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第3章-3.4-基本不等式第1课时


数学[新课标· 必修5]
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析

3.4

a+b 基本不等式: ab≤ 2 基本不等式

当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源

第 1 课时

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1.知识与技能 a+b (1)会推导基本不等式: ≥ ab; 2 a+b (2)理解 ≥ ab的几何意义; 2 (3)会利用基本不等式求最值.

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2.过程与方法 (1)探索并了解基本不等式的形成和证明过程; (2)体会基本不等式的证明方法和简单应用. 3.情感、态度与价值观 (1)通过探索基本不等式的证明过程,培养探索、研究精神; (2)通过对基本不等式成立的条件的分析,养成严谨的科学 态度,勇于提出问题、分析问题的习惯.

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●重点难点 重点:基本不等式成立的条件及应用. 难点: 基本不等式成立的条件以及应用基本不等式求最大值 和最小值.

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1.了解基本不等式的证明过 程. 2.能利用基本不等式证明简 课标解读 单的不等式及比较代数式的 大小.(重点、难点) 3.能利用基本不等式求简单 函数的最值.(重点)

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【问题导思】 如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,将 其抽象成如图(2)形式.设直角三角形的长为 a、b(a≠b),那么正 方形的边长为 a2+b2.

图(1)
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图(2)
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1. 根据抽象的图形, 你能从中得到一个什么样的不等关系?
1 【提示】 ( a +b ) >4× ab 即 a2+b2>2ab 2
2 2 2

2.当中间的四边形 EFGH 缩为一点,即四个直角三角形变 为等腰直角三角形时, 可以得到什么结论?结合问题 1 你有什么 发现?

【提示】 a2+b2=2ab, 结合问题 1 可得出结论 a2+b2≥2ab.

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3.在 a>0,b>0 时,用 a, b分别代替 a、b,可以得到什 么结论?
【提示】 a+b≥2 ab.

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不等式

内容

等号成立条件

重要不等式 a2+b2≥2ab,(a,b∈R) “a=b”时取“=” 基本不等式

a+b ab≤ (a,b∈R+) 2

“a=b”时取“=”

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1 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ ≥2;(2)若 a x >0,b>0,则 lg a+lg b≥2 lg a· lg b;(3)若 a<0,b<0,则 ab 1 y x + ≥2;(4)不等式 + ≥2 成立的条件是 x>0 且 y>0.其中正 ab x y 确命题的序号是________.

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【思路探究】

(1) 基本不等式成立的条件是什么? (2) 对

a+b a<0,b<0 时,对 怎样运用基本不等式? 2

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【自主解答】 只有当 x>0 时,才能由基本不等式得到 x+ 1 ≥2 x 1 x·=2,故(1)错;当 a>0,b>0 时,lg a∈R,lg b∈R, x

不一定有 lg a>0,lg b>0,故 lg a+lg b≥2 lg a· lg b不一定成立, 1 故 (2)错;当 a<0,b<0 时,ab>0,由基本不等式可得 ab+ ab ≥2 1 y x ab· = 2,故 (3)正确;由基本不等式可知,当 >0, >0 ab x y yx ·=2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4) xy

y x 时,有 + ≥2 x y

【答案】 (3)
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1.在理解基本不等式时,要从形式到内含中理解,特别要 关注条件. 2.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即 a+ b≥2 ab成立的条件是 a>0,b>0,等号成立的条件是 a=b;a2 +b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R,等号成立的条件是 a=b.

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给出下面四个推导过程: b a ①∵a>0,b>0,∴ + ≥2 a b ba ·=2; ab

②∵x>0,y>0,∴lg x+lg y≥2 lg x· lg y; 4 ③∵a∈R,a≠0,∴ +a≥2 a 4 · a=4; a

?? x? ? y?? x y ? ? ? ?? - - ④ ∵ x , y ∈ R , xy<0 , ∴ + = - ? + ?? y? ? x?? ≤ - y x ? ? ?? ??



? x?? y? ? ?? ? - - ? y?? x?=-2. ? ?? ?
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其中正确的推导为( A.①② C.③④

) B.②③ D.①④

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b a 【解析】 ①由于 a,b 均为正实数,∴ , 均为正实数, a b 符合基本不等式的条件,故①推导正确;②虽然 x,y 均为正实 数,但当 x∈(0,1)或 y∈(0,1)时,lg x 或 lg y 是负数,∴②的推导 4 过程错误;③由于 a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴ a +a≥2 4 x y · a=4 错误;④由 xy<0,得 , 均为负数,但在推导 a y x

? x? ? y? x y ? ? ? - - 过程中将整体 + 提出负号后,? , ? y? ? x?均变为正数,符合基 y x ? ? ? ?

