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2015─2016学年下学期高二期末考试数学试卷(文科含答案)


2015─2016 学年高二下学期期末考试

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将 自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.

回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3,4} ,则 (CU A) ? B =( A. {3} B. {4}
3,4} C. {2, 3,4,5} D. {1,



2.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ( i 为虚数单位),则 | z | =( A. 1 A. 8? A. y 2 ? ?8x B. 2 B. 12? B. y 2 ? ?4x C. 3 C. 16? C. y 2 ? 4 x D. 2 )



3.一个球的体积是 36? ,那么这个球的表面积为(

D. 36? ) D. y 2 ? 8x

4.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=2,则抛物线的方程是(

?x ? 1 ? 5.若 x, y ? R ,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值等于 ( ?y ? x ?
A. ? 1 B.0 C.1 D.3

)

6.将两个数 a ? 5 , b ? 12 交换,使 a ? 12 , b ? 5 ,下面语句正确一组是 ( c=b a=c b=a c=b D. b=a a=c

)

A.

a=b b=a

b=a B. a=b

C.

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7. 某三棱锥的三视图如右图示, 则该三棱锥的体积是( 32 40 A. 8 B. C. D. 32 3 3 8.已知下表是 x 与 y 之间的一组数据:

)

? ? bx ? a 必过点( 则 y 与 x 的线性回归方程为 y

) D. (2,4) )

3 ( ,3) A. 2

3 ( ,4) B. 2

C. (2,3)

9.已知某函数图象的一部分如右图示,则函数的解析式可能是( π A.y=cos(2x-6) π C.y=cos(4x-3) π B.y=sin(2x-6) π D.y=sin(x+6)

x2 y2 6 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则其渐近线方程为( 2 a b
1 A. y ? ? x 2
B. y ? ?

)

2 x 2

C. y ? ? 2 x

D. y ? ?2 x

11.将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,已知这种商品每涨价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了获得最大利润,每个售价应定为( ) A. 95 元 B. 100 元 C. 105 元 D. 110 元

12.已知数列 {an } 各项均不为 0,其前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N * 都有

(p为大于 1的常数) (1 ? p)S n ? p ? pan ,则 an = (
2 p ? 1 n ?1 ) p 2 p ? 1 n ?1 ) p



A. (

B. p (

C. p n?1 第Ⅱ卷

D. p n

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心和半径分别是____________________;
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14.在等比数列 {an } 中,若 a2 , a10 是方程 3x 2 ? 11x ? 9 ? 0 的两根,则 a6 的值是______; 15.已知向量 a ? (4, m) , b ? (1,?2) ,若 a ? b ,则 | a ? b |? ____________; 16.己知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ,那么不等式

2 f ( x) ? 1 ? 0 的解集是______________.
三、解答题: (本大题共 6 小题, 17~21 题每题 12 分,22 题 10 分,共 70 分,解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 是△ABC 中 A、B、C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b=5, S=5 3,求 c 的长度.

18. (本小题满分 12 分) 为了了解云南各景点在大众人群中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽取了 n 人 回答问题“云南省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表所示. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65] 回答正确 的人数 a 18 b 9 3 回答正确的人数 占本组的频率 0.5 x 0.9 0.36 y

(1)分别求出表中 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每 组各抽取多少人? (3)在(2)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

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19. (本小题满分 12 分)
E 为棱 CD 如图, 直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是菱形, 且 ?ABC ? 60? ,

的中点. (1)求证: A1C // 平面AED 1; (2)求证:平 面 A E D 1 ? 平面C D D 1C1 . (3)若 AD=2,DD1= 3 ,求二面角 D1 ? AE ? B 的大小.

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 2 2 ). 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 (1, a b 2 2
(1)求椭圆 C 的方程;

1 (2)求过点 (1,0) 且斜率为 的直线 l 被椭圆 C 所截线段的中点坐标. 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 x . 2

(1)求函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程;
1 (2)求函数 y ? f ( x) 在区间 [ , e ] 上的最大值. e

22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

?x ? t ? 已知直线 l 的参数方程 ? (t 参数)和圆 C 的极坐标方程 ? ? 2 2 sin(? ? ) . 4 ? y ? 1 ? 2t
(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

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参考答案
一、选择题 (1)C (7)C 二、填空题 (13) (2,?1) , 3 (14) 3 (2)B (8)B (3)D (9)A (4)A (10)B (5)B (11)A (6)D (12)D

3 5 (15) 5 (16) {x | x ? ? 或 0 ? x ? } 2 2

三、解答题 1 3 17 解:∵S=2absin C,∴sin C= 2 ,∴C=60° 或 C=120° . 当 C=60° 时,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=21,∴c= 21; 当 C=120° 时,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=61,∴c= 61. ∴c 的长度为 21或 61. 18 解:(1)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为

9 ? 25 , 0.36

再结合频率分布直方图可知 n ?

