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初高中数学衔接教材1[1] 2

时间:2014-06-23


初高中数学衔接教材研究 怎样学好高中数学
高中数学学习是中学阶段承前启后的关键时期,不少学生升入高中后,能否适应高中数学的学习,是 摆在高中新生面前的一个亟待解决的问题,除了学习环境、教学内容和教学因素等外部因素外,同学们还 应该转变观念、提高认识和改进学法。下面我们就来听听清华大学附属中小学网校的老师针对如何学好高 中数学的一些建议。 1、认识高中数学的特点 高中数学

是初中数学的提高和深化, 初中数学在教材表达上采用形象通俗的语言, 研究对象多是常量, 侧重于定量计算和形象思维,而高中数学语言表达抽象,逻辑严密,思维严谨,知识连贯性和系统性强。 2、正确对待学习中遇到的新困难和新问题 在开始学习高中数学的过程中,肯定会遇到不少困难和问题,同学们要有克服困难的勇气和信心,胜 不骄,败不馁,有一种“初生牛犊不怕虎”的精神,愈挫愈勇,千万不能让问题堆积,形成恶性循环,而 是要在老师的引导下,寻求解决问题的办法,培养分析问题和解决问题的能力。 3、要提高自我调控的“适教”能力 一般来说,教师经过一段时间的教学实践后,因自身对教学过程的不同理解和知识结构、思维特点、 个性倾向、职业经历等原因,在教学方式、方法、策略的采用上表现出一定的倾向性,形成自己独特的、 一贯的教学风格或特点。作为一名学生,让老师去适应自己显然不现实,我们应该根据教师的特点,立足 于自身的实际,优化学习策略,调控自己的学习行为,使自己的学法逐步适应老师的教法,从而使自己学 得好、学得快。 4、要将“以老师为中心”转变为“以自己为主体,老师为主导”的学习模式 数学不是靠老师教会的,而是在老师引导下,靠自己主动思维活动去获取的,学习数学就是要积极主 动地参与教学过程,并经常发现和提出问题,而不能跟着老师的惯性运转,被动地接受所学知识和方法。 5、要养成良好的个性品质 要树立正确的学习目标,培养浓厚的学习兴趣和顽强的学习毅力,要有足够的学习信心,实事求是的 科学态度,以及独立思考、勇于探索的创新精神。 6、要养成良好的预习习惯,提高自学能力 课前预习而“生疑”,“带疑”听课而“感疑”,通过老师的点拨、讲解而“悟疑”、“解疑”,从 而提高课堂听课效果。预习也叫课前自学,预习的越充分,听课效果就越好;听课效果越好,就能更好地 预习下节内容,从而形成良性循环。 7、要养成良好的审题习惯,提高阅读能力 审题是解题的关键,数学题是由文字语言、符号语言和图形语言构成的,拿到题目要“宁停三分”, “不抢一秒”,要在已有知识和解题经验基础上,译字逐句仔细审题,细心推敲,切忌题意不清,仓促上 阵,审数学题有时须对题意逐句“翻译”,隐含条件转化为明显条件;有时需联系题设与结论,前后呼应 挖掘构建题设与目标的桥梁,寻找突破点,从而形成解题思路。 8、要养成良好的演算、验算习惯,提高运算能力 学习数学离不开运算,初中老师往往一步一步在黑板上演算,因时间有限,运算量大,高中老师常把 计算留给学生,这就要同学们多动脑,勤动手,不仅能笔算,而且也能口算和心算,对复杂运算,要有耐 心,掌握算理,注重简便方法。 9、要养成良好的解题习惯,提高自己的思维能力
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数学是思维的体操,是一门逻辑性强、思维严谨的学科。而训练并规范解题习惯是提高用文字、符号 和图形三种数学语言表达的有效途径,而数学语言又是发展思维能力的基础。因此要逐步夯实基础,提高 自己的思维能力。 10、要养成解后反思的习惯,提高分析问题的能力 解完题目之后,要养成不失时机地回顾下述问题:解题过程中是如何分析联想探索出解题途径的?使 问题获得解决的关键是什么?在解决问题的过程中遇到了哪些困难?又是怎样克服的?这样,通过解题后的 回顾与反思,就有利于发现解题的关键所在,并从中提炼出数学思想和方法,如果忽视了对它的挖掘,解 题能力就得不到提高。因此,在解题后,要经常总结题目及解法的规律,只有勤反思,才能“站得高山, 看得远,驾驭全局”,才能提高自己分析问题的能力。 11、要养成纠错订正的习惯,提高自我评判能力 要养成积极进取,不屈不挠,耐挫折,不自卑的心理品质,对做错的题要反复琢磨,寻找错因,进行 更正,养成良好的习惯,不少问题就会茅塞顿开,从而提高自我评判能力。 12、要养成善于交流的习惯,提高表达能力 在数学学习过程中,对一些典型问题,同学们应善于合作,各抒己见,互相讨论,取人之长,补己之 短,也可主动与老师交流,说出自己的见解和看法,在老师的点拨中,他的思想方法会对你产生潜移默化 的影响。因此,只有不断交流,才能相互促进、共同发展,提高表达能力。如果固步自封,就会钻牛角尖, 浪费不必要的时间。 13、要养成勤学善思的习惯,提高创新能力 “学而不思则罔,思而不学则贻”。在学习数学的过程中,要遵循认识规律,善于开动脑筋,积极主 动去发现问题,进行独立思考,注重新旧知识的内在联系,把握概念的内涵和外延,做到一题多解,一题 多变,不满足于现成的思路和结论,善于从多侧面、多方位思考问题,挖掘问题的实质,勇于发表自己的 独特见解。因为只有思索才能生疑解疑,透彻明悟。一个人如果长期处于无问题状态,就说明他思考不够, 学业也就提高不了。 14、要养成归纳总结的习惯,提高概括能力 每学完一节一章后,要按知识的逻辑关系进行归纳总结,使所学知识系统化、条理化、专题化,这也 是再认识的过程,对进一步深化知识积累资料,灵活应用知识,提高概括能力将起到很好的促进作用。 15、要养成做笔记的习惯,提高理解力 为了加深对内容的理解和掌握,老师补充内容和方法很多,如果不做笔记,一旦遗忘,无从复习巩固, 何况在做笔记和整理过程中,自己参与教学活动,加强了学习主动性和学习兴趣,从而提高了自己的理解 力。 16、要养成写数学学习心得的习惯,提高探究能力 写数学学习心得,就是记载参与数学活动的思考、认识和经验教训,领悟数学的思维结果。把所见、 所思、所悟表达出来,能促使自己数学经验、数学意识的形成,以及对数学概念、知识结构、方法原理进 行系统分类、概括、推广和延伸,从而使自己对数学的理解从低水平上升到高水平,提高自己的探究能力。 总之,同学们要养成良好的学习习惯,勤奋的学习态度,科学的学习方法,充分发挥自身的主体作用, 不仅学会,而且会学,只有这样,才能取得事半功倍之效。

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第一章 衔接教材研究 一、初、高中数学知识存在以下“脱节”内容
1.立方和、立方差公式在初中已删去不讲,而高中的运算还在用. 2.因式分解,初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三 次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等. 3.二次根式中对分子、分母有理化,初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用 的解题技巧. 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容.配 方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高 中数学必须掌握的基本题型与常用方法. 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类 题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化是 重要内容,高考必考内容,而高中教材很少安排专门的章节. 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右 平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握. 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点、 高考必考.方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题. 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定 理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及.

二、数学思想与数学方法
数学内容包包括数学知识、数学方法和数学思想三个部分. 数学方法通常指解决数学问题时采用的方式、途径或手段.任何一个数学问题的解答离不开一定的数 学方法. 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用过程之 中.数学思想方法是数学知识的灵魂和精髓,是知识转化为能力的桥梁.数学思想方法一般划分为三个层 次,即数学的一般方法、数学思维方法、数学思想方法. 数学的一般方法,是指在解决数学问题时所使用的常规方法. 中学阶段用到的数学方法可分两类——通法与巧法. 通法是指规律性较强的通用方法.如配方法、挽元法、待定系数法、分离系数法、代入法、消元法、 数形结合法、参数法、判别式法、放缩法、数学归纳法、反证法、比较法、构造法、割补法,以及用其它 知识来解决问题的三角法、解析法、几何法、代数法等.通法是数学方法的基础.
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巧法是指技巧性较强的方法,是对通法的发展和变式,是把握数学方法的难点.如向量方法、错项相 消(减)法、裂项法、拆添项法、特殊值法等. 数学思维方法,主要指逻辑学中的方法,如观察、分析、归纳、综合、试验、演绎、特殊化等方法.它 们不仅适用于数学内容, 而且更具有一般性, 在数学教学中有一定的作用, 在高考中也是经常考查的方法. 数学思想方法是适用于中学数学全部内容的通法,主要包括函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思 想、等价转化思想.数学思想方法是高考考查的核心.

初、高中数学思想方法比较:
1.配方法在高中有着相当重要的地位与作用,初中虽也涉及,但还需使学生能熟练掌握配方法的基 本过程. 2.换元法也是最基本的数学方法之一,在数学解题中有着不可估量的作用,初中对该方法的训练已 大大弱化,高中数学却经常在应用,可设计专题内容进行系统讲授. 分离系数法、待定系数法,作为基本的数学方法初中要求明显降低,高中教学可进行系统的讲授与训 练. 3.数形结合思想、分类讨论思想是数学重要的思想方法,仅靠新课讲授时的教学显然不够,在专门 的课时下进行不断的渗透,让学生逐步理解并接受,从而能自觉应用于数学解题中. 4.数学思想与数学方法,另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知 识的讲授.

三、衔接教学的方式
1.分散式 初中有些知识,与高中有联系但比较分散;对于这一部分,高中数学新授课,就可以从复习初中内容 的基础上,引入新内容。高一数学的每一节内容,都是在初中基础上发展而来的,故在引入新知识、新概 念时,注意旧知识的复习,用学生已熟悉的知识进行铺垫和引入. 2.集中式 初中有些知识,与高中知识联系密切,也比较集中;如:因式分解、绝对值和根式、函数、代数恒等 式的证明、方程和不等式等,对于这一部分,最好在高中新授课前集中进行学习,比较好. 设计应立足于学生的认知基础,和对学生能力的要求。选择与高中知识联系较密切的初中知识,按照 所选内容,内在的关联顺序,及遵循循序渐进的原则,使学生的思维层层展开,逐步深入;同时,合理引 入一些新的内容.

四、认真分析教材,落实衔接内容
1.数与代数方面 (1)初中新课标规定:有理数混合运算"以三步为主";乘法公式只要求两个(即平方差、完全平方公 式),没有立方和与立方差公式;多项式相乘仅指一次式相乘。以上会影响到高中函数、数列、二项式定理 等相关内容的教学.

