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练习11

时间:2011-01-12


练习 11 空间几何体的表面积与体积 A组
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ). 1 + 2π 1 + 4π 1 + 2π 1 + 4π (A) (B) (C) (D) 2π 4π π 2π 2.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 ). 与 8 个顶点相关的 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( 2 3 4 5 (A) (B) (C) (D) 3 4 5 6 3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是 6cm 和 8cm, 高是 5cm,则这个直棱柱的全面积是 。 4. 已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆, 且它们的侧面积之比为 1: 2,则它们的高之比为 。 5.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为 1cm,2cm,3cm,则此棱锥的 体积_______________。 6.矩形两邻边的长为 a、b,当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之 比为 。 1 7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这三点的小圆 6 周长为 4π,则这个球的表面积为 。

B组 1.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 EFGH 的表面积与四 。 面体 ABCD 的表面积的比值是 2.半径为 R 的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,另四个顶点在半球的球面 。 上,则该正方体的表面积是 3.如图,一个棱锥 S-BCD 的侧面积是 Q,在高 SO 上取一点 A, 1 使 SA= SO,过点 A 作平行于底面的截面得一棱台,求这个棱台的 3 侧面积.

4. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 边长 AB=a, 且 PD=a,PA=PC= 2 a,若在这个四棱锥内放一个球,求球的最大 半径.

(编写:人大附中 吴其明)

练习七参考答案 A 组 1.答案:A 解:设展开图的正方形边长为 a,圆柱的底面半径为 r,则 2πr=a, r =
2

a ,底面圆的面 2π

a2 + a2 a 1 + 2π 2π ,于是全面积与侧面积的比是 = ,选 A. 积是 2 4π a 2π 2.答案:D 解:正方体的体积为 1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积 1 1 1 1 1 1 1 5 是 ×( × × )× = ,于是 8 个三棱锥的体积是 ,剩余部分的体积是 ,选 D. 3 2 2 2 2 48 6 6 2 3.答案:148 cm 解:底面菱形中,对角线长分别是 6cm 和 8cm,所以底面边长是 5cm, 侧面面积是 4×5×5=100cm2,两个底面面积是 48cm2, 所以棱柱的全面积是 148cm2. 4.答案:2 2 : 5 解:设圆柱的母线长为 l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面 2π 4π 和 , 积之比为 1:2,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是 3 3 2π r l 2l 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 θ = ,得 r1 = , r2 = , l 3 3 l l 2 ? ( )2 3 =2 2. 所以它们的高的比是 2l 5 l 2 ? ( )2 3 3 5.答案:1cm 解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为 1cm,2cm 的两条) 确定的侧面看作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积是 1,高为 3, 1 则它的体积是 ×1×3=1cm3. 3 b 6.答案: a 解:矩形绕 a 边旋转,所得几何体的体积是 V1=πb2a,矩形绕 b 边旋转,所得几何体的 V π b2a b 体积是 V2=πa2b,所以两个几何体的体积的比是 1 = 2 = . V2 π a b a 7.答案:48π 解:小圆周长为 4π,所以小圆的半径为 2,又这三点 A、B、C 之间距离相等, 所以每两点间的距离是 AB=BC=AC=2 3 , 1 又 A、 之间的大圆劣弧长等于大圆周长的 , B 所以 A、 在大圆中的圆心角是 60°, B 6 A 所以大圆的半径 R=2 3 ,于是球的表面积是 4πR2=48π. B 组 1.答案:1:9
H B F M E C G D N

解:如图,不难看出四面体 EFGH 与四面体 ABCD 是相似的。所以关键是求出它们的相 似比, 连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N, 由于 F、 分别是三角形的重心, G 所以 M、 分别是 BC、 的中点, AF: N CD 且 AM=AG: AN=2:3, 所以 FG:MN=2:3,又 MN:BD=1:2, 所以 FG:BD=1:3,即两个四面体的相似比是 1:3, 所以两个四面体的表面积的比是 1:9. 2.答案: 4R 2 A1 C1 解:如图,过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的截面。 2 则 OC1=R,CC1=a,OC= a, 2 O A C 2 2 2 所以 a 2 + ( a ) = R 2 ,得 a2= R2, 2 3 2 所以正方体的表面积是 6a =4R2. 3.解:棱锥 S-BCD 的截面为 B’C’D’,过 S 作 SF⊥B’C’,垂足为 F,延长 SF 交 BC 于点 E,连结 AF 和 OE, ∵ 平面 BCD//平面 B’C’D’, 平面 B’C’D’∩平面 SOE=AF, 平 面 BCD∩平面 SOE=OE, AF SA SF 1 1 ∴ AF//OE,于是 = = = ,即 SF = SE ,同理可 OE SO SE 3 3 1 得 B ' C ' = BC , 3 1 1 1 ∴ S ?SB 'C ' = S ?SBC , S ?SB ' D ' = S ?SBD , S ?SC ' D ' = S ?SCD , 9 9 9 1 8 ∴ S 棱锥 S-B’C’D’= Q,∴ S 棱台侧= Q. 9 9
4.解:设放入的球的半径为 R,球心为 S,当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时,球 的半径最大, 连结 SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,这些 小棱锥的高均为 R,底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系,得 R VP ? ABCD = ( S ?PAB + S ?PBC + S ?PCD + S ?PAD + S□ ABCD ) 3 R 2 2 2 2 1 2 1 2 = ( a + a + a + a + a2 ) 3 2 2 2 2 R = (2 + 2)a 2 3 R 1 1 1 又 VP-ABCD= S 正方形 ABCD·PD= a3,∴ (2 + 2)a 2 = a 3 , 3 3 3 3 2? 2 解得 R= a, 2

故所放入的球的最大半径为

2? 2 a. 2


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