1)求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若 f(x)= ,求 cos(2x- )的值. 5 3
【解】 (1)f(x)=a·b=2cos(x+

π
6

)+2sinx=2cosxcos

π
6

-2sinxsin

π
6

+2sinx= 3cosx+sinx=2sin(x+

π
3

).

π

3π π 7π +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,得 +2kπ≤x≤ +2kπ, 2 3 2 6 6 π 7π 所以 f(x)的单调递减区间是[ +2kπ, +2kπ](k∈Z). 6 6 π π 8 (2)由(1)知 f(x)=2sin(x+ ).又因为 2sin(x+ )= , 3 3 5 π 4 π π 所以 sin(x+ )= ,即 sin(x+ )=cos( -x)=cos(x- 3 5 3 6 π 4 π π 7 2 )= . 所以 cos(2x- )=2cos (x- )-1= . 6 5 3 6 25

π

?? ? ?? ? 8 2 已知: 练习: m ? (cos? ,sin ? )和n ? ( 2 ? sin ? ,cos? ),? ? (? ,2? ), 且 m ? n ? 5 ,

求 cos( 2 ? 8 ) 的值.
? ? 解: m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2, cos? ? sin ?)
? ? m?n ?
?

?

?

(cos? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos? ? sin ?) 2

? ? 4 ? 4 cos(? ? ) ? 2 1 ? cos(? ? ? ) 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ?) 4 4
m?n ? 8 2 5

由已知

,得

cos( ? ?

? 7 )? 4 25

? ? 16 cos 2 ( ? ) ? 又 所以 2 8 25 5? ? ? 9? ? ? ? ? ? ? ? 2?,? ? ? ? ? cos( ? ) ? 0 ? cos( ? ? ? ) ? ? 4 8 2 8 8 2 8 2 8 5

cos( ? ?

? ? ? ) ? 2 cos 2 ( ? ) ? 1 4 2 8

例 9、已知向量

? 3? a=?sinx, ?,b=(cosx,-1). ? 2? ? ?
2

(1)当 a∥b 时,求 2cos x-sin2x 的值; (2)求 f(x)=(a+b)·b [分析]
? π ? 在?- ,0?上的最大值. ? ? 2 ? ?

(1)利用 a∥b 求出 tanx,用 tanx 表示

2cos2x-sin2x; (2)将函数 f(x)的解析式化简为 Asin(ω

x+φ)的形式求出最大值.

[解析]

3 3 (1)∵a∥b,∴ cosx+sinx=0.∴tanx=- . 2 2

2cos2x-2sinxcosx 2-2tanx 20 ∴原式= = = . sin2x+cos2x 1+tan2x 13 3 (2)f(x)=(a+b)· b=a· b+b =sinxcosx- +cos2x+1 2
2

1+cos2x 1 1 1 1 = sin2x+ - = sin2x+ cos2x 2 2 2 2 2 π? 2 ? π 3π π π ? ? = 2 sin?2x+4?.∵-2≤x≤0,∴- 4 ≤2x+4≤4. ? ?
? π? ? ∴-1≤sin?2x+4?≤ ? ? ?

2 2 1 2 .∴- 2 ≤f(x)≤2.

? ? π 1 ? ? ∴f(x)在?-2,0?上的最大值为2. ? ?

cos1? cos 2? cos3? cos89? 例 10、(1)求: sin 46? ? sin 47? ? sin 48? ? ... ? sin134? =
89 2 A. 2





B. 89 2
2 11 ·cos 11

C. 90 2

(2) cos

?

90 2 D. 2

?

3 ·cos 11

?

4 ·cos 11

?

5 ·cos 11

?=

cos ? cos ? cos((? ? 45? ) ? 45? ) 2 2 ? ? ? ? tan(? ? 45? ) ? ? ? 解:? sin(45 ? ? ) cos(45 ? ? ) cos(? ? 45 ) 2 2
?

cos1? cos 2? cos 3? cos89? ? ? ? ... ? sin 46? sin 47? sin 48? sin134?

= 另解:(利用诱导公式配对求和)

89 2 2 2 ? 89 ? (tan( ?44? ) ? tan( ?43? ) ? ... ? tan 44? ) = 2 2 2

,选 A

cos ? cos(900 ? ? ) cos ? sin ? sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? 2 ? sin(45? ? ? ) sin(135? ? ? ) sin(45? ? ? ) sin(45? ? ? ) sin(45? ? ? )

cos1? cos 2? cos3? cos89? ? ? ? ... ? sin 46? sin 47? sin 48? sin134? cos1? cos89? cos 44? cos 46? cos 45? 89 ?( ? ) ? ... ? ( ? )? ? 2 sin 46? sin134? sin89? sin91? sin90? 2
? 2 3 4 5 (2) cos 11 ·cos 11 ? ·cos 11 ? ·cos 11 ? ·cos 11 ? =_____1/32_____.

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3 1.(2012· 全国)已知α为第二象限角,sin α+cos α= 3 ,则cos 2α = 5 A.- 3 5 C. 9 5 B.- 9 5 D. 3 ( A ).

第三章

章末归纳总结

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1 2.(2012· 江西)若tan θ+ =4,则sin 2θ= tan θ ( D ). 1 A. 5 1 C.3 1 B. 4 1 D.2

第三章

章末归纳总结

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3. (2012· 广东)已知函数 小正周期为 10 π. (1)求 ω 的值; (2)设

? π? ? f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ? ? ?

ω>0,x∈R)的最

? π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= ,求 ? 17 5 ? ? ? ? ? ?

cos(α

+β)的值. [审题视点] (1)由 T=10π 可得 ω 的值;(2)化简所给的已知条 件,求得 cos α、sin β 的值,将 cos(α+β)展开,代入数据即 可.
第三章 章末归纳总结

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【突破训练1】

? ?π 3π? π? 2 已知cos?x-4?= ,x∈?2, 4 ?. ? ? 10 ? ?

(1)求sin x的值;
? π? (2)求sin?2x+3?的值. ? ?

第三章

章末归纳总结


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