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(2)初中课改后进一步减少了因式分解的教学内容,只要求提公因式法、公式法(直接用公式不超 过二次) ,而十字相乘法、分组分解法在初中新课标中都不作要求,高中教学中要经常用到这两种方法, 需补充. (3)一元一(二)次方程中含字母系数的方程、三元一次方程组、可化为一元二次方程的分式方程、 无理方程、二元二次方程组等内容初中新课标都不作要求,这给高中求轨迹方程与曲线交点等方面带来障 碍. (4)初中新课标对分母有理化不作要求,学生有关根式的运算(根号内含字母的)能力比较薄弱, 如果不加强根式运算,以后高中求圆锥曲线标准方程就会受到影响. (5)初中数学新课标中指出:借助数轴理解绝对值的意义,会求有理数的绝对值,但"绝对值符号内 不含字母".因此高中的不等式、函数、方程等含参数问题的解答就会受到影响. (6)关于配方法,初中新课标要求"理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系 数的一元二次方程".但新课标中没有要求用配方法求二次函数的顶点,只要求"会根据公式确定图象的顶 点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)". (7)一元二次方程根的判别式在初中新课标中不要求。今后高中在直线与圆锥曲线综合应用时常常 要用到,在涉及到函数图像与 x 轴交点问题时也常用到,这无疑是一个障碍。 (8)一元二次方程根与系数关系(韦达定理)初中新课标不要求,初中教材只是将此内容编成一个 实践与探索的题目,对韦达定理没有加以具体证明与阐述,所以大部分学生对此知识及其应用不甚了知. (9)换元法初中不作要求,在高中教学中应注意补充这种方法. 2.空间与图形方面 (1)初中新课标删除繁难的几何证明题,淡化几何证明技巧,减少定理数量,只要求用 4 条"基本事 实"证明 40 条左右的命题.这与高中数学教学中对学生"推理论证"能力的较高要求不相适应. (2)平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、截三角形两边或延长线的直线平行于第三边 的判定定理、圆内接四边形的判定与性质(有关"四点共圆"的知识)等初中新课改都不作要求,这样高中立 体几何、平面解析几何、解三角形的学习会受到影响. (3)初中没有"轨迹"概念,高中解析几何会用到的. (4)初中课标只要求通过实例,体会反证法的含义,要求不高. (5)在初中新课标中,两圆连心线的性质,两圆公切线及其相关性质,圆的弦切角定理、相交弦定 理、切割线定理,正多边形的有关计算,等分圆周都被删去了;相切在作图中的应用初中也不作要求.这 些会影响高中立体几何、平面解析几何的学习.

五、加强学法指导,掌握学习方法
学习的知识,大多是本源性知识、派生性知识,因此初中学习基本采用“感性认识——理性认识——

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实践”的方法;而高中学习基本采用“已知理性认识——新的理性认识——实践”的方法. 1.重视学生良好习惯培养。好的学习习惯有勤学好问习惯、上课专心听讲习惯、作笔记的习惯、及 时复习的习惯、独立完成作业书写规范工整的习惯等.只有有了良好的学习习惯,才能在教师的有效引导 下度过这个衔接阶段. 2.教给基本方法.怎样观察与思考、怎样理解与分析、怎样综合与应用,是高中教学的难点所在, 掌握学习方法是攻破这个难点的措施之一.如问题讨论法、自学指导法、类比推理法、假设法、实验辅助 法、预习——听课——复习(练习)——总结归纳的学习方法,将学与问、学与练、学与思、学与用有机 结合起来. 3.自学能力.授人以“渔”,因材施“导”,努力教会学生自学,培养自学能力,是教之根本,而 自学能力的提高,首先有赖于阅读理解能力的培养。高一学生阅读时,读不顺,读不细,读不实,读不准, 所以老师千万别急,在这个衔接阶段,可以编出问题,引导阅读,如概念叙述与理解,定理、命题的方法 与思路。让学生边阅读边回答,对概念要求会联系、会举例;定理要求会分析、会应用;解题要求尽量一 题多解.一章结束会用图表归纳结论和要点,弄清重点概念和定理、公式,明白要掌握哪些基础知识技能. 4.把握好初、高中教法、学法上的不同 初中数学教学内容少,知识难度不大,教学要求较低,因而教学进度较慢,对于某些重点、难点,教师可 以有充裕的时间反复讲解、多次演练,从而各个击破。并且同时,不可否认有些初中教师为了应付中考, 让学生通过机械模仿式的重复练习以达到熟能生巧来提高成绩,结果造成“重知识,轻能力” 、 “重局部, 轻整体” 、 “重试卷(复习资料) ,轻书本”的不良倾向。初中新课标的实施的确大大缓解这种严重束缚了 学生思维影响和学生发现意识的形成的传统教学方式,但只要考试评价体制不作大的改变,对普通中学这 来说对这种情况还是普遍存在着的.而进入高中以后,教学教材内涵丰富,教学要求高,教学进度快,知 识信息广泛, 题目难度加深, 知识的重点和难点也不可能象初中那样通过反复强调来排难释疑。 新课标下, 高中教学往往通过设导、设问、设陷、设变,启发引导,开拓思路,然后由学生自己思考、去解答,比较 注意知识的发生过程,倾重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养,相对比较重视学生自己去学习.这 使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法。听课时就存在思维障碍,不容易跟上教师的思维,从而产 生学习障碍,影响数学的学习.因而高中数学教师在教学过程中要注意对学生学法的指导.良好学习习惯 是学好高中数学的重要因素。它包括:制定计划、课前自习、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、 系统小结和课外学习这几个方面。改进学生的学习方法,可以这样进行:引导学生养成认真制定计划的习 惯,合理安排时间,从盲目的学习中解放出来;引导学生养成课前预习的习惯。可布置一些思考题和预习 作业,保证听课时有针对性。还要引导学生学会听课,要求做到“心到” ,即注意力高度集中; “眼到” , 即仔细看清老师每一步板演; “手到” ,即适当做好笔记; “口到” ,即随时回答老师的提问,以提高听课效 率。引导学生养成及时复习的习惯,下课后要反复阅读书本,回顾堂上老师所讲内容,查阅有关资料,或 向教师同学请教,以强化对基本概念、知识体系的理解和记忆.引导学生养成独立作业的习惯,要独立地
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分析问题,解决问题。切忌有点小问题,或习题不会做,就不加思索地请教老师同学.引导学生养成系统 复习小结的习惯,将所学新知识融入有关的体系和网络中,以保持知识的完整性.

第二章
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衔接教材


1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3.二次根式 1.1.4.分式 1.2 2.1 分解因式 一元二次方程



2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数
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2.2.1 二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 3.1 一元二次不等式解法 相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 3.3 圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 几种特殊的三角形

1.1 数与式的运算
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1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即

? a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ? ? a, a ? 0. ?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 例 1 解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4. 解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ① 若 x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0,又 x<1,∴ x<0; ② 若 1 ? x ? 2 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 1>4, ∴ 不存在满足条件的 x; ③ 若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 2 x ? 4 >4, 解得 x>4. 又 x≥3,∴ x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4.

解法二:如图 1.1-1, x ? 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|,即 |PA|=|x-1|;|x-3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以,不等式 x ?1 ? x ? 3 >4 的几何意义即为|PA|+|PB|>4. 由|AB|=2,可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧.x<0,或 x>4. 点评:本题考查了分类讨论思想与数形结合思想





1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) . (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b

1.1.2. 乘法公式
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我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (2)立方差公式 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (3)三数和平方公式 (2)完全平方公式 (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .

(a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ;

(4)两数和立方公式 (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (5)两数差立方公式 (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 . 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .
2 2 2 2 6 2 4 2 解法一:原式= ( x ? 1) ? ?( x ? 1) ? x ? ? = ( x ?1)( x ? x ? 1) = x ? 1 .

解法二:原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ? 1) = x ? 1 .
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例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2

解: a ? b ? c ? (a ? b ? c) ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 .
2 2 2 2





1.填空: (1)

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3

) ;

(2) (4m ?

)2 ? 16m2 ? 4m ? (

);

(3 ) (a ? 2b ? c)2 ? a2 ? 4b2 ? c2 ? ( 2.选择题: (1)若 x ?
2

).

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2
(B)

(A) m

2

1 2 m 4
2 2

(C) m

1 3

2

(D)

1 2 m 16

(2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值 (A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式
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一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式. 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a 2 ? b2 等是无理式,而 2 x ?
2

2 x ? 1 , x2 ? 2xy ? y2 , a2 等 2

是有理式. 1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化 因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互 为有理化因式,例如 2 与 2 , 3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 , 2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ,等等. 一般地, a x 与

x , a x ? b y 与 a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化 则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式

a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行
运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 2.二次根式 a2 的意义

a2 ? a ? ?

?a, a ? 0, ??a, a ? 0.

例 1 将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a2b (a ? 0) ;
2
6 (3) 4 x y ( x ? 0) .

解: (1) 12b ? 2 3b ; (2) a b ? a (3) 4 x y ? 2 x
6 3

b ? a b (a ? 0) ;

y ? ?2 x3 y ( x ? 0) .

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) . 解法一:

3? (3 ? 3? (3 ?

3= )

3 3? 3 3 3? 3



3 ?1 3 3 ?3 3( 3 ? 1) 3 ? (3 ? 3) = = = . 2 9?3 6 (3 ? 3)(3 ? 3)
1 3 ?1 3 3 ?1 = = = . 2 3 ? 1 ( 3 ? 1)( 3 ? 1) 3( 3 ?1)

解法二:

3= )



例 3 试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; (2)

2 和 2 2- 6 . 6?4

解: (1)∵ 12 ? 11 ?

12 ? 11 ( 12 ? 11)( 12 ? 11) 1 , ? ? 1 12 ? 11 12 ? 11 11 ? 10 ( 11 ? 10)( 11 ? 10) 1 , ? ? 1 11 ? 10 11 ? 10
11

11 ? 10 ?

又 12 ? 11 ? 11 ? 10 , ∴ 12 ? 11 < 11 ? 10 . (2)∵2 2- 6 ?

2 2- 6 (2 2- 6)(2 2 + 6) 2 ? ? , 1 2 2+ 6 2 2+ 6
2 < 2 2- 6 . 6?4

又 4>2 2, ∴ 6+4> 6+2 2, ∴ 例 4 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .

解: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 = ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2) = ?( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ?
2004

?

?

? ( 3 ? 2) = 12004 ? ( 3 ? 2) = 3 ? 2 .
(2) x ?
2

例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ; 解: (1)原式 ? 5 ? 4 5 ? 4 ? (2)原式= ( x ? ) ? x ?
2

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

( 5) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? (2 ? 5) 2 ? 2 ? 5 ? 5 ? 2 .

1 x

1 , x
1 ? x. x

∵0 ? x ? 1 ,∴ ? 1 ? x , 所以,原式=

1 x

例 6 已知 x ?

3? 2 3? 2 ,求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 . ,y? 3? 2 3? 2 3? 2 3? 2 ? ? ( 3 ? 2)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 10 , 3? 2 3? 2

解: ∵x ? y ?

xy ?


3? 2 3? 2 ? ? 1 ,∴3x2 ? 5xy ? 3 y 2 ? 3( x ? y)2 ?11xy ? 3?102 ?11 ? 289 . 3? 2 3? 2


1.填空: (1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ?

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1

2.选择题:等式 (A) x ? 2

x ? x?2

x 成立的条件是 x?2
(C) x ? 2
12

(B) x ? 0

(D) 0 ? x ? 2

3.若 b ?

a2 ?1 ? 1 ? a2 ,求 a ? b 的值. a ?1

4.比较大小:2- 3

5- 4(填“>”,或“<”) .

