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成都树德中学高2011级第六期3月阶段性考试数学试题(理科)


成都树德中学高 2011 级第六期 3 月阶段性考试 数学试题(理科)
考试时间 120 分钟 满分 150 分 命题人:黄波
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x ∈A,y∈A,x+y∈A},则 B 中所含元素 的个数为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 2

.设复数 ?1 ? ? 1 ? 3 i, ?2 ? cos ? ? i sin ? ,若 z 2 2 12 12

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? FA ? FB ? FC ? FD ? FE ? 0 ,则 | FA | ? | FB | ? | FC | ? | FD | ? | FE |? (
A D 5 B 10 C

)

5 16

85 16
d (a, b, c, d ? R) ax ? bx ? c
2

9.若函数 f ( x) ?

? ?1 ? ?2 ,则复数 z 的虚部为(
(D)

的图象如图所示,则 a : b : c : d ? ( A. B. C. D. 1: 6: 5: 8 1:6:5: (-8) 1: (-6) :5: 8 1: (-6) :5: (-8)

)

)

1 (A) ? 2

1 (B) 2
)

2 (C) ? 2

2 2

3.下列四种说法中,正确的是( A. A ? ?1, 0? 的子集有 3 个;

?

B.“若 am ? bm , 则a ? b ”的逆命题为真;
2 2

10. 对于函数 f ? x ? ,若 ? a, b, c ? R , f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 为某 一三角形的三边长,则称 f ? x ? 为“可构造三角形函数”.已知函数

C.“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; D.命题“ ?x ? R , x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, 使得 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 4.要得到函数 y ? sin(2 x ?

ex ? t 是 “ 可构造三角形函数 ”,则实数 t 的取值范围是 f ? x? ? x e ?1
( ) ) A. ? , 2 ? B. ? 0,1? C. ?1, 2 ? D. ? 0, ?? ? ?2 ? 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 执行如图所示的程序框图,输出的 S = 12.正项数列 ? an ? 中, a2 ? 3, Sn ?

n ? 10 ?
S ? S ? n?2n

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象(

?1

?

A.向右平移 ? 单位 B.向左平移 ? 单位 C.向左平移 ? 单位 D. 向右平移 ? 单位 8 8 4 4 5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 2 是( ) 2 A. 18 ? 2 5 C. 24 ? 4 5
3 8

an 2 ? 2an ? p (n ? N * ) ,则实数 p= 4

B. 24 ? 2 5 D. 36 ? 4 5 1 1 ) 2

? 3xa ? 4ya ?1 x ? 2y ? 3 3 ? x?0 13.设 x, y 满足约束条件 y ?0 ,若 z ? 的最小值为 ,则 a 的值为 x ?1 2 ?
14. f ( x) ? ? x ? x ln x ? m, g ( x) ? ?

6.在 (1 ? x) (1 ? x) 的展开式中,含 x 2 项的系数是 n,

若 (8 ? nx) n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? ? ? an x n ,则 a1 ? a2 ? ??? ? an ? ( (A)1 (B)-1 (C) 1- 87

3 3 3e x ,若任取 x1 ? (0, ) ,都存在 x 2 ? (0, ) , 2 2 2 3 ? 4x
____

使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,则 m 的取值范围为_____ 15.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ? )

(D)-1+ 87

7. 从 1, 2, 3……20 这 20 个数中任取 2 个不同的数, 则这两个数之和是 3 的倍数的概率为( A.

? ?? ,若平面向量 a 、 b 满足 a ? b ? 0 , ? ??

32 95

B.

3 38

C.

1 19

D.

57 190

8. 已 知 A , B , C , D , E 为 抛 物 线 y ?

1 2 x 上不同的五点,抛物线焦点为 F, 满足 4
2014-3 高三数理月 3

?n ? ? a 与 b 的夹角 ? ?[0, ] ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? m ? Z , n ? Z ? 中.给出下列命题: 4 ?m ? 1 ①若 m ? 1时,则 a ? b ? b ? a ? 1, ②若 m ? 2 时,则 a ? b ? , 2 ③若 m ? 3 时,则 a ? b 的取值个数最多为 7,
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④若 m ? 2014 时,则 a ? b 的取值个数最多为 其中正确的命题序号是

20142 . 2 (把所有正确命题的序号都填上)

(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * , (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立,求实 数 k 的取值范围. ▲ 19.(本题满分 12 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 侧 面 PCD ? 底 面 ABCD , PD ? CD , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形, AB // CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . (1)求证: BC ? 平面 PBD ; (2)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

3 2

?? ? 在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边 m ? (b, 2a ? c), n ? (cos B,cos C), 且 m ∥ n
(1)求角 B 的大小; (2)设 f ( x ) ? cos( ? x ?

