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易混易错的条件概率问题


?

1 6?  

中学教研 ( 数 学)  





易 错



条 件





问 题 

●向清耀  皮桂兰 

黄陂一 中盘龙校 区   湖北武汉 4 3 0 3 1 2 )  

条件概率是《 新课程标准》 实施后新增加的内   容, 它较 以往互斥 事 件 和独 立事 件 的概率 求法 有很  大区别 , 且 与独 立 事 件 容 易 混 淆. 很 多 学 生 因 此辨 
别 不清 , 特别 是 条 件 概 率 中的 条 件 变 复杂 时 , 学生  更 是无 所适 从 , 理 不清 头绪 , 自然成 了难 点. 条 件概 

问题 , 在事件 A发生的情况 下事件 日发生, 等价于  
事 件  和事 件 B 同时发 生 , 即A B发 生. 而 事件 A B   中仅含 一个 基本 事件 Ⅳ / 、 r y , 因此 
P( B   I A)=   n

【 A   J  丢 .  


率 已成为近几年高 考 的新 热点 , 而且难 度不 断加 
深, 题 目也 由选 择 、 填 空题 逐 步 变 化 在 解答 题 中呈 

问题 的关 键 是条 件 概 率 发 生 的样 本 空 间发 生 

了变化 , 由 Q ={ Y N N, Ⅳy Ⅳ, Ⅳ f 7 v 】 , } , 得 A= { Ⅳ , 7 v ,  
^ W y} .  

现, 应该 引起足够的重视 !据高考结果统计 , 学生 
在条件 概 率 问题 上 的得分 情况 并不 乐观 , 笔者 就 如  何 辨 析及 求解 条件 概 率 问题 整理 如下 , 以帮 助学 生 
走 出迷 雾.  
1 定 义 回顾 

2 典 例剖 析 

例 1 某市准备从 7名报名者 ( 其 中男 4人 ,  
女 3人 ) 中选 3个 人参 加 3个 副 局 长 职 务 的竞 选.   若 选派 的 3个副局 长依 次 到 A,  , c局上 任 , 求  ( 1 ) 所选 3个人 中 A局 为男 副局 长 的概 率 ;  
( 2 ) 所选 3个人 中 A局 为 男 副局 长 ,   局 为女  副 局 长的概 率 ;   ( 3 ) A局是男 副局 长 的情 况 下 , B局 为女 副局 

设 A和 B 为 2个 事 件 , P(   )>0, 那 么, 在A  

“ 已发 生 ” 的条 件下 , B发生 的条 件概 率 P( B   l A) 读  作  发 生 的条件 下 B发 生的概 率. 定义 为 
n ( A B)  

P ( BI A)=  

:  

.  

长 的概 率.   分析 此题 的关键 在 于读 懂 题意 , 能 够 辨别独  立事件与条件概率. 第( 2 ) 和第 ( 3 ) 小题容易混淆 ,   第( 2 ) 小 题 中“   局 为男 副局 长 , B局 为 女 副 局 长 ”  
是 相互 独立 事 件 同 时 发 生 , 第( 3 ) 小题 中“ A局 是  男 副局 长 的情 况 下 B局 为女 副 局 长 ” 考 查 条 件 概 

n ( n)  

思考 1   3张 奖 券 中只有 1张 能 中奖 , 现 分别  由 3名 同学无 放 回地 抽取 , 问 最后 1名 同学抽 到 中 
奖奖券 的概率 是多 少 ?  