1.1.4.分式
1.分式的意义
13

形如

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列性质: B B B

A A? M A A?M ? ; ? . B B?M B B?M
上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a m?n? p 像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p

例1 若

5x ? 4 A B ? ? ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2

解: ∵

A B A( x ? 2) ? Bx ( A ? B) x ? 2 A 5 x ? 4 ? ? ? ? , x x?2 x( x ? 2) x( x ? 2) x( x ? 2)
A ? 2 ,B ? 3 .

∴?

? A ? B ? 5, 解得 ?2 A ? 4,

例 2 (1)试证:

1 1 1 ? ? (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1
? 1 ; 9 ?10

(2)计算:

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

(3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有 (1)证明:∵ ?

1 1 ? ? 2 ? 3 3? 4

?

1 1 ? . n(n ? 1) 2

1 n

1 1 1 1 (n ? 1) ? n 1 ? ? ? ? ,∴ (其中 n 是正整数)成立. n(n ? 1) n n ? 1 n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1)

(2)解:由(1)可知

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3
(3)证明:∵

?

1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 9 ?10 2 2 3

9 1 1 1 ? ( ? ) ? 1? = . 10 10 9 10

1 1 ? ? 2 ? 3 3? 4

?

1 1 1 1 1 =( ? )?( ? )? 2 3 3 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 ?( ? )= ? , 2 n ?1 n n ?1

1 1 1 ? ? 又 n≥2,且 n 是正整数,∴ 一定为正数,∴ n+1 2 ? 3 3? 4
例 3 设e ?

?

1 1 < . n(n ? 1) 2

c ,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值. a

解:在 2c2-5ac+2a2=0 两边同除以 a2,得 2e2-5e+2=0, ∴ (2e-1)(e-2)=0, 1 ∴ e= <1,舍去;或 e=2.∴ e=2. 2

练 习
1.填空题:对任意的正整数 n,

1 ? n(n ? 2)

(

1 1 ? ); n n?2

14

2.选择题:若

2x ? y 2 x ? ,则 = x? y 3 y
(B)





(A)1

5 4

(C)

4 5

(D)

6 5

3.正数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 xy ,求

x? y 的值. x? y

4.计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

习题 1.1 A 组 1.解不等式: (1) x ? 1 ? 3 ; (3) x ?1 ? x ?1 ? 6 .
3 3 2.已知 x ? y ? 1 ,求 x ? y ? 3xy 的值.

(2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ;

3.填空: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________;
2 2 (2)若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ,则 a 的取值范围是________;

(3)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6

B 组 1.填空:

1 1 3a 2 ? ab ? ____ (1) a ? , b ? ,则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2

____;

x 2 ? 3xy ? y 2 (2)若 x ? xy ? 2 y ? 0 ,则 ? __ x2 ? y 2
2 2

__;

2.已知: x ?

y y 1 1 , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y

15

C 组 1.选择题: (1)若 ? a ? b ? 2 ab ? (A) a ? b (2)计算 a ? (A) ?a 2.解方程 2( x ?
2

?b ? ? a ,则
(C) a ? b ? 0

( (D) b ? a ? 0 (



(B) a ? b

1 等于 a
(B) a (C) ? ?a (D) ? a



1 1 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 . 2 x x 1 . 9 ?11

3.计算:

1 1 1 ? ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

4.试证:对任意的正整数 n,有

1 1 ? ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4

?

1 1 < . n( n ?1)( n ? 2) 4

1.2

分解因式

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及 待定系数法.
16

1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1) x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.2-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的乘积, 而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2). x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.2-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.2-1

图 1.2-2

图 1.2-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.2-1 中的两个 x 用 1 来表示(如图 1.2-2 所示) . (2)由图 1.2-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.2-4,得 x y 图 1.2-5 -1 1

x ? (a ? b) xy ? aby = ( x ? ay)( x ? by)
2 2

(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.2-5 所示) . 2.提取公因式法与分组分解法 例 2 分解因式: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ;
3 2
3 2

(2) 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 .
2 2

2 2 3 2 解: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x = ( x ? 3x ) ? (3x ? 9) = x ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x ? 3) .或

x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23
= [( x ? 1) ? 2][( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ] = ( x ? 3)( x ? 3) .
2 2
2

(2) 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 = 2x ? ( y ? 4) x ? y ? 5 y ? 6
2 2 2 2

= 2x ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) .或
2

2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6
17

= (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 3.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、x2 , 则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就 可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x ? 2 x ? 1 ;
2 2

(2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

解: (1)令 x ? 2 x ? 1 =0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1 ? 2 , ∴x ? 2 x ? 1 = ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? = ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) .
2

?

??

?

(2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y , x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] .





1.选择题:多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (2)8a3-b3; (3)x2-2x-1; (4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) . (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y (D) x ? 5 y

习题 1.2
1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 .
2 2

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x ? 4 xy ? y ;
2 2
2 2

(4) ( x ? 2x) ? 7( x ? 2x) ? 12 .
2 2 2
2

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a).

参考答案
练习 1.2 1. B

18

2. (1)(x+2)(x+4) (3) ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) 习题 1.2
2 1. (1) ? a ? 1? a ? a ? 1

(2) (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) (4) (2 ? y)(2 x ? y ? 2) .

?

?

(2) ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1? (4) ?3 y ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?

(3) ?b ? c ??b ? c ? 2a ? 2. (1) ? x ?

? ? ?

5 ? 13 ? ? 5 ? 13 ? x? ? ? ? ; (2) x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ; ? ? 2 ?? 2 ? ?

?

??

?

(3) 3 ? x ? 3.等边三角形

? ? ?

2 ? 7 ?? 2? 7 ? y? x ? y? ? ?? ? ; (4) ? x ? 3? ( x ? 1)( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) . 3 3 ?? ?

4. ( x ? a ? 1)( x ? a)

2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
19

我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

(x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2



因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-

(3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ? 此,原方程没有实数根.

b 2 ) 一定大于或等于零,因 2a

由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 ⑴当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

⑵当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- ⑶当 Δ<0 时,方程没有实数根.

例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (2)x2-ax-1=0; (4)x2-2x+a=0.

解: (1)∵Δ=32-4× 1× 3=-3<0,∴方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式 Δ=a2-4× 1× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根

a ? a2 ? 4 , x1 ? 2

a ? a2 ? 4 . x2 ? 2

(3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4× 1× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,所以 ①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根: x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根: x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× 1× a=4-4a=4(1-a),所以 ①当 Δ>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根

x1 ? 1 ? 1 ? a ,

x2 ? 1 ? 1 ? a ;

②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根:x1=x2=1;

20

③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 点评:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程 中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非 常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? ,则有 2a 2a

x1 ? x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a

2 ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b 2? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2 2a 2a 4a 4a a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系即韦达定理: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1· x2= . a a

特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 例 2 已知方程 5 x
2

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出另一个根.但 由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数 和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根,∴5× 22+k× 2-6=0,∴k=-7. 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- 所以,方程的另一个根为-

3 . 5

3 ,k 的值为-7. 5

21

解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- 由 (-

6 3 ,∴x1=- . 5 5

3 k )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 ,k 的值为-7. 5

所以,方程的另一个根为- 例3

已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两个

根的积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程,从而解 得 m 的值. 但在解题中需要特别注意的是, 由于所给的方程有两个实数根, 因此, 其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1· x2=m2+4. ∵x12+x22-x1· x2=21,∴(x1+x2)2-3 x1· x2=21,即 [-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,

化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 1× 293<0,不合题意,舍去. 综上,m=17. 点评: ⑴在本题的解题过程中, 也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围, 然后再由“两 个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可. ⑵在今后的解题过程中, 如果仅仅由韦达定理解题时, 还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于零. 因 为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根. ⑶本题考查了了配方法、待定系数法及分类讨论等数学思想方法. 例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化 出一元二次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是 x,y,则 x+y=4, xy=-12. ① ②

由①,得 y=4-x,代入②,得 x(4-x)=-12,即 x2-4x-12=0, ∴x1=-2,x2=6. ∴ ?

? x1 ? ?2, ? x2 ? 6, 或? ? y1 ? 6, ? y2 ? ?2.

因此,这两个数是-2 和 6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6.所以,这两个数是-2 和 6. 点评:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根.

22

(1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 (3)x13+x23. ? 2 的值; 2 x1 x2
5 3 , x1 x2 ? ? . 2 2
49 25 +6= , 4 4

解:∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根, ∴ x1 ? x2 ? ? (1)∵| x1-x2|2=x12+ x22-2 x1x2=(x1+x2)2-4 x1x2= ( ? ) ? 4 ? ( ? ) =
2

5 2

3 2

∴| x1-x2|=

7 . 2

x 2 ? x 2 ( x ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 (2) 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 ? x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 )2

5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 37 2 2 ? 4 . ? 3 2 9 9 (? ) 2 4

(3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] =(-

5 5 3 215 )× [(- )2-3× ( ? )]=- . 2 2 2 8

点评:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题, 为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a
?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac b2 ? 4ac ? ? ? . ? ? 2a 2a 2a |a| |a|

∴| x1-x2|=

于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=

? (其中 Δ=b2-4ac) . |a|

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、 另一根小于零, 求实数 a 的取值范围. 解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0, ①且 Δ=(-1)2-4(a-4)>0. ② 由①得 a<4,由②得 17 a< .∴a 的取值范围是 a<4. 4





1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是
2 2

(A)有一个实数根 (C)有两个相等的实数根

(B)有两个不相等的实数根 (D)没有实数根

(2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是

23

(A)m< 2.填空:

1 1 1 1 (B)m>- (C)m< ,且 m≠0 (D)m>- ,且 m≠0 4 4 4 4

(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

1 1 ? = x1 x2

. . .

3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实数根?

4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

习题 2.1 A 组 1.选择题:(1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 )

(2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?

7 ; 3
( )

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个

(D)4 个 )

(3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( (A)0 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= . . (B)1 (C)-1 (D)0,或-1

(3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= .



3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有 两个相等的实数根?没有实数根?

24

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

B 组 1.选择题: 若关于 x 的方程 x2+(k2-1) x+k+1=0 的两根互为相反数,则 k 的值为 (A)1,或-1 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 (2) 如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根, 那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围. . . (B)1 (C)-1 (D)0

4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和

x1 ? x2 ; (2)x13+x23. 2

5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

C 组 1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直角三角形的斜 边长等于 (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9

25

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则

x1 x2 ? 的值为 x2 x1
(D)





(A)6

(B)4

(C)3

3 2
( )

(3)如果关于 x 的方程 x2-2(1-m)x+m2=0 有两实数根 α,β,则 α+β 的取值范围为 (A)α+β≥

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

(4)已知 a,b,c 是 ΔABC 的三边长,那么方程 cx2+(a+b)x+ (A)没有实数根 (C)有两个相等的实数根 2.填空: 若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m=

c =0 的根的情况是 4





(B)有两个不相等的实数根 (D)有两个异号实数根



3. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- (2)求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由; 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1
x1 ,试求 ? 的值. x2

(3)若 k=-2, ? ?