25 ? 100 , ∴ a ? 100 ? 0.01 ? 10 ? 0.5 ? 5 , 0.025 ? 10 18 3 ? 0 .9 , y ? ? 0 .2 20 15
??4 分

b ? 100 ? 0.03 ? 10 ? 0.9 ? 27 , x ?

(2)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人,所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为: 第 2 组:

18 27 9 ? 6 ? 2 人;第 3 组: ? 6 ? 3 人;第 4 组: ? 6 ? 1 人??8 分 54 54 54

(3)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为: (A1,A2), (A1,B1), (A1,B2), (A1,B3), (A1,C1), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1) 共 15 个基本事件,其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件. ∴ 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: p ? ???10 分 ???12 分

3 1 ? . 15 5

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19.证明:( 1 ) 连 接 A1 D 交 AD1 于点 F, 连 接 EF , 由已知四边形 ADD1 A1 是矩形,所以 F 是 AD1 的中点, 又 E 是 CD 的中点,所以,EF 是 ?A1 DC 的中位线, 所以 A1C // EF ,又 A1C ? 平面AED 1,EF ? 平面AED 1 ,所以 A 1C // 平面AED 1. (2)由已知 DD1 ? AD , DD1 ? CD , 又 AD ? CD ? D, AD ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD ,? DD1 ? 平面ABCD

F

? AE ? 平面ABCD ,? AE ? DD1
? 底面ABCD是菱形 ,且 ?ABC ? 60? ,E 为棱 CD 的中点,? AE ? CD
又 CD ? DD1 ? D , CD ? 平面CDD1C1 , DD1 ? 平面CDD1C1 ,

? AE ? 平面CDD1C1

? AE ? 平面AED 1 , ? 平面AED 1 ? 平面CDD 1C1 .

20 解: (1)?

b2 a2 ? c2 1 1 c 2 ? 1 ? ? , a 2 ? 2b 2 ??① ? ,? 2 ? 2 2 2 a a a 2
1 1 2 ) ,则 2 ? 2 ? 1 ??② a 2b 2

又椭圆过点 (1,

联立①②解得 a ? 2 , b ? 1 s

? 椭圆 C 方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2)由已知得直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0

?x2 ? ? y2 ?1 联立方程 ? 2 ,消去 x 整理得: 6 y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
设直线 l 与椭圆 C 的交点为 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? ?
? x1 ? x 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 2 ? ? 4 2 ?2? , 3 3 2 , 3

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?x ?

x1 ? x 2 1 y ? y2 1 ? ,y? 1 ?? 2 3 2 3

1 1 ? AB 的中点坐标为 ( ,? ) . 3 3 1 1 1 21 解:(1) f ?( x) ? ? x ,? k ? f ?(1) ? 0 ,又 f (1) ? ? ,? 切点坐标为 (1,? ) 2 x 2 1 ? 所求切线方程为 y ? ? . 2 1 2 1 1? x2 x , f ?( x) ? ? x ? , 2 x x

(2)由(1)得 f ( x) ? ln x ?

1 1 当 ? x ? e 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? 1 ; e e

令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e .
1 1 1] 上单调递增,在 (1, e) 上单调递减,? f ( x) max ? f (1) ? ? . ? f ( x) 在 ( , e 2
22(选修 4 - 4:坐标系与参数方程)

?x ? t 解:(1)由 ? ,消去 t 得直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 , ? y ? 1 ? 2t
由 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ? 2 sin ? ? 2 cos ? ,两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? ,

代入互化公式得: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 2 x ,整理得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 .
| 2 ?1?1| 2 ? (?1)
2 2

(2)圆心 (1,1) 到直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

?

2 5 ? 2 ?r, 5

所以,直线 l 与圆 C 相交.

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