错解 第 1 个人的中奖概率是÷ , 后2 个人的 

率, 正确 运 用公式 求解 即可 .  
解  ( 1 ) 记 D=A局 是 男 副局 长 , 从 7名 报 名  

中奖概率是÷.  
正 解  若 抽 到 中 奖 奖 券 用 I , 表 示, 没 有 抽 到 

者中任选 3 名, 则  ( Q ) = A ; , 事件 n ( D ) = c   1 A : ,  
从 而 

用 Ⅳ表示, 则 3名 同学的抽奖结果 共有 3种可能:   y ^ 『 Ⅳ, N Y N和 J 7 、 『 Ⅳ   易知每一名同学抽到 中奖奖券  的概率都为÷.   思考 2   3张奖券 中只有 1 张能中奖 , 如果在 
第 1 名 同学 没有 抽 到 中奖奖 券 的条件 下 , 最后 1 名  同学 抽 到 中奖奖 券 的概 率是 多 少?  

) = 警=   = 等 .  
( 2 ) 记 D= A局是 男 副局 长 , E=B局 为女 副局  长, 事件 D 与 E相互 独立 , 则  P( 伽 )=   C 1  ̄ 1 / - , 1
=   =  
.  

( 3 ) 方法 1   记 D= A局 是 男 副局 长 , E=B 局   为 女 副局长 , 则 

错解 中奖概率是÷.  
正 解  用 Q 表 示 3名 同学可 能抽 取 的结 果 全 

C : C   C :  
=   =

体, Q :{  v Ⅳ, Ⅳ  , Ⅳ Ⅳy} .既然 已知 事 件  必 然 

去=   =  

发生, 那 么只需在 A={ Ⅳ y Ⅳ , Ⅳ Ⅳ y } 的范 围内考 虑  

第1 0期 

向清耀


,   等: 易混 易错 的条 件 概 率 问题  

?l 7?  

j _  

一  一  

的 区别. P( B   l  ) 与 P( A B) 的概 率有 本 质 的联 系 与 

4 ×6   X   5 — 2‘  

区别 , 联 系是 事件 A, B都 已经 发 生 , 区别 是 样本 空  间不 同 : 在 P( BI A ) 中, 事件 A成 为新 的样 本 空 间 ,   在P( A B ) 中, 样 本 空 间仍 为原 样本 空 间.   以上 3种 方法 对所 有 条件 概 率 问题 都适 用 吗?  
不 一定.   例 3 如图 1 , 四边形E F G H  

方法 2   记 D= A局是 男 副局 长 , E=B局 为 女  副局长 , 则  
=   =   =   =

丢 .  

方法 3  ( 缩 小样 本 空 间 ) 既然 A 局 是 男 副 局  长, 只需 考虑 B 局和 C局 , B局 只 能 从 3个 女 副 局 

是 以 0为圆心、 半 径 为 1的 圆  内接 正 方 形 , 将 一 颗 豆 子 随 机 

长 中选 1个 , C局 任 意选 , 则 
P( EI D)=   3   x   5=   1
.  

地 扔到 该 圆 内 , 用 A表 示 事 件 

评注

独 立 事件 同时发 生 概 率公 式 P( A B)=  

P ( A ) P ( B ) , 条件概率求解的一般方法为 :  
( 1 ) P( Bt A)=   ( 2 ) P( BI A)=   ;   ;  

“ 豆子落在正方形 E F G H内” , B   表 示事 件 “ 豆子落在 扇形 O H E  
( 阴影 部分 ) 内” , 则( 1 ) P( A)=  
; ( 2 ) p(  I A)=   .  

图 1  

( 2 0 1 1年 湖 南省 数 学 高考理 科试题 )  
1  

( 3 ) 缩 小样 本 空 间.   例 2 在一个盒子 中有大小一样 的 2 0个 球 ,   其中 1 O个 红球 , 1 O个 白球 , 每个 人从 盒子 中摸 出 1   个球 , 摸后 不 放 回 , 然 后下 一 个人 接着 摸球 .  
以 

方法 1   因为 P ( A):   , P( A B):一 2:   1


叮T  

1 T  

1T  

所 

2  

( 1 ) 求第 1 个人摸出 1 个红球的概率 ;   ( 2 ) 求第 1 个人摸出 1 个红球 , 紧接着第 2个  人摸出 1 个 白球的概率 ;   ( 3 ) 求在第 1 个 人 摸 出 1个 红 球 的条 件 下 , 第  2个 人 摸 出 1 个 白球 的概率 .  
解  记“ 第 1个 人 摸 出红 球 ” 为 事 件 A, “ 第2  
个 人摸 出 白球 ” 为 事件 B, 则  ( 1 ) P( A)=   1 0=   1
. 