4.已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ?
2

m2 ?0. 4

(1)求证:无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足|x2|=|x1|+2,求 m 的值及相应的 x1,x2.

5.若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个大于 1、零一根小于 1,求实数 a 的取值范围.

26

2.2
2.2.1

二次函数

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质

问题 1 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y=

1 2 x ,y=-2x2 的图象,通过这些函数图象与函数 y 2

=x2 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x x2 2x
2

… … …

-3 9 18

-2 4 8

-1 1 2

0 0 0

1 1 2

2 4 8

3 9 18

… …

从表中不难看出,要得到 2x2 的值,只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以 了. 再描点、 连线, 就分别得到了函数 y=x2, y=2x2 的图象 (如图 2-1 所示) , 从图 2-1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数 y=2x2 的图象可以 由函数 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到. 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y= y=2x2

y

y=x2

1 2 x ,y=-2x2 的图象, 2

并研究这两个函数图象与函数 y=x2 的图象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论:

O 图 2.2-1

x

二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到.在二次函数 y= ax2(a≠0)中,二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小. 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系? 同样地, 我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之 间的关系.同学们可以作出函数 y=2(x+1)2+1 与 y=2x2 的图象(如图 2 -2 所示) ,从函数的同学我们不难发现,只要把函数 y=2x2 的图象向左 平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数 y=2(x+1)2+1 的 图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x2,y=-3(x-1)2+1 的图象,研 究它们图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小 及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”; k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法:
-1 y

y=2(x+1)2+1 y=2(x+1)2 y=2x2

O 图 2.2-2

x

27

由于 y=ax2+bx+c=a(x2+

b b b2 b2 x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a

? a( x ?

b 2 b2 ? 4ac ) ? , 2a 4a

所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的,于 是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 ( ? x=-

b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴为直线 2a 4a

b b b b ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 2a 2a 2a 2a

时,函数取最小值 y=

4ac ? b 2 . 4a
b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴为直线 x 2a 4a

(2)当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 ( ? =-

b b b b ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 2a 2a 2a 2a

4ac ? b 2 时,函数取最大值 y= . 4a
上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次 函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. y

b x=- 2a

y

b 4ac ? b 2 , ) A (? 2a 4a

A(-1,4)

y

D(0,1) O A (? x O
2

x x=- 图 2.2-4

C

O x=-1

B

x

b 4ac ? b , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

图 2.2-5

例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并指 出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象. 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, ∴函数图象的开口向下;对称轴是直线 x=-1;顶点坐标为(-1,4); 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减小;

28

采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)),与 x 轴交于点 B ( 点为 D(0,1),过这五点画出图象(如图 2-5 所示) .

2 3 ?3 2 3 ?3 , 0) 和 C (? , 0) ,与 y 轴的交 3 3

说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选 点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. 例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之 间关系如下表所示: x /元 y/件 130 70 150 50 165 35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为 多少元?此时每天的销售利润是多少? 分析:由于每天的利润=日销售量 y× (销售价 x-120),日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数,所以, 欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系,然后,再由它们之 间的函数关系求出每天利润的最大值. 解:由于 y 是 x 的一次函数,于是,设 y ? kx ? b 将 x=130,y=70;x=150,y=50 代入方程,有 ? ∴ y=-x+200.

?70 ? 130k ? b, ?50 ? 150k ? b,

解得

k=-1,b=200.

设每天的利润为 z(元) ,则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600, ∴当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元. 例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的 图像,求 b,c 的值. 解法一:y=x2+bx+c=(x+

b 2 b2 ) ?c ? ,把它的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到 2 4

y ? (x ?

b b2 ? 4) 2 ? c ? ? 2 的图像,也就是函数 y=x2 的图像,所以, 2 4

? b ? ?4 ?0 , ? ? 2 解得 b=-8,c=14. ? 2 ?c ? b ?2 ?0 , ? 4 ?
解法二:把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的图像,等价于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=x2+bx+ c 的图像. 由于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=(x-4)2+2 的图 像,即为 y=x2-8x+14 的图像,∴函数 y=x2-8x+14 与函数 y=x2+bx+c 表示同一个函数,∴b=-8,
29

c=14. 点评:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次 函数图像的变换规律. 这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相 对较大;而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的 优点.今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题. 例 4 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和 最小值时所对应的自变量 x 的值. 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论. 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x2 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值 都是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时,函数取最小 值 y=a2; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取最小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a2;当 x=0 时,函数取最小值 y=0.
y 4 4 y y

a2
4

a2
-2 a O ① x -2

a2
O ② a 2 x -2

O ③

a x

图 2.2-6

点评:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的二 次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助 于函数图象来直观地解决问题. 练 习

1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1 ( ( ) (D)y=2x2-4x )

(2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的
30

(D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= (2) 已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m, 当 m= 函数图象的顶点在 x 轴上;当 m=
2

,n=

. 时,

时, 函数图象的顶点在 y 轴上; 当 m=

时,函数图象经过原点. ,对称轴为 ;当 x ,顶点坐标为 时,y 随着 x 的增大而减小. ;

(3)函数 y=-3(x+2) +5 的图象的开口向 当 x= 时,函数取最 值 y=

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2.

4.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求 当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

31

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0.
2



并且方程①的解就是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) , 于是, 不难发现, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的 根的判别式 Δ=b2-4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2 -4ac 存在下列关系: (1) 当 Δ>0 时, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点; 反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物 线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2+bx +c=0 的两根,所以 x1+x2= ?
2

b c ,x1x2= ,即 a a

b c =-(x1+x2), =x1x2. a a

所以,y=ax2+bx+c=a( x ?

b c x ? )= a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2). a a

由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x -x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种 表达形式中的某一形式来解题.

例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求 二次函数的解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设 成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为 2.
32

又顶点在直线 y=x+1 上,所以,2=x+1,∴x=1.∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) ,∴ ?1 ? a(3 ? 2)2 ? 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7. 点评:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函 数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地 解决问题. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达 式. 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交 点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0), 展开,得

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , y=ax +2ax-3a, 顶点的纵坐标为 4a
2

由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2,∴|-4a|=2,即 a= ?

1 . 2

所以,二次函数的表达式为 y=

1 2 3 1 3 x ? x ? ,或 y=- x 2 ? x ? . 2 2 2 2

分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由顶点到 x 轴 的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再 利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2,∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2, 由于函数图象过点(1,0),∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2. ∴a=-

1 1 1 1 ,或 a= .所以,所求的二次函数为 y=- (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2 2 2

点评:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来 解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. 例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式. 解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0).

??22 ? a ? b ? c, ? 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得 ??8 ? c, ?8 ? 4a ? 2b ? c, ?
解得 a=-2,b=12,c=-8.所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8. 通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式

33

来求二次函数的表达式?





1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 ( (D)(-1,-2) ) ( )

1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是 2 (A)(1,2) 2.填空: (B)(1,-2) (C)(-1,2)

(1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为 y=a (a≠0) . (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2). .

34

2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的 图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改 变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置 即可. 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位. 分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数) ,所以只改变二 次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项) ,所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然 后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式. 解:二次函数 y=2x2-4x-3 的解析式可变为 y=2(x-1)2-1,其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向右平移 2 个单位,向下 平移 1 个单位后,其函数图象的顶点坐标是(3,-2),所以,平移 后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y=2(x-3)2-2. (2)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向上平移 3 个单位,向左 平移 2 个单位后,其函数图象的顶点坐标是(-1, 2),所以,平 移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y=2(x+1)2+2. 2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行 图 2.2-7 A1(-3,-1) O A(1,-1) x x=-1 y

对称变换时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点—— 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键 是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1. 解: (1)如图 2.2-7,把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换后,只改变图 象的顶点位置,不改变其形状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函数 y=2x2-4x+1 图象的顶 点为 A(1,-1),所以,对称后所得到图象的顶点为 A1(-3,1),所以,二次 函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x=-1 对称后所得到图象的函数解析式 为 y=2(x+3)2-1,即 y=2x2+12x+17.
35

y

B(1,3) y=1

O A(1,-1) 图 2.2-8

x

(2)如图 2.2-8,把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换后,只改变图象的 顶点位置和开口方向,不改变其形状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函数 y=2x2-4x+1 图象的顶点为 A(1,-1),所以,对称后 所得到图象的顶点为 B(1,3),且开口向下,所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 y=1 对称后 所得到图象的函数解析式为 y=-2(x-1)2+3,即 y=-2x2+4x+1. 二、分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例 3 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超 过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函 数表达式,作出函数图象. 分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给 出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内(如 20<x≤40)变化时,它所对 应的函数值(邮资)并不变化(都是 160 分) .

?80, ?160 ? ? 解: 设每封信的邮资为 y (单位: 分) , 则 y 是 x 的函数. 这个函数的解析式为 y ? ? 240, ?320 ? ? ?400,
由上述的函数解析式,可以得到其图象如图 2.2-9 所示. y(分) 400 320 240 160 80 O
20 40 60 80 100

x ? (0, 20] x ? (20, 40] x ? 940,80] x ? (60,80] x ? (80,100]

x(克)

图 2.2-9 例 4 如图 9-2 所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发沿折线 ABCD 移 动一周后,回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,ΔPAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围. 分析:要对点 P 所在的位置进行分类讨论. 解: (1)①当点 P 在线段 AB 上移动(如图 2.2-10①) ,即 0<x≤2 时, y= D C

1 AP ? BC =x; 2
②当点 P 在线段 BC 上移动(如图 2.2-10②) ,即 2<x<4 时, A 图 2.2-10
36

P

1 1 y= PC ? AB = (4 ? x) ? 2 =4-x; 2 2

B

③当点 P 在线段 CD 上移动(如图 2.2-10③) ,即 4<x≤6 时, y= PC ? AD = ( x ? 4) ? 2 =x-4; ④当点 P 在线段 DA 上移动(如图 2.2-10④) ,即 6<x<8 时,

1 2

1 2

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程 x2 ? 2 xy ? y 2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整 式方程,这样的方程叫做二元二次方程. 其中 x , 2 xy , y 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常 数项. 我们看下面的两个方程组: 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方 程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例 1 解方程组 ① ②
2

2

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

分析:二元二次方程组对我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟悉的形式.注 意到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入到方程①,得到一个一元二 次方程,从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题. 解:由②,得 x=2y+2, 解得 y1=0,y2=-1. x1=2; 把 y2=-1 代入③, 得 x2=0. ③ 把③代入①,整理,得 8y2+8y=0,即 y(y+1)=0.

把 y1=0 代入③, 得 所以原方程组的解是

? x1 ? 2, ? ? y1 ? 0,

? x2 ? 0, ? ? y2 ? ?1.
① ② ③,把③代入②,整理,得

点评:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例2

? x ? y ? 7, 解方程组 ? ? xy ? 12.

解法一:由①,得 x ? 7 ? y.

y2 ? 7 y ? 1 ? 2

0

解这个方程,得 y1 ? 3, y2 ? 4 .把 y1 ? 3 代入③,得 x1 ? 4 ;把 y2 ? 4 代入③,得 x2 ? 3 . 所以原方程的解是 ?