B ) ? sin ? x,( ? ? 0), 且 f ( x) 的最小正周期为 ? , 求 f ( x) 在区间 2

? ?? 上的最大值和最小值. 0, ? ? 2? ?
▲ 17.(本小题满分 12 分) 前不久,省社科院发布了 2013 年度“城市居民幸福排行榜”,某市成为本年度城市最“幸 福城市”.随后,树德中学校学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“新华西路”社区人们的 幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数 点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶): (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至 多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记

??? ?

??? ?

P

D

C

A 20. (本题满分 13 分)

B



x2 y2 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1,A2,左、 a b 2 2 5 右顶点分别为 B1,B2,左、右焦点分别为 F1,F2.原点到直线 A2B2 的距离为 . 5 (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)过原点且斜率为 的直线 l,与椭圆交于 E,F 点,试判断∠EF2F 是锐角、直角还是钝角, 2 并写出理由; (3)P 是椭圆上异于 A1,A2 的任一点,直线 PA1,PA2,分别交 x 轴于点 N,M,若直线 OT 与过 点 M,N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值. ▲ 21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

x(1 ? a ln x) ( x ? 1) x ?1
2

▲ 18.(本题满分 12 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 a 恰好是等比数列 ?bn ? 的前三项.
2014-3 高三数理月 3
2 n ?1

(1)当 a ? 0 时,讨论 g ( x) ? ( x ? 1) f ??x ? 的单调性; (2)当 a ? 1 时,若 f ( x) ? n 恒成立,求满足条件的正整数 n 的值;

? 4Sn ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14

?

(3)求证: ?1 ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ?? ? 1 ? n?n ? 1?? ? e ▲
第 2 页 共 4页

2n?

5 2

.

ξ

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

高 2011 级第六期 3 月阶段性考试数学试题参考答案(理科)
1-5:CDCAC 11.8194 12.1 6-10:CABDA 13.1 14. (1 ?

P
E? ? 0 ?

?? ? 16. 解: (1)由 m ? n , 得 b cosC ? (2a ? c) cos B,

3 e , ? ?) 4

15. ①③

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64

k 另解: ξ 的可能取值为0,1,2,3.则 ? ~ B(3, ) , P(? ? k ) ? C3 ( ) k ( )3?k .

1 4

1 4

3 4

?b cosC ? c cos B ? 2a cos B. 正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B,
? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B. 又 B B ? C ? ? ? A, ?sin A ? 2 sin A cos B.
又 sin A ? 0,? cos B ? (2) f ( x ) ? cos(? x ? 由已知

所以 E? = 3 ?

1 ? 0.75 . 4
2

2 2 18.(Ⅰ)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4 an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

1 ? . 又 B ? (0, ? ),? B ? . 2 3
6 ) ? sin ? x ? 3 2 ? cos ? x ? sin ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 3 6

?

2 ? a2 ? a14 , ? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列 . ? a2 , a5 , a14 构成等比数列, ? a5

2?

?

? ? ,? ? ? 2. f ( x) ? 3 sin(2 x ? ]时,2 x ?

?
6

2 (a2 ? 6)2 ? a2 (a2 ? 24) 2 ,解得 a2 ? 3 , 由条件可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1

),
? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

当 x ? [0,

?
2

?

? 7? ? 1 ? [ , ], sin(2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 6 6 2
,即x ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n
b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 ? 3 ? ? (Ⅱ) Tn ? , 1? q 1? 3 2
3n?1 ? 3 3 2n ? 4 ?( ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒成立, ? k ? 对 n ? N * 恒成立, n 2 2 3
2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) ,cn ? cn ?1 ? ,当 n ? 3 时,cn ? cn ?1 ,当 n ? 4 ? n ?1 ? n 3 3n 3 3n 2 2 时, cn ? cn ?1 ? (cn )max ? c3 ? ,k ? . 27 27 19.解:(Ⅰ)平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,
令 cn ? 所以 PD ? AD , 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .

因此,当 2 x ?

?
6

?

?
2

?
6

时, f ( x)取得最大值 3;

当 2x ?

?
6

?

3 7? ? ,即x ? 时 , f ( x)取得最小值 ? 2 6 2
中位数:8.75 ;

17.解: (1)众数:8.6;

(2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则
P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ; ? ? 3 3 140 C16 C16

(3) ξ 的可能取值为0,1,2,3.
27 ; 3 27 ; 1 1 3 2 P(? ? 1) ? C3 ( ) ? P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

则 A(1, 0, 0), B (1,1, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0,1).

1 3 9 ; 1 1 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

所以 ξ 的分布列为:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? DB ? (1,1, 0) , BC ? (?1,1, 0) , 所以 BC ? DB ? 0 , BC ? DB ,
又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,所以 BC ? 平面 PBD (Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1,1, 0) ,
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??? ?

??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ?1) , PQ ? ? PC , ? ? (0,1) 所以 Q(0, 2? ,1 ? ? ) ,
设平面 QBD 的法向量为 n = (a, b, c) , DB ? (1,1, 0) , DQ ? (0, 2? ,1 ? ? ) , 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,得 所以, ?

所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2.

??? ?

????