A  

= 早= ÷ .  
2  

方法 2  ( 缩 小样 本 空 间) 即 落在 正 方形 区域  的面积 与扇 形 中的正 方形 的面积 之 比 ,  
1  

P ( B t A ) = 吾 = ÷ .  
例 4 根 据 以往 的经 验 , 某 工 程 施 工 期 间 的降  水 量  ( 单位 : mm) 对 工期 的影 响 如表 1 所示 :   表 1   降水量 对 工期 的 影响 
降水量 X   X< 3 0 0   3 0 0 ≤ <7 0 0   7 0 0 ≤ <9 O O   X ̄ >9 0 0  

( 2 )  

)=  

=   5
.  

5  

( 3 ) 方法 1   P( Bi A )=  

=   =  .  

历年气象资料表 明, 该工程施 工期 间降水量  小 

方 法 2  

=   I   A   J   = A   :   A  A= :   +  器 1 .  

于3 0 0 , 7 0 0, 9 0 0的概 率分 别 为 0 . 3 , 0 . 7 , 0 . 9 . 求:   ( 1 ) 工 期延 误 天数 y的分 布列 ;  

方法 3  ( 缩小样本空间) 第 1次摸 出的球 不   再 考虑 , 第 2次 只能 从剩余 的 1 9个 球 中去 摸 , 摸 到 
白球 的可 能 有 1 0种 , 则 

( 2 ) 在降水量  至少是 3 0 0的条件下 , 工期延 
误 不超过 6天 的概 率 .   ( 2 0 1 2年 湖 北省数 学 高考 理科 试题 )   解 ( 1 ) 由 已知 条件 和 概 率 的加 法公 式知 

P ( B   I A ) =   C l o
评注

1 0  

=  

P( X< 3 0 0 )= 0 . 3,   P ( 3 0 0 ≤  < 7 0 0 ) =p ( x< 7 0 0 )一 P( X< 3 o o ) =  
0. 7—0. 3 =0. 4.  

以上 2道概 率题 模 型一 样 , 第( 2 ) 和第 

( 3 ) 小题 的 关 键 都 在 于 弄 清 独 立事 件 和条 件 概 率 

?

1 8?  

中学教研 、   ( 数学)  

P( 7 O O  ̄X< < 9 O 0 )= P( X< 9 0 0 )一 P( X< 7 0 0 )=  
0. 9 —0. 7 =0. 2.  

设“ 从 6个球 中任 意取 出 2个 球 , 恰 好 取 到 1个 新 
球” 为事 件 B, 则“ 第 2次 训 练 时恰 好 取 到 1个 新  球” 就 是事件 A   B+A :  , 而事 件 A   B, A   B 互斥 , 于 
是 

P( X ̄ >9 0 0)=1一 P(  < 9 0 0 ) =1 — 0 . 9=0 . 1 ,  

从 而 Y的分 布列 如表 2所 示 :  
表2   Y的分布 列 

P( A 1 B+ A 2 B )= P( A 1 B)+P( A 2 B) .   由条 件概 率公 式 , 得 

1 ) P (  
( 2 ) 由概 率 的加 法公 式得 
P( X/ >3 0 0 )=1 一P( X<3 0 0):1 — 0 . 3= 0 . 7 .  



× 等=  


一 一

8  

5  

1 5 —25’  

又 P( 3 0 0 ≤  < 9 0 0 )=P( x<9 0 0 )一 P(  < 3 0 0 )=  
0 . 9 —0 . 3:0 . 6.  