? x1 ? 4, ? y1 ? 3,

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

解法二:对这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把 x, y 看作一个一元二次方程
37

的两个根,通过解这个一元二次方程来求 x, y .
2 这个方程组的 x, y 是一元二次方程 z ? 7 z ? 12 ? 0 的两个根,解这个方程,得 z ? 3 ,或 z ? 4 .

所以原方程组的解是 练 习

? x1 ? 4, ? ? y1 ? 3;

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

1.下列各组中的值是不是方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 13, ?x ? y ? 5

的解?

(1) ?

? x ? 2, ? y ? 3;

(2) ?

? x ? 3, ? x ? 1, ? x ? ?2, (3) ? (4) ? ? y ? 2; ? y ? 4; ? y ? ?3;

2.解下列方程组: (1)

? y ? x ? 5, ? 2 2 ? x ? y ? 625;
? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 ? y ? x ? 3; ?

(2) ?

? x ? y ? 3, ? xy ? ?10;
? y 2 ? 2x , ? 2 2 ? ? x ? y ? 8.

(3)

(4) ?

38

2.3.2

一元二次不等式解法

二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下: x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x2-x=6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x2-x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是 (-2,0)与(3,0),那么一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 x<-2,或 x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是-2<x<3. 上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元 二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解 的情形按照△>0,△=0,△<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实 数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共 点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不 等式 ax2+bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c<0(a>0)的解.

39

(1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程 ax2+bx +c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2; 不等式 ax2+bx+c<0 的解为 x1<x<x2. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2+bx+c=0 有 b b 两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x≠- ; 2a 2a 不等式 ax2+bx+c<0 无解. (3)如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+c=0 没有实数根, 由图 2.3-2③可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为一切实数;不等式 ax2+bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果二 次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用上 面的结论去解不等式. 例 3 解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0. 解: (1)∵Δ>0,方程 x2+2x-3=0 的解是 x1=-3,x2=1. (2)整理,得 x -x-6>0.∵Δ>0,方程 x -x-6=0 的解为 ∴原不等式的解为 x<-2,或 x<3.
2 2

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

∴不等式的解为-3≤x≤1. x1=-2,x2=3.

(3)整理,得 (2x+1)2≥0.由于上式对任意实数 x 都成立,∴原不等式的解为一切实数. (4)整理,得(x-3)2≤0. 由于当 x=3 时,(x-3)2=0 成立;而对任意的实数 x,(x-3)2<0 都不成立,∴原不等式的解为 x=3. (5)整理,得 x2-x+4>0.Δ<0,所以,原不等式的解为一切实数.
2 例 4 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.
2
2 2 解: 由不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解为 x ? 2, 或 x ? 3 , 可知 a ? 0 , 且方程 ax ? bx ? c ? 0 的

两根分别为 2 和 3,∴ ?

b ?5, a

c b ? 6 ,即 ? ?5 , a a

c ?6. a

40

2 由于 a ? 0 ,所以不等式 bx ? ax ? c ? 0 可变为

b 2 c x ? x ? ? 0 ,即- 5x2 ? x ? 6 ? 0 , a a
6

整理,得

5x2 ? x ? 6? 0 , 所以,不等式 bx 2 ? ax ? c ? 0 的解是 x<-1,或 x>5 .

点评:本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题. 例 5 解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? ax ? 1 ? 0(a 为实数). 分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求, 欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 ? 的符号,而这里的 ? 是关于未知系数的代数式, ? 的符号取 决于未知系数的取值范围,因此,再根据解题的需要,对 ? 的符号进行分类讨论. 解: ? ? a ? 4 ,
2

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x2 ? . ①当 ? ? 0,即a ? ?2或a ? 2时, 方程x ? ax ? 1 ? 0 的解是 x1 ? 2 2
2

所以,原不等式的解集为 x ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ; , 或x? 2 2
a ; 2

②当 Δ=0,即 a=± 2 时,原不等式的解为 x≠-

③当 ? ? 0,即? 2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数 .

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 综上,当 a≤-2,或 a≥2 时,原不等式的解是 x ? ; , 或x? 2 2
当 ?2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数. 例 6 已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来. 分析:由该函数的图象可知,该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关,于是需要对对称轴的位 置进行分类讨论. 解:∵y=(x-a)2+1-a2, ∴抛物线 y=x2-2ax+1 的对称轴方程是 x=a.

(1)若-2≤a≤1,由图 2.3-3①可知,当 x=a 时,该函数取最小值 n=1-a2; (2)若 a<-2 时, 由图 2.3-3②可知, 当 x=-2 时,该函数取最小值 n=4a+5; (2)若 a>1 时, 由图 2.3-3③可知, 当 x=1 时,该函数取最小值 n=-2a+2.

?4a ? 5, a ? ?2, ? 2 综上,函数的最小值为 n ? ?1 ? a , ? 2 ? a ? 1, ??2a ? 2, a ? 1. ?

41





1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0;(2)x2-x-12≤0;(3)x2+3x-4>0;(4)16-8x+x2≤0.

2.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0(a 为常数) .

习题 2.3

? x2 ? x 2 ? y 2 ? 4, ?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9, ? ? ? y 2 ? 1, A 组 1.解下列方程组: (1)? 4 (2)? (3)? 2 2 ? ? x ? 2 y ? 0; ? x ? y ? 2. ? x ? y ? 2 ? 0; ?

2.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0; (2)3x2-4<0; (3)2x-x2≥-1; (4)4-x2≤0. B 组 1. m 取什么值时,方程组 ?

? y 2 ? 4 x, ? y ? 2x ? m

有一个实数解?并求出这时方程组的解.

2.解关于 x 的不等式 x2-(1+a)x+a<0(a 为常数) .

C 组 1.已知关于 x 不等式 2x2+bx-c>0 的解为 x<-1,或 x>3.试解关于 x 的不等式 bx2+cx+4≥0. 2.试求关于 x 的函数 y=-x2+mx+2 在 0≤x≤2 上的最大值 k.

3.1

相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时,我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中,我们发现平行线 常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上,我们作平行线 l1 , l2 , l3 (如图 3.1-1) ,直线 a 交

l1 , l2 , l3 于点 A, B, C , AB ? 2, BC ? 3 ,另作直线 b 交 l1 , l2 , l3 于
点 A ', B ', C ' ,不难发现

A ' B ' AB 2 ? ? . B ' C ' BC 3
图 3.1-1

我们将这个结论一般化,归纳出平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

42

如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,有

AB DE AB DE = ? .当然,也可以得出 .在运用该定理解决问题的过程中, BC EF AC DF

我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成比例. 例1 解 如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE, EF .

Q l1 / / l2 / /l3\ ,

AB DE 2 2 8 3 12 = = DE , ? DF ? , EF ? DF ? . BC EF 3 2?3 5 2?3 5

例 2 在 ABC 中, D, E 为边 AB, AC 上的点, DE // BC , 求证:

图 3.1-2

AD AE DE ? ? . AB AC BC

证明(1)

DE // BC,??ADE ? ?ABC, ?AED ? ?ACB, ? ADE ∽ ABC ,?

AD AE DE ? ? . AB AC BC

证明(2) 如图 3.1-3,过 A 作直线 l // BC ,

l // DE // BC, ?

AD AE ? . AB AC

过 E 作 EF // AB 交 AB 于 D ,得 BDEF , 因而 DE ? BF .

EF // AB,?

AD AE DE AE BF DE ? ? . ? ? . ? AB AC BC AC BC BC

从上例可以得出如下结论: 平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例.

图 3.1-3

平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

例 3 已知 ABC , D 在 AC 上, AD : DC ? 2 :1 ,能否在 AB 上找到一点 E , 使得线段 EC 的中点在 BD 上. 解 假设能找到,如图 3.1-4 ,设 EC 交 BD 于 F ,则 F 为 EC 的中点,作

EG // AC 交 BD 于 G .

EG // AC, EF ? FC ,? EGF ? CDF ,且 EG ? DC ,
? EG // 1 AD, BEG 2 BAD , 且
B E E G ? B A A D

图 3.1-4

1 ? , ? E 为 AB 的中点.可见, 当 E 为 AB 的中点时,EC 的 2

中点在 BD 上. 我们在探索一些存在性问题时, 常常先假设其存在, 再解之, 有解则存在, 无解或矛盾则不存在. 例4 在 V ABC 中, AD 为 ?BAC 的平分线,求证:

AB BD = . AC DC

43

例 4 的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的两边之比).

练习 1 1.如图 3.1-6, l1 // l2 // l3 ,下列比例式正确的是( A. ) D.

AD CE = DF BC

B.

AD BC = BE AF

C.

CE AD = DF BC

AF BE = DF CE

图 3.1-6

2.如图 3.1-7, DE // BC, EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm, 求 BF .

图 3.1-7

3 . 如 图 , 在 ?ABC 中 , AD 是 角 BAC 的 平 分 线 , AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长.

图 3.1-8

?BAC 的外角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D , 4. 如图, 在 ?ABC 中,
求证:

AB BD = . AC DC

5.如图,在 ?ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使 BD=CE,DE

DF AC = 延长线交 BC 的延长线于 F.求证: . EF AB

图 3.1-9

44

图 3.1-10

3.1.2.相似形 我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角形相似?有哪些方法可以判定两 个直角三角形相似? 例5 如图 3.1-11,四边形 ABCD 的对角线相交于点 O, ? BAC

CDB ,求证:

? DAC

CBD .

证明 在 VOAB 与 VODC 中,

? AOB

行 DOC, OAB =

ODC,
图 3.1-11

\ VOAB ∽ VODC ,
\ OA OB OA OD = = ,即 . OD OC OB OC
BOC ,

又 VOAD 与 VOBC 中, ? AOD

\ VOAD ∽ VOBC , \ ? DAC
例 6

CBD .
如 图 3.1-12, 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?BAC 为 直 角 ,

AD ^ BC于D .
求证: (1) AB = BD BC , AC = CD CB ; (2) AD = BD CD 证明 (1)在 RtVBAC 与 RtVBDA 中, ? B
2 2 2

图 3.1-12

B,

\ VBAC ∽ V BDA , \
2

BA BC = , 即AB 2 = BD BC. BD BA

同理可证得 AC = CD CB . (2)在 RtVABD 与 RtVCAD 中, ? C

90o - ? CAD

BAD ,

\ RtV ABD ∽ RtVCAD , \

AD DC = , 即AD 2 = BD DC. BD AD

45

我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 证明 在 V ABC 中, AD ^ BC于D, DE ^ AB于E, DF ^ AC于F ,求证: AE ?AB

AF AC .

Q A D^

BC ,
图 3.1-13

\ V ADB 为直角三角形,又 DE ^ AB ,
由射影定理,知 AD = AE AB . 同理可得 AD = AF AC .
2
2

\ AE ?AB

AF AC .