本不等式的条件,故④正确,故选 D.

【答案】 D
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9 (1)已知 x>0,求 f(x)=x+ 的最小值; x (2)已知 lg a+lg b=2,求 a+b 的最小值; 1 (3)已知 m,n>0,且 m+n=16,求 mn 的最大值. 2

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9 【思路探究】 (1)x 与 都为正数吗?它们的积为定值吗? x 9 怎样求 x+ 的最小值? x (2)由 lg a+lg b=2 能得到 a,b 为定值吗?a,b 是正数吗? (3)和为定值,能求积的最大值吗?

【自主解答】 (1)∵x>0,∴由基本不等式可得 9 f(x)=x+ ≥2 x 取到最小值 6; 9 9 x·=6,当且仅当 x= ,即 x=3 时,f(x) x x

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(2)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2, 即 ab=100, 且 a>0, b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ab=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20. (3)∵m,n>0 且 m+n=16, 所以由基本不等式可得
?m+n? ? ? ? ?2 ?16?2 mn≤? =? 2 ? =64, ? ? ? ? 2 ?

当且仅当 m=n=8 时,mn 取到最大值 64. 1 ∴ mn 的最大值为 32. 2

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当 a>0,b>0 时, p2 1.若 a+b=p(和为定值),则当 a=b 时, 积 ab 有最大值 , 4 a+b 可以用基本不等式 ab≤ 求得. 2 2.若 ab=S(积为定值),则当 a=b 时,和 a+b 有最小值 2 S,可以用基本不等式 a+b≥2 ab求得. 不论哪种情况都要注意等号取得的条件.

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12 已知函数 f(x)=3x+ (x≠0) x (1)当 x>0 时,求函数最值; (2)当 x<0 时,求函数最值.
【解】 (1)∵x>0,由基本不等式得 12 f(x)= +3x≥2 x 12 · 3x=2 36=12. x

12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时,f(x)取得最小值为 12. x

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(2)∵x<0,∴-x>0. 12 则-f(x)= +(-3x)≥2 -x 12 · ?-3x?=12, ?-x?

12 即 f(x)≤-12,当且仅当 =-3x,即 x=-2 时, -x f(x)取得最大值为-12.

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a 2 b 2 c2 已知 a、b、c>0,求证: + + ≥a+b+c. b c a
【思路探究】 a 2 b 2 c2 判断 a,b,c, , , 均大于 0―→ b c a

a2 b2 c2 证 +b≥2a―→证 +c≥2b―→证 +a≥2c b c a ―→得所证不等式

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a 2 b 2 c2 【自主解答】 ∵a,b,c, , , 均大于 0, b c a a2 ∴ +b≥2 b a2 · b=2a, b

a2 当且仅当 =b 时等号成立. b b2 +c≥2 c b2 · c=2b, c

b2 当且仅当 =c 时等号成立. c

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c2 +a≥2 a

c2 · a=2c, a

c2 当且仅当 =a 时等号成立. a a2 b2 c2 相加得 +b+ +c+ +a≥2a+2b+2c. b c a a 2 b 2 c2 ∴ + + ≥a+b+c. b c a

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1.此题多次使用 a+b≥2 ab时,要注意等号能否成立,最 后利用不等式性质累加的应用,此时也要注意等号成立的条件. 2.在解决不能直接利用基本不等式的证明问题,要重新组 合,构造运用基本不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为 1,要注意“1”的代换.

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已知:a>0,b>0,c>0 且 a+b+c=1.
?1 ??1 ??1 ? ? ?? ?? 求证:?a-1??b-1?? c-1? ?≥8. ? ?? ?? ?