又 因 为 P (   ( A 2 )  l A 2 ) = ÷ × 警=  

、,

从 而 由条 件概 率 , 得 
P( y ≤6I X>  ̄6 0 0 )= P( X< 9 0 0 I X>  ̄3 0 0 )=  
P( 3 00< X  

. . . .


— —

1  

5  

3 —1 5’  

、  


. . . . .   .

...

...



  .



















































90 0)


所 以, 第 2次 训 练 时恰好 取到 1 个 新 球 的概率 为 
 

..

.... 



...—





P( X ̄ >3 0 0 )  
0 6



一  

P( A   B+ A : B):P( A 。  )+ P( A   )=   8+   1  



鱼 



0 . 7— 7’  
 

故在 降水 量  至少 是 3 0 0   m m 的条 件 下 , 工 期 延误  不超 过 6天 的概 率 是  .   点评 在 古 典概 型背 景 下 的条 件 概 率 , 3种 方 

75 ‘  

( 2 ) 方法 1 设 A= 在第 1次训练时至少取到  
1个 新球 , C=第 2次 训练 时恰 好 取 到 1个 新 球 , 则  在 第 1次训 练 时至少 取 到 1个 新 球 的条 件 下 , 第2  
次 训练 时恰 好取 到 1个 新球 的概 率 为 P( CI A) .因  
为  

法 一般 均 适 用 , 但 在 几 何 概 型 中不 能 用 方 法 2, 因 

为在 P(  l   )=  
A B的个 数.  
3 能 力提 升 

中不 能 计 算 事 件 A及 事 件 

P ( A ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) = ÷,  
又 P( c )=P( A   )+ P( A   )=   8+   1=   2 9
,  

例 5 某 中 学 为 了迎 接 即将 在 武 汉 市 召 开 的 

世界中学生运动会 , 学生篮球 队准备假期 集训 , 集 
训 前共 有 6个 篮 球 , 其 中 3个 是 新球 ( 即没 有 用 过 
的球 ) , 3个 是 旧球 ( 即至少用 过 1次 的球 ) . 每 次训 

所 以  

P ( c I A )   2 9  4 ÷ 亍  2   6 9 O   ?  
T、 , 

方法 2   设 A=第 1次训练 时至少 取到 1个 新 
球, C=第 2次 训练 时恰好 取到 1个 新球 , 则 
=   =  

练, 都 从 中任 意取 出 2个球 , 用 完后 放 回.   ( 1 ) 设 第 1次 训 练 时 至 少 取 到 1个 新 球 , 第2   次 训练 也 取 到 1 个 新 球 的概率 ;   ( 2 ) 在 第 1次 训 练 时 至 少 取 到 1个 新 球 的条  件下 , 求 第 2次训 练 时 除好 取 到 1 个 新球 的概率 .   分析 此 题第 ( 1 ) 和第 ( 2 ) 小题 仍 然 是 独立 事  件 与条 件 概率 的 区别 , 但 特殊 的是 条 件概 率 中 “ 条 

筹  =   .  

点评

学 生 的普 遍错 误是 第 ( 1 ) 和第 ( 2 ) 小 题 

之 间互相 混淆 , 甚 至 认 为 2个 小 题 一 样 , 原 因是 没  理解 题 意 第 ( 1 ) 小题 是独 立事 件 , 第( 2 ) 小 题是 条  件概 率 , 两者 有 本 质 区 别 ; 第( 2 ) 小 题 还 易 错 解 为 
J p ( cl A ):   :   1 3


件” 变复杂 了, 要能够正确运用公式求解.   解  ( 1 ) 设“ 第 1次 训 练 时取 到  个 新 球 ” 为 
事件 A   (   l , 2 , 3 ) , 则  

错 误 运 用 条 件 概 率 的 

方法 3 ( 缩 小样 本 空 间 ) . 当条 件 变 复 杂 后 , 必 须 深  刻理 解题意 , 正确 运用 条件 概 率公 式 进行 计算.  

P ( A 1 ) =  寺P ( A 2 ) = 毳 =   .  


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