例 8 如图 3.1-14,在 V ABC 中, D 为边 BC 的中点, E 为边 AC 上的任意一点, BE 交 AD 于点 O .某 学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:

图 3.1-14 ①当

AE 1 1 AO 2 2 = = = = 时,有 .(如图 3.1-14a) AC 2 1 + 1 AD 3 2 + 1 AE 1 1 AO 2 2 = = = = 时,有 .(如图 3.1-14b) AC 3 1 + 2 AD 4 2 + 2
AE 1 1 AO 2 2 = = = = 时,有 .(如图 3.1-14c) AC 4 1 + 3 AD 5 2 + 3
AO AE 1 = 时,参照上述研究结论,请你猜想用 n 表示 的一般结论,并给出证 AD AC 1 + n

②当

③当

在图 3.1-14d 中,当

明(其中 n 为正整数). 解:依题意可以猜想:当

AE 1 AO 2 = = 时,有 成立. AC 1 + n AD 2 + n

证明 过点 D 作 DF//BE 交 AC 于点 F,

Q D 是 BC 的中点, \ F 是 EC 的中点,


AE 1 AE 1 AE 2 AE 2 = ,\ = = , = .. 可知 EC n AC 1 + n EF n AF 2 + n

46

\

AO AE 2 = = . AD AF 2 + n
AO 1 AE = ,则 =? AD n AC

想一想,图 3.1-14d 中,若

本题中采用了从特殊到一般的思维方法 .我们常从一些具体的问题中发现一些规律,进而作出一般性的猜 想,然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.

练习 2 1.如图 3.1-15,D 是 V ABC 的边 AB 上的一点,过 D 点作 DE//BC 交 AC 于 E.已知 AD:DB=2:3,则 SV ADE : S四边形BCDE 等于( A. 2 : 3 B. 4 : 9 C. 4 : 5 )

D. 4 : 21

图 3.1-15

2. 若一个梯形的中位线长为 15, 一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是 3 : 2 , 则梯形的上、 下底长分别是__________. 3.已知: V ABC 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的 V A ' B ' C ' 的最大边长是 15,求 A ' B ' C ' 的面积

SV A' B 'C ' .

4.已知:如图 3.1-16,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、 DA 的中点. ①请判断四边形 EFGH 是什么四边形,试说明理由; ②若四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、BD 满足什么条件时, EFGH 是菱形?是正方形? 图 3.1-16

5.如图 3.1-17,点 C、D 在线段 AB 上, V PCD 是等边三角形, ①当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时, V ACP ∽ V PDB ? ②当 V ACP ∽ V PDB 时,求 ?APB 的度数.

图 3.1-17

47

习题 3.1 A组 1. 如图 3.1-18, V ABC 中,AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,则( A.DE=1,BC=7 C.DE=3,BC=5 B.DE=2,BC=6 D.DE=2,BC=8 图 3.1-18 )

2. 如图 3.1-19,BD、CE 是 V ABC 的中线,P、Q 分别是 BD、CE 的中点,则 PQ : BC 等于( A.1:3 C.1:5 B.1:4 D.1:6



图 3.1-19

3. 如图 3.1-20, Y ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,DE 交 BC 于点 F,已知 BE:AB=2:3, SVBEF = 4 ,求 SVCDF .

图 3.1-20

4. 如图 3.1-21,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 的中点, BE ^ AC 交 AC 于 F, 过 F 作 FG//AB 交 AE 于 G,求证: AG = AF FC .
2

图 3.1-21

48

B组 1. 如图 3.1-22,已知 V ABC 中,AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD 与 CE 相 交于 F,则 A.

1 2

EF AF + 的值为( FC FD 3 B.1 C. 2

) D.2 图 3.1-22

2. 如图 3.1-23,已知 V ABC 周长为 1,连结 V ABC 三边的中点构成第二个三角形,再连结第二个对角线 三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2003 个三角形周长为( A. )

1 2002

B.

1 2003

C.

1 2
2002

D.

1 2
2003

图 3.1-23

3. 如图 3.1-24, 已知 M 为 Y ABCD 的边 AB 的中点, CM 交 BD 于点 E, 则图中阴影部分的面积与 Y ABCD 面积的比是( A. )

1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

5 12
图 3.1-24

4. 如图 3.1-25,梯形 ABCD 中,AD//BC,EF 经过梯形对角线的交点 O,且 EF//AD. ①求证:OE=OF; ②求

OE OE 1 1 2 + + = 的值;③求证: . AD BC AD BC EF

图 3.1-25

C组 1.如图 3.1-26, V ABC 中,P 是边 AB 上一点,连结 CP. ①要使 V ACP ∽ V ABC ,还要补充的一个条件是____________. ②若 V ACP ∽ V ABC ,且 AP : PB = 2 :1 ,则 BC : PC =_____. 图 3.1-26

49

2. 如 图 3.1-27 , 点 E 是 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 , 且

? BAC

? BDC

DAE . CD AE ;

①求证: BE ?AD

②根据图形的特点,猜想

BC 可能等于那两条线段的比(只须写出图中已有线段的 DE

图 3.1-27

一组比即可)?并证明你的猜想.

3.如图 3.1-28,在 Rt VABC 中,AB=AC,? A

90o ,点 D 为 BC 上任一点, DF ^ AB 于 F, DE ^ AC

于 E,M 为 BC 的中点,试判断 V MEF 是什么形状的三角形,并证明你的结论.

图 3.1-28

4.如图 3.1-29a, AB ^ BD, CD ^ BD, 垂足分别为 B、D,AD 和 BC 相交于 E, EF ^ BD 于 F,我们可 以证明

1 1 1 + = 成立. AB CD EF

图 3.1-29

50

5.若将图 3.1-29a 中的垂直改为斜交,如图 3.1-29 b, AB // CD, AD、BC 相交于 E,EF//AB 交 BD 于 F, 则: ①

1 1 1 + = 还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由; AB CD EF

②请找出 SV ABD , SVBCD 和 SV EBD 之间的关系,并给出证明.

3.2

三角形

3.2.1 三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

A, B, C ,三个顶点 A, B, C ,在三 如图 3.2-1 ,在三角形 V ABC 中,有三条边 AB, BC , CA ,三个角 行
角形中,角平分线、中线、高(如图 3.2-2)是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中 图 3.2-1 图 3.2-2 线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1. 已知 求证 证明 D、E、F 分别为 V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 连结 DE,设 AD、BE 交于点 G, 图 3.2-3

51

Q D、E 分别为 BC、AE 的中点,则 DE//AB,且 DE =
\ VGDE ∽ VGAB ,且相似比为 1:2,

1 AB , 2

\ AG = 2GD, BG = 2GE .
设 AD、CF 交于点 G ' ,同理可得, AG ' = 2G ' D, CG ' = 2G ' F . 则 G 与 G ' 重合,

图 3.2-4

\ AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2 :1 .

三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相等.(如图 3.2-5)

图 3.2-5

例2

已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为

V ABC 的 内 心 , 且 I 在 V ABC 的 边 B C 、 A、 C

A上 B 的 射 影 分 别 为 D、E、F , 求 证 :

A E=

AF =

b + c2

a

.

证明 作 V ABC 的内切圆,则 D、E、F 分别为内切圆在三边上的切点,

Q AE, AF 为圆的从同一点作的两条切线, \ AE = AF ,
同理,BD=BF,CD=CE.

\ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE
即 AE = AF =

b+ c- a . 2

图 3.2-6

例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形. 证明 如图,连 AO 并延长交 BC 于 D.

Q O 为三角形的内心,故 AD 平分 ?BAC ,
\ AB BD = (角平分线性质定理) AC DC

Q O 为三角形的重心,D 为 BC 的中点,即 BD=DC.
52

\

AB = 1 ,即 AB = AC . AC

同理可得,AB=BC.

图 3.2-7

\ V ABC 为等边三角形.

三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直 角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图 3.2-8)

图 3.2-8

例 4 求证:三角形的三条高交于一点. 已知 求证

V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, AD 与 BE 交于 H 点.

C H^

AB .

证明 以 CH 为直径作圆,

Q AD ^ BC, BE ^ AC, \ ? HDC
\ D、E 在以 CH 为直径的圆上,

? HEC

90o ,
图 3.2-9

\ ? FCB

DEH .
BAD .

同理,E、D 在以 AB 为直径的圆上,可得 ? BED

\ ? BCH

BAD ,

又 V ABD 与 VCBF 有公共角 ?B , \ ? CFB

? ADB

90o ,即 CH ^ AB .

53

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三角形的外心.三角形 的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.

练习 1 1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.

2. (1) 若三角形 ABC 的面积为 S, 且三边长分别为 a、b、c , 则三角形的内切圆的半径是___________; (2) 若直角三角形的三边长分别为 a、b、c(其中 c 为斜边长) , 则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.

3.2.2

几种特殊的三角形

等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形 ABC 中,三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上. 例 5 在 ABC 中, AB ? AC ? 3, BC ? 2. 求 (1) ABC 的面积 S
ABC

及 AC 边上的高 BE ;

(2) ABC 的内切圆的半径 r ; (3) ABC 的外接圆的半径 R . 解 (1)如图,作 AD ? BC 于 D .

AB ? AC,? D 为 BC 的中点,

图 3.2-10

? AD ? AB 2 ? BD2 ? 2 2, 1 ? S ABC ? ? 2 ? 2 2 ? 2 2. 2
又S
ABC

?

1 4 2 AC ? BE , 解得 BE ? . 2 3

(2)如图, I 为内心,则 I 到三边的距离均为 r , 连 IA, IB, IC , 图 3.2-11
54

S

ABC

?S

IAB

?S

IBC

?S

IAC



即2 2 ? 解得 r ? (3)

1 1 1 AB ? r ? BC ? r ? CA ? r , 2 2 2

2 . 2
ABC 是等腰三角形,
图 3.2-12

? 外心 O 在 AD 上,连 BO ,
则 Rt OBD 中, OD ? AD ? R, OB2 ? BD2 ? OD2 ,

? R2 ? (2 2 ? R)2 ? 12 , 解得 R ?

9 2 . 8

在直角三角形 ABC 中, ?A 为直角,垂心为直角顶点 A, 外心 O 为斜边 BC 的中点,内心 I 在三角形的 内部,且内切圆的半径为

b+ c- a (其中 a , b, c 分别为三角形的三边 BC,CA,AB 的长) ,为什么? 2
2 2 2

该直角三角形的三边长满足勾股定理: AC + AB = BC .

例 6 如图,在 V ABC 中,AB=AC,P 为 BC 上任意一点.求证: AP = AB - PB PC . 证明:过 A 作 AD ^ BC 于 D. 在 RtV ABD 中, AD = AB - BD . 在 RtV APD 中, AP = AD - DP .
2 2 2 2 2 2

2

2

图 3.2-13

\ AP2 = AB2 - BD2 + DP2 = AB2 - (BD + DP)(BD - DP).
Q AB = AC, AD ^ BC, \ BD = DC .
\ BD - DP = CD - DP = PC .