? ? a ?? ?1 ? ?1 ? a ln x ? ? x ? 0 ? x ? ? ? x ? 1? ? x ?1 ? a ln x ? ?1 ax ? a ln x ? a ? 1 ? ?? ? ' ? 21.解:(Ⅰ) f ? x ? ? , 2 2 ? x ? 1? ? x ? 1?
令 g ? x ? ? ax ? a ln x ? a ? 1,

??? ?

????

?a ? b ? 0 2? , 所以 n = (?1,1, ), ? ?1 ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0
2 , 注意到 ? ? (0,1) ,得 ? ? 2 ? 1 ? 2

a ? 0 时 g ? x ? ? ?1 为常函数,不具有单调性。 a ? 0 时 g' ? x? ? a ?
a a ? x ? 1? ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增; x x (Ⅱ) a ? 1 时 g ? x ? ? x ? ln x ? 2 ,

??? ? n ? BC 所以 cos 45 ? ??? ? ? n BC
?

2 2 2?( 2? 2 ) ? ?1

3 20.解: (1)因为椭圆 C 的离心率 e= ,故设 a=2m,c= 3m,则 b=m. 2 2m2 2 5 直线 A2B2 方程为 bx-ay-ab=0,即 mx-2my-2m2=0.所以 2 2= 5 , m +4m x2 2 解得 m=1.所以 a=2,b=1,椭圆方程为 +y =1. 4 x2 2 +y =1, 4 2 2 (2)由 得 E( 2, ),F(- 2,- ). 1 2 2 y= x, 2 2 2 → → 又 F2( 3,0),所以F2E=( 2- 3, ),F2F=(- 2- 3,- ), 2 2 2 2 1 → → 所以F2E· F2F=( 2- 3)× (- 2- 3)+ × (- )= >0. 2 2 2 所以∠EF2F 是锐角. (3)由(1)可知 A1(0,1) A2(0,-1),设 P(x0,y0), y0-1 x0 直线 PA1:y-1= x,令 y=0,得 xN=- ; x0 y0-1 y0+1 x0 直线 PA2:y+1= x,令 y=0,得 xM= ; x0 y0+1 1 x0 x0 解法一:设圆 G 的圆心为( ( - ),h), 2 y0+1 y0-1 1 x0 x0 x0 2 1 x0 x0 2 则 r2=[ ( - )- ] +h2= ( + ) +h2. 2 y0+1 y0-1 y0+1 4 y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 OG2= ( - ) +h2. 4 y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 1 x0 x0 2 2 x02 OT2=OG2-r2= ( - ) +h2- ( + ) -h = . 4 y0+1 y0-1 4 y0+1 y0-1 1-y02 x02 而 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OT2=4, 4 所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. x0 x0 x02 解法二:OM· ON=|(- )· |= , y0-1 y0+1 1-y02 2 x0 而 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OM· ON=4. 4 由切割线定理得 OT2=OM· ON=4.

e2 e g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? 2 ? ln ? 0 , g ? 4 ? ? 4 ? ln 4 ? 2 ? ln ? 0 , 4 3 设 g ? b ? ? 0 ,则 b ? ? 3, 4 ? 。
因为此时 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增可知当 x ? ?1, b ? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时,

g ( x) ? 0 ,
所以当 x ? ?1, b ? 时, f

? ? ?

b ?1 ? g ? b ? ? 0 ,?b ? ln b ? 2 ? 0 ,即 ln b ? b ? 2 ,
所以 f ? b ? ? b , ? b ? ? 3, 4 ? ,? f ? b ? ? ? 3, 4 ? ,

? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , b ?1 ? ln b ? 当 x ? b 时, f ? x ?min ? f ? b ? ? ,
'

?n ? 3 ,故正整数 n 的值为 1、2 或 3。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, f ? x ? ? 3 恒成立,即

? 3, x ?1 3 ? x ? 1? 3 ? x ? 1? 2x ? 3 3 ?1 ? ? 2 ? ? x ? 1? ,令 x ? 1 ? n ? n ? 1? , ln x ? 1 ? ln x ? , x x x x 3 3 1 ? ?1 得 ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? 2 ? n n ?1 ?1 ? 2 ? n n ?1 ? 2 ? 3? n ? n ?1 ? ? ? ? ? ? ?
则 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln 3 ( n ? 1 暂时不放缩)

x ?1 ? ln x ?

1 ? ?1 ? ? .以上 n 个 ? n n ?1 ? 1 ? ?1 式子相加得: ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? ln 3 ? 2 ? n ? 1? ? 3 ? 2 ? n ? 1 ? ? ? 7 3 5 3 5 ? ln e ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n ?1 2 n ?1 2
. . . . . . . . . . ,ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? 2 ? 3? 所以 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? ? 2n ? 即 ?1 ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1?? ??e
高三数理月 3 第 4 页 共 4页
2n? 5 2

?1 1? ln ?1 ? 2 ? 3? ? 2 ? 3 ? ? ? , ? 2 3?

?

?

5 , 2



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