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1.1.3四种命题间的相互关系


下列四个命题中,我们已经知道命题(1)与命 题(2)(3)(4)之间的关系。你能说出其中任意两 个命题之间的相互关系吗? 1. 2. 3. 4. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

四种命题的形式

/>? ? ? ? 原命题:若p则q; 逆命题:若q则p; 否命题:若┐p则┐q; 逆否命题:若┐q则┐p.

例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否 命题、逆否命题,并判断各命题的真假。

原命题:若a=0,则ab=0是真命题; 逆命题:若ab=0,则a=0是假命题; 否命题:若a ? 0,则ab ? 0”是假命题; 逆否命题:若ab

? 0,则a ?0”是真命题;

原命题为真,它的否命题不一定为真; 原命题为真,它的逆否命题一定为真.

知识探究

原命题:若|x|=x,则x≥0,那么其 逆命题、否命题和逆否命题分别是什么? 这些命题的真假如何? 原命题:若|x|=x,则x≥0; (真)
逆命题:若x≥0,则|x|=x; (真) 否命题:若|x|≠x,则x<0; (真) 逆否命题:若x<0,则|x|≠x.(真)

知识探究

原命题:若x2-3x+2=0,则x=2, 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是 什么?这些命题的真假如何? (假) 原命题:若x2-3x+2=0,则x=2;
逆命题:若x=2,则x2-3x+2=0; (真) (真) 否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2; (假) 逆否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0.

知识探究

已知原命题:若x>0,y<0,则x+y>0, 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是 什么?这些命题的真假如何?

原命题:若x>0,y<0,则x+y>0(假) ;

逆命题:若x+y>0,则x>0,y<0(假) ;

否命题:若x≤0,y≥0,则x+y≤0; (假)

逆否命题:若x+y≤0,则x≤0,y≥0. (假)

例 设原命题是“当c >0 时,若a >b ,则ac >bc ”,写 出它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的 真假:

解: 逆命题:当c >0 时,若ac >bc ,则a >b. 逆命题为真. 否命题:当c >0 时,若a ≤b ,则ac ≤ bc . 否命题为真.

逆否命题:当c >0 时,若ac ≤ bc ,则a ≤b . 逆否命题为真.

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论
是 都是 大于 小于

反设词
不是 不都是

原结论
至少有一个 至多有一个

反设词
一个也没有 至少有两个

至少有n个 至多有(n-1)个 不大于 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立

对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 不成立

练习:分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程

x ? 2x ? q ? 0 有实根。
2

(2)若ab=0,则a=0或b=0.

作业:课本8页 第2题


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