\ AP2 = AB2 - PB PC .
图 3.2-14

正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、外心)合一,该点称为正三角形的中
55

心. 例7 已知等边三角形 ABC 和点 P,设点 P 到三边 AB,AC,BC 的距离分别为 h1 , h2 , h3 ,三角形 ABC 的

高为 h , “若点 P 在一边 BC 上,此时 h3 = 0 ,可得结论: h1 + h2 + h3 = h .” 请直接应用以上信息解决下列问题:

当(1)点 P 在 V ABC 内(如图 b) , (2)点在 V ABC 外(如图 c),这两种情况时,上述结论是否还成立? 若成立,请给予证明;若不成立, h1 , h2 , h3 与 h 之间有什么样的关系,请给出 你的猜想(不必证明). 解 (1)当点 P 在 V ABC 内时,

法一 如图,过 P 作 B ' C ' 分别交 AB, AM , AC 于 B ', M ', C ' , 由题设知 AM ' = PD + PE , 而 AM ' = AM - PF , 故 PD + PE + PF = AM ,即 h1 + h2 + h3 = h . 法二 如图,连结, 图 3.2-16

Q SV ABC = SVPAB + SVPAC + SVPBC ,
\ 1 BC ?AM 2 1 AB ?PD 2 1 AC ?PE 2 1 BC PF , 2
图 3.2-17

又 AB = BC = AC ,

\ AM = PD + PE + PF ,即 h1 + h2 + h3 = h .
56

(2)当点 P 在 V ABC 外如图位置时, h1 + h2 + h3 = h 不成立,猜想: h1 + h2 - h3 = h . 注意:当点 P 在 V ABC 外的其它位置时,还有可能得到其它的结论, 如

h1 - h2 + h3 = h , h1 - h2 - h3 = h (如图 3.2-18,想一想为什么?)
等. 在解决上述问题时,“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵 活地运用了面积的方法. 图 3.2-18

练习 2 1.直角三角形的三边长为 3,4, x ,则 x = ________.

2.等腰三角形有两个内角的和是 100° ,则它的顶角的大小是_________.

3.满足下列条件的 V ABC ,不是直角三角形的是( A. b = a - c
2 2 2



B. ? C

?A

B

A: B :? C C. 行

3: 4 :5

D. a : b : c = 12 :13: 5

4.已知直角三角形的周长为 3 ? 3 ,斜边上的中线的长为 1,求这个三角形的面积.

5.证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.

习题 3.2 A组
o 1.已知:在 ABC 中,AB=AC, ?BAC ? 120 , AD 为 BC 边上的高,则下列结论中,正确的是()

57

A. AD ?

3 AB 2

B. AD ?

1 AB 2

C. AD ? BD

D. AD ?

2 BD 2

2.三角形三边长分别是 6、8、10,那么它最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.8

3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于_________.

4.已知: a , b, c 是 ABC 的三条边, a ? 7, b ? 10 ,那么 c 的取值范围是_________。

8 ,且 a 是整数,则 a 的值是_________。 5.若三角形的三边长分别为 1、a、

B组

1.如图 3.2-19,等边 ABC 的周长为 12,CD 是边 AB 上的中线,E 是 CB 延长线上一点,且 BD=BE,则 CDE 的周长为() A. 6 ? 4 3 C. 6 ? 2 3 B. 18 ? 12 3 D. 18 ? 4 3

图 3.2-19

2.如图 3.2-20,在 ABC 中, ?C ? ?ABC ? 2?A ,BD 是边 AC 上的高,求 ?DBC 的 度数。

图 3.2-20

3.如图 3.2-21, Rt ABC, ?C ? 90 , M 是 AB 的中点,AM=AN,MN//AC,
o

求证:MN=AC。

58

图 3.2-21

图 3.2-22 4.如图 3.2-22,在 ABC 中,AD 平分 ?BAC ,AB+BD=AC.求 ?B : ?C 的值。

5.如图 3.2-23, 在正方形 ABCD 中, F 为 DC 的中点, E 为 BC 上一点, 且 EC =

1 BC , ? EFA 求证: 4

90o .

C组 1.已知 k ? 1, b ? 2k , a ? c ? 2k 2 , ac ? k 4 ?1 ,则以 a、b、c 为边的三角形是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.形状无法确定

2.如图 3.2-24,把 ABC 纸片沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 内部时, 则 ?A 与 ?1 ? ? 2 之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规 律,你发现的规律是() A. ?A ? ?1 ? ? 2 C. 3?A ? ?1 ? ?2 B. 2?A ? ?1 ? ?2 D. 3?A ? 2(?1 ? ?2) 图 3.2-24

3.如图 3.2-25,已知 BD 是等腰三角形 ABC 底角平分线,且 AB=BC+CD, 求证: ? C

图 3.2-25

90o .

59

o 4. 如图 3.2-26 ,在等腰 Rt ABC 中 ?C ? 90 , D 是斜边 AB 上任一点,

图 3.2-26

AE ? CD 于 E, BF ? CD 交 CD 的延长线于 F, CH ? AB 于 H,交 AE 于 G.求证:BD=CG.
3.3 圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆,怎样判断直线 l 和圆 O 的位置关系?

图 3.3-1

观察图 3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为:当圆心到直线的距离 d > r 时, 直线和圆相离, 如圆 O 与直线 l1 ; 当圆心到直线的距离 d = r 时, 直线和圆相切, 如圆 O 与直线 l2 ;当圆心到直线的距离 d < r 时,直线和圆相交,如圆 O 与直线

l3 .

图 3.3-2

在直线与圆相交时,设两个交点分别为 A、B.若直线经过圆心,则 AB 为直径;若直线不经过圆心,如图 3.3-2,连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直于这条弦 AB .且在 RtVOMA 中, OA 为圆的半径

r , OM 为圆心到直线的距离 d , MA 为弦长 AB 的一半,根据勾股定理,有
r2 - d 2 = ( AB 2 ) . 2

当直线与圆相切时,如图 3.3-3 , PA, PB 为圆 O 的切线,可得 PA ? PB ,

OA ? PA. ,且在 Rt POA 中, PO2 ? PA2 ? OA2 .
图 3.3-3
60

如图 3.3-4,PT 为圆 O 的切线,PAB 为圆 O 的割线, 我们可以证得 PAT

2 PTB , 因而 PT ? PA ? PB .

例1

如图 3.3-5,已知⊙O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是 AB 的中点,

求弦 BD 的长度。 解 连结 OD,交 AB 于点 E。 图 3.3-4

1 BD ? AD, O 是圆心,? OD ? B, BE ? AE ? AB ? 3cm. 2
在 Rt BOE 中,OB=5cm,BE=3cm,?OE ? OB2 ? BE 2 ? 4cm.

OD ? 5cm,? DE ? 1cm.
在 Rt BDE 中,BE=3cm,DE=1cm,? BD ? 10cm. 例 2 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 ,且这两条线的距离为 3.求这个 圆的半径. 解 设圆的半径为 r ,分两种情况(如图 3.3-6) : 图 3.3-5

(1) 若 O 在两条平行线的外侧, 如图(1) ,AB=6,CD= 2 6 , 则由 OM - ON = 3 ,得 r 2 - 9 -

r 2 - 24 = 3 ,解得 r = 5 .

(2)若 O 在两条平行线的内侧(含线上) ,AB=6,CD= 2 6 , 则由 OM + ON = 3 ,得 r 2 - 9 + 综合得,圆的半径为 5.

r 2 - 24 = 3 ,无解.

图 3.3-6

设圆 O1 与圆 O2 半径分别为 R, r ( R ? r ) ,它们可能有哪几种位置关系?

61

图 3.3-7

观察图 3.3-7,两圆的圆心距为 O1O2 ,不难发现:当 O1O2 ? R ? r 时,两圆 相内切, 如图 (1) ; 当 O1O2 ? R ? r 时, 两圆相外切, 如图 (2) ; 当 O1O2 ? R ? r 时, 两圆相内含, 如图 (3) ; 当 R ? r ? O1O2 ? R ? r 时, 两圆相交, 如图 (4) ; 当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相外切,如图(5). 例3 度. 解 连 AB 交 O1O2 于 C , 则 O1O2 ? AB ,且 C 为 AB 的中点, 设 AC ? x ,则 O1C ? 设圆 O1 与圆 O2 的半径分别为 3 和 2, O1O2 ? 4 , A, B 为两圆的交点,试求两圆的公共弦 AB 的长

9 ? x 2 , O2C ? 4 ? x 2 , O1O2 ? 9 ? x 2 ? 4 ? x 23.3-8 ? 4 ,解得 x ? 图

3 15 . 8

故弦 AB 的长为 2 x ?

3 15 . 4

练习 1 1.如图 3.3-9, ⊙O 的半径为 17cm, 弦 AB=30cm, AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为 D、 C,求弦 AC 和 BD 的长。 图 3.3-9

62

2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形,AB//CD,AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半径等于 5cm,求梯形 ABCD 的面积。

3. 如 图

3.3-10 , ⊙ O

的 直 径

AB

和 弦

CD

相 交 于 点

E , 图 3.3-10

AE ? 1cm, EB ? 5cm, ?DEB ? 60o , 求 CD 的长。

4.若两圆的半径分别为 3 和 8,圆心距为 13,试求两圆的公切线的长度.

3.3.2 点的轨迹 在几何中,点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形,它是符合某个条件的所有点组成的.例如,把长 度为 r 的线段的一个端点固定,另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆,这个圆上的每一个点到定 点的距离都等于 r ;同时,到定点的距离等于 r 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定 长 r 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思: (1)图形 是由符合条件的那些点组成的,就是说,图形上的任何一点都满足条件; (2)图形包含了符合条件的所有 的点,就是说,符合条件的任何一点都在图形上. 下面,我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论,可以得出: ①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆. 我们学过,线段垂直平分线上的每一点,和线段两个端点的距离相等;反过来,和线段两个端点的距离相 等的点,都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹:

63

②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理,同样可以得到另一个轨迹: ③到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线.

例 3 ⊙O 过两个已知点 A 、 B ,圆心 O 的轨迹是什么?画出它的图形. 分析 如图 3.3-11,如果以点 O 为圆心的圆经过点 A 、 B ,那么 OA = OB ;反过来, 如果一个点 O 到 A 、 B 两点距离相等,即 OA = OB ,那么以 O 为圆心,OA 为半径 的圆一定经过 A 、 B 两点.这就是说,过 A 、 B 点的圆的圆心的轨迹,就是到 A 、 B 两点距离相等的点的轨迹,即和线段 AB 两个端点距离相等的点的轨迹. 答:经过 A 、 B 两点的圆的圆心 O 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线. 图 3.3-11

练习 2 1.画图说明满足下列条件的点的轨迹: ①到定点 A 的距离等于 3cm 的点的轨迹; ②到直线 l 的距离等于 2cm 的点的轨迹; ③已知直线 AB // CD ,到 AB 、 CD 的距离相等的点的轨迹.

2.画图说明,到直线 l 的距离等于定长 d 的点的轨迹.

习题 3.3 A组 1.已知弓形弦长为 4,弓形高为 1,则弓形所在圆的半径为( A. 3 B. )

5 2

C.3

D.4

2.在半径等于 4 的圆中,垂直平分半径的弦长为( A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3



3.AB 为⊙O 的直径,弦 CD ? AB ,E 为垂足,若 BE=6,AE=4,则 CD 等于( )
64

A. 2 21

B. 4 6

C. 8 2

D. 2 6

4. 如图 3.3-12 ,在⊙ O 中, E 是弦 AB 延长线上的一点,已知 OB=10cm,OE=12cm,

?OEB ? 30o , 求 AB。
图 3.3-12

B组 1.如图 3.3-13, 已知在 Rt ABC 中,?C ? 90o , AC ? 5cm, BC ? 12cm, 以 C 为圆心, CA 为半径的圆交斜边于 D,求 AD。 图 3.3-13

2.如图 3.3-14,在直径为 100mm 的半圆铁片上切去一块高为 20mm 的弓形铁片,求 弓形的弦 AB 的长。 图 3.3-14

3.如图 3.3-15, ABC 内接于⊙O,D 为 BC 的中点, AE ? BC 于 E。求证:AD 平分

?OAE 。

图 3.3-15

65

4.如图 3.3-16, ?AOB ? 90 ,C、D 是 AB 的三等分点,AB 分别交 OC、OD 于点 E、F,
o

求证:AE=BF=CD。

图 3.3-16

5.已知线段 AB = 4cm .画出到点 A 的距离等于 3cm 的点的轨迹,再画出到点 B 的距离等于 2cm 的点的轨 迹,指出到点 A 的距离等于 3cm ,且到点 B 的距离等于 2cm 的点,这样的点有几个?