【证明】 ∵a+b+c=1,a>0,b>0,c>0, a+b+c b+c 2 bc 1 ∴ -1= -1= ≥ >0, a a a a a+b+c a+c 2 ac 1 -1= -1= ≥ >0, b b b b a+b+c a+b 2 ab 1 -1= -1= ≥ >0, c c c c
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将以上三式相乘得
?1 ??1 ??1 ? 8 ? ?? ?? ? - 1 - 1 - 1 ?a ??b ?? c ?≥ ? ?? ?? ?

ab· bc· ac =8, abc

?1 ??1 ??1 ? ? ?? ?? 即?a-1??b-1?? c-1? ?≥8. ? ?? ?? ?

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忽视基本不等式成立的条件致误 1 求函数 y=x+ 的值域. x

1 【错解】 ∵x+ ≥2 x

1 x·=2, x

∴函数值域为[2,+∞).

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【错因分析】 上述解答中应用了基本不等式,却忽略了应 用基本不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误.

1 【防范措施】 由于 y=x+ 的定义域为(-∞,0)∪(0,+ x ∞),故要对 x 的符号加以讨论,否则不能用基本不等式.

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1 【正解】 当 x>0 时,x+ ≥2 x

1 x·=2, x

1 当且仅当 x= 即 x=1 时,“=”成立,∴y≥2. x
? 1 ? 1 ? 当 x<0 时,x+ =-?-x+ ? ?≤ x - x ? ?

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-2

1 -x· =-2, -x

1 当且仅当-x= ,即 x=-1 时,“=”成立. -x ∴y≤-2. 故原函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) .

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1 .应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件,只有当 a+b a>0, b>0 时, 才会有 ab≤ .对于“当且仅当??时, ‘=’ 2 a+b 成立?”这句话要从两个方面理解: 一方面, 当 a=b 时, = 2 a+b ab;另一方面:当 = ab时,也有 a=b. 2 2 .应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、 “凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形,构造出符合基本不 等式的条件结构.

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1.若 x2+y2=4,则 xy 的最大值是( 1 A. 2 C.2 B.1 D.4

)

x2+y2 【解析】 xy≤ =2,当且仅当 x=y 时取“=”. 2

【答案】 C
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2.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( A.a-b<0 a+b C. ab< 2 a B.0< <1 b D.ab>a+b

)

a+b 【解析】 ∵a>b>0,由基本不等式知 ab< 一定成立. 2

【答案】 C

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3.已知 ab=1,a>0,b>0,则 a+b 的最小值为( A.1 C.4 B.2 D.8

)

【解析】 ∵a>0,b>0,∴a+b≥2 ab=2,当且仅当 a=b =1 时取等号,故 a+b 的最小值为 2.

【答案】 B

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a+ b 4.已知 a,b 是不相等的正数,x= ,y= a+b,试 2 比较 x,y 的大小.

【解】 ∵a,b 是不相等的正数, a+b+2 ab a+b+a+b ∴x = < =a+b=y2, 2 2
2

又 x>0,y>0,∴x<y.

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课后知能检测

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记 F(x,y)=x+y-a(x+2 2xy),x,y∈R+.若对任意的 x,y ∈R+,恒有 F(x,y)≥0,请求出 a 的取值范围.
【思路探究】 分离参数 a, 变成 a≤f(x)的形式, 然后求 f(x) 的最小值即可.

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【自主解答】 由 F(x,y)≥0,得 x+y≥a(x+2 2xy). 因为 x>0,y>0, x+y 所以 a≤ 恒成立. x+2 2xy x+y 所以 a 的最大值为 的最小值. x+2 2xy

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因为 2 2xy≤x+2y, x+y x+y 1 所以 ≥ = , x+2 2xy x+?x+2y? 2 1 当且仅当 x=2y>0 时,等号成立,即 a 的最大值为 ,所以 2
? 1? ? a∈?-∞,2? ?. ? ?

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1 1 m 设 a>b>c,且 + ≥ 恒成立,求实数 m 的取值范 a-b b-c a-c 围.
【解】 由 a>b>c 知 a-b>0,a-c>0.因此,原不等式等价 a-c a-c a-c a-c 于 + ≥m.要使原不等式恒成立, 只需 + 的最小 a-b b-c a-b b-c 值不小于 m 即可.

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a-c a-c ?a-b?+?b-c? ?a-b?+?b-c? 因为 + = + =2+ a-b b-c a-b b-c b-c a-b + ≥2+ 2 a-b b-c b-c a-b b-c a-b × =4.当且仅当 = ,即 a-b b-c a-b b-c

2b=a+c 时,等号成立.所以 m≤4,即 m∈(-∞,4].

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