参考答案 1.1.1.绝对值 1. (1) ?5 ; ?4 1.1.2.乘法公式 1. (1) a ? 2. (1)D 1.1.3.二次根式 1. (1) 3 ? 2 2.C 1.1.4.分式 1 1. 2 习题 1.1 A组 1. (1) x ? ?2 或 x ? 4 2.1 (2)-4<x<3 (3)x<-3,或 x>3 2.B 3. ( 2) 3 ? x ? 5 3 .1 4.> (3) ?8 6 (4) 5 . (2) ?4 ; ?1或 3 2.D 3.3x-18

1 3

1 b 2

(2)

1 1 , 2 4

(3) 4ab ? 2ac ? 4bc

(2)A

2 ?1

4.

99 100

3. (1) 2 ? 3 (2) ?1 ? a ? 1 (3) 6 ? 1

66

B组 1. (1) C组 1. (1)C (2)C 4.提示: 2. x1 ?

3 7

(2)

5 1 ,或- 5 2

2.4.

1 , x2 ? 2 2

3.

36 55

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

2.1 一元二次方程 练习 1. (1)C 2. (1)-3 3.k<4,且 k≠0 4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9 习题 2.1 A 组 (2)D (2)有两个不相等的实数根 (3)x2+2x-3=0

1. (1)C

(2)B

(3)C

2. (1)2

(2)

17 4

(3)6

(3) 3

3.当 m>-

1 1 ,且 m≠0 时,方程有两个不相等的实数根;当 m=- 时,方程有两个相等的实数根;当 4 4

m<- B组

1 时,方程没有实数根.4. y2+7y-1=0. 4
(2)-3 3. (1)方程一定有两个不相等的实数根. (2)k>-1.

1.C 2. (1)2006 4. (1)| x1-x2|= C组 1. (1)B (2)A 2. (1)12

b 3abc ? b3 b 2 ? 4ac x1 ? x2 , =? ; (2)x13+x23= .5. m=3. 2 2a a3 |a|

(3)C

(4)B (2)-2,-3 和-5. x1x2=

3. (1)不存在实数 k

(3)当 k=-2 时,x1+x2=1,①

1 , ② 8

? ? 3? 2 2 .

4. (1)略 (2)∵x1x2=-

m2 ≤0,∴x1≤0,x2≥0,或 x1≥0,x2≤0. 4

①m=4 时, x1 ? 1 ? 5 , x2 ? 1 ? 5 .∴m=0 时, x1=0,x2=-2. 5.实数 a 的取值范围是 a<-2.
67

2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 练 习 1.(1) (2)是方程的组解; (3) (4)不是方程组的解.

2. (1) ?

? x1 ? 15, ? y1 ? 20,

? x2 ? ?20, ? ? y2 ? ?15;

5 ? x? , ? ? x1 ? 5, ? x2 ? ?2, ? 3 (2) (3) ? ? ? ? y1 ? ?2, ? y2 ? 5; ?y ? ? 4. ? 3 ?

(4)?

? x1 ? 2, ? y1 ? 2,

? x2 ? 2, ? ? y2 ? ?2.

2.3.2 一元二次不等式解法 4 练 习 1. (1)x<-1,或 x> ; (2)-3≤x≤4; (3)x<-4,或 x>1; (4)x=4. 3 2.当 a>0 时,原不等式的解为-1-a≤x≤-1+a; 当 a=0 时,原不等式的解为 x=-1;当 a<0 时,原 不等式的解为-1+a≤x≤-1-a. 习题 2.3

? x1 ? 2, A 组 1. (1) ? ? y1 ? 0,

10 ? x2 ? , ? ? x1 ? 0, ? 3 (2) ? ? ? y1 ? 0, ?y ? 4. 2 ? 3 ?

24 ? x2 ? , ? ? ? ? x1 ? 3 ? 2, ? ? x2 ? 3 ? 2, 5 (3) ? ? ? y1 ? 3 ? 2, ? ? ? y ? ? 12 . ? ? y2 ? 3 ? 2; 2 ? 5 ?

(4) ?

? x3 ? ? 3, ? ? ? x1 ? 3, ? ? x2 ? 3, ? ? x4 ? ? 3, ? ? ? ? ? ? y1 ? 1, ? ? y2 ? ?1, ? ? y4 ? ?1. ? y3 ? 1,

2. (1)无解 (2) ? B 组

2 3 2 3 ?x? 3 3

(3)1- 2≤x≤1+ 2

(4)x≤-2,或 x≥2

1 ? 1 1 ?x ? , 1. m ? 时,方程有一个实数解.将 m ? 代入原方程组,得方程组的解为 ? 4 2 2 ? ? y ? 1.
2.当 a>1 时,原不等式的解为 1<x<a; 当 a=1 时,原不等式的无实数解;当 a<1 时,原不等式的解 为 a<x<1. C 组

m ? 0, ? 2, ? 2 1 m 2 m ?m 2 ? 2, 0 ? m ? 4, 1.- ≤x≤2.2.∵y=-x +mx+2=-(x- ) +2+ , k?? 2 2 4 4 ? m ? 4. ? ? 2m ? 2,
2

3.1 相似形 练习 1 1.D

68

10 DE AD x 5 10 ? ,? ? , x ? ,即 BF ? . 3 BC AB x?2 8 3 AB BD 5 35 ? ? ,? BD ? cm. 3. AC DC 4 9 AB BD AB BD ? ? 4.作 CF // AB 交 AD 于 F ,则 ,又 ?AFC ? ?FAE ? ?FAC 得 AC ? CF , ? . CF DC AC DC AC CE DB DF AC EG CE ? ? ,? ? CEG CAB,? ? ,即 5.作 EG // AB 交 BC 于 G , . AB EG EG EF AB AB AC
2.设 BF ? x,

练习 2 1. C 2.12,18

1 15 ? ? 3 ? 4 ? 6,? S A ' B 'C ' ? ( ) 2 ? 6 ? 54. 2 5 1 4. ( 1 )因为 EH // BD// FG, 所以 EFGH 是平行四边形; ( 2 )当 AC ? BD 时, EFGH 为菱形;当 2
3.

S

ABC

AC ? BD, AC ? BD时, EFGH 为正方形.
2 5. (1)当 CD ? AC ? BD 时, ACP o PDB ; (2) ?APB ? 120 .

习题 3.1 A组 1.B 2.B 3. S
CDF

?9
2 2

4. BF 为直角三角形 ABC 斜边上的高, BF ? AF ? FC ,又可证 AG ? BF , ? AG ? AF ? FC . B组 1.C 4. (1) 2.C 3.A

EO AE DE OF OE OE AE BE ? ? ? , EO ? OF .(2) ? ? ? ? 1. (3)由(2) BC AB DC BC AD BC AB AB 1 1 1 2 ? ? ? . 知 AD BC OE EF AD // BC ,?
C组 1.(1) AC ? AP ? AB 或 ?ACP ? ?B .(2) BC : PC ? 3 : 2 .
2

2. (1)先证 AEB

ADC ,可得

BE AE ? ; (2) CD AD

ADE

ACB,?

BC AB AD ? ? . DE AE AC

3.连 AD 交 EF 于 O ,连 OM , 边的中线, OM ?

ABC 为等腰直角三角形,且 AEDF 为矩形,? OM 为 Rt AMD 斜

1 1 AD ? EF , ? MEF 为直角三角形 . 又可证 BMF ? AME ,得 MF ? ME ,故 2 2

MEF 为等腰直角三角形.

69

4. (1)成立,

EF EF FD BF 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1,? ? ? . (2) ,证略. ? ? AB CD BD BD AB CD EF S ABD S BCD S EBD

3.2 三角形 练习 1 1.证略 练习 2 1.5 或 7 2. 20 或 80
o o

2.(1)

2S a?b?c ; (2) . a?b?c 2

3.C

2 2 ?S ? 4. 设两直角边长为 a , b , 斜边长为 2, 则 a ? b ? 1? 3 , 且a ?b ? 4, 解得 ab ? 3 ,

1 ab ? 2 3 . 2

5.可利用面积证. 习题 3.2 A组 1.B B组 1.A 2. 18
o

2. D

3. 120

o

4. 3 ? c ? 17

5.8

3.连 BM ,证 MAB ? AMN . 4 . 在 AC 上 取 点 E , 使 AE=AB , 则

ABD ?

A E, D

?B ? ?AED . 又 BD=DE=EC ,

??C ? ?EDC,??B : ?C ? 2 :1.
5.可证 ADF C组 1.C.不妨设 a ? c ,可得 a ? k 2 ? 1, c ? k 2 ? 1, a2 ? b2 ? c2 ,为直角三角形. 2.B 3 . 在 AB 上 取 E 使 BE=BC , 则

FCE ,因而 ? AFD 与 ?CFE 互余,得 ?EFA ? 90o .

B C? D

B, E 且D AE=ED=DC ,

?C ? ?BED ? 2?A ? ?A ? ?B ? 180o ? ?C,??C ? 90o.
4.先证明 ACE ? CBF ,得 CE=BF,再证 CGE ? BDF ,得 BD=CG.

3.3 圆 练习 1

70

1 . 取 AB 中 点 M , 连 CM , MD , 则 C M ? A ,B D M ?

, A B且 C , O , M , D 共 线 ,

OM ? 172 ? 152 ? 8, CM ? 25, DM ? 9, AC ? 5 34cm, BD ? 3 34cm .
2.O 到 AB,CD 的距离分别为 3cm,4cm,梯形的高为 1cm 或 7cm,梯形的面积为 7 或 49 cm . 3. 半径为 3cm,OE=2cm.,OF= 3, CD ? 2 6cm . 4.外公切线长为 12,内公切线长为 4 3 . 练习 2 1.(1)以 A 为圆心,3cm 为半径的圆; (2)与 l 平行,且与 l 距离为 2cm 的两条平行线; (3)与 AB 平行,且 与 AB,CD 距离相等的一条直线. 2.两条平行直线,图略. 习题 3.3 A组 1.B B组 1.作 CM ? AD 于 M,AB=13cm, CM ? 2.AB=120cm. 3.先证 ?BAO ? ?EAC ,再证 ?OAD ? ?DAE . 4.先证明 ?AEC ? ?ACE ? 75 , 再证 AE=BF=AC=CD.
o
2

2.A

3.B

4.AB=8cm.

60 10 , AD ? 133cm . 13 13

5.有 2 个,图略.

71


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