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总结相似三角形的判定及有关性质


选修 4 相似三角形的判定及有关性质 1.1 平行线等分线段定理 1. 比例线段的有关概念: a c 在比例式 ? (a:b ? c:d ) 中,a、d叫外项,b、c叫内项,a、c叫前项, b d b、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,使 AC2=AB?BC,叫做把线段 AB 黄金分割,

C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质:
①基本性质: a c ? ? ad ? bc b d

②合比性质:

a c a±b c±d ? ? ? b d b d

③等比性质:

a c m a?c?…?m a ? ? … ? (b ? d ? … ? n≠0) ? ? b d n b?d ?…?n b

3. 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 ,那么在其他直线上截得的线段 也相等.

推论 1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 变式思考: 1.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段的比相 等(或成比例),那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原 三角形三边对应成比例. 1.2 平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l1∥l2∥ l3。

AB DE AB DE BC EF ? , ? , ? ,… BC EF AC DF AC DF ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对 应线段成比例。 ③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 1.3 相似三角形的判定及性质 则

1. 相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对 应边的比值叫做相似比(或相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否 分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如 下几个判定两个三角形 2. 相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 3. 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相 似。

判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两 边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比 例且夹角相等,两三角形相似。 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角 形相似。 引理: 如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线) 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 5. 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直 角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 6. 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、 周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的 平方。 1.4 直角三角形的射影定理 射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角 边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

相似三角形的判定及有关性质综合测试
一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) 1.在△ABC 中,D、F 是 AB 上的点,E、H 是 AC 上的点,直线 DE//FH//BC,且 DE、 FH 将△ABC 分成面积相等的三部分,若线段 FH= 5 6 ,则 BC 的长为( ) A.15 B.10 C.

15 6 2


D.

2 15 3

2.在△ABC 中,DE//BC,DE 交 AB 于 D,交 AC 于 E,且 S△ADE:S 四边形 DBCE=1:2,则 梯形的高与三角形的边 BC 上的高的比为( A.1: 2 C.1: ( 3 ? 1) 为( ) A. B.1: ( 2 ? 1) D. ( 3 ? 1) : 3

3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边 AB 上的高,AC=5,BC=8,则 S△ACD:S△CBD

5 8

B.

25 64

C.

25 39

D.

25 89

4.如图 1—5—1,D、E、F 是△ABC 的三边中点,设△DEF 的面积为 4,△ABC 的周长 为 9,则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )

9 ,16 2 9 C. ,8 2
A.

B. 9,4 D.

9 ,16 4

5.如图 1—5—2,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,下列条件:

(1)∠B+∠DAC=90°; (2)∠B=∠DAC; (3)

CD AC ? ; AD AB
) D.0 个

(4)AB2=BD?BC。 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( A.3 个 B.2 个 C.1 个

6.如图 1—5—3,在正三角形 ABC 中,D,E 分别在 AC,AB 上,且 则有( )

AD 1 ? ,AE=BE, AC 3

A. △AED∽△BED B.△AED∽△CBD C. △AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD

7.如图 1—5—4,PQ//RS//AC,RS=6,PQ=9, QC ? A. 5

1 SC ,则 AB 等于( ) 3
D. 5

1 4

B. 6

3 4

C. 7

1 2

8.如图 1—5—5,平行四边形 ABCD 中,O1、O2、O3 是 BD 的四等分点,连接 AO1,并 延长交 BC 于 E,连接 EO2,并延长交 AD 于 F,则

AD 等于( FD



A. 3 :1 A.等腰三角形 B. 任意三角形 C.直角三角形

B.3:1

C.3:2

D. 7:3

9.如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形,那么这个三角形必是( )

D.直角三角形或等腰三角形 10.在△ABC 和△A'B'C'中,AB: AC=A'B':A'C',∠B=∠B',则这两个三角形( A.相似,但不全等 B.全等 )

C.一定相似

D.无法判断是否相似

11.如图 1—6—1,正方形 ABCD 中,E 是 AB 上的任一点,作 EF⊥BD 于 F,则 ( ) A.

EF 为 BE

2 2

B.

1 2

C.

6 3

D. 2

图 1—6—1 12.如图 1—6—2,把△ABC 沿边 AB 平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(图中阴 影部分) 的面积是△ABC 的面积的一半, 若 AB ? A. 2 ? 1 B. 则此三角形移动的距离 AA'是 ( 2, 1 D. 2 )

2 2

C.1

图 1—6—2 13.如图 1—6—3,在四边形 ABCD 中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC= 2 3 ,AD=2, 则四边形 ABCD 的面积是( )

图 1—6—3 A. 4 2 B. 4 3 C.4 D.6 14.如图 1—6—4,平行四边形 ABCD 中,G 是 BC 延长线上一点,AG 与 BD 交于点 E, 与 DC 交于点 F,则图中相似三角形共有( ) A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对

图 1—6—4 15.在直角三角形中,斜边上的高为 6cm,且把斜边分成 3:2 两段,则斜边上的中线的 长为( A. )

5 6 cm 2

B. 4 6 cm D.

C. 5 6 cm

5 3 cm 2 AB 5 CE ? ,则 =( AC 4 EA 25 D. 16


16.AD 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的高,作 DE⊥AC 于 E, A.

16 25

B.

4 5

C.

5 4

17. 如图 1—6—5, △ABC 中, AB=AC, ∠A=36°, BD 平分∠ABC, 已知 AB=m, BC=n, 求 CD 的长。甲同学求得 CD=m-n,乙同学求得 CD ? A.甲、乙都正确 B.甲正确、乙不正确 C.甲不正确、乙正确 D.甲、乙都不正确

n2 ,下列判断正确的是( m



18.如图 1—6—6,在直角梯形 ABCD 中,AB=7,AD=2,BC=3。如果边 AB 上的点 P 使得以 P、 A、 D 为顶点的三角形和以 P、 B、 C 为顶点的三角形相似, 那么这样的点 P 有 ( A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个 )

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 19.直角三角形的三边成等差数列,则最小角的正弦值是__________________。 20 .如图 1 — 5 — 6 ,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB=90 °, CD ⊥ AB , AC=6 , AD=3.6 ,则 BC=_______________。

21. 等腰三角形底边上的高为 8, 周长为 32, 则此三角形的面积是____________________。 22.在△ABC 中,BD,CE 分别为 AC、AB 边上的中线,M、N 分别是 BD,CE 的中点, 则 MN:BC=_______________________。 23 .在△ ABC 中, DE//BC , D 、 E 分别在 AB 、 AC 边上,若 AD=1 , DB=2 ,那么

DE ? BC =_______________________。 DE
24.平行于△ABC 的边 AB 的直线交 CA 于 E,交 CB 于 F,若直线 EF 把△ABC 分成面 积相等的两部分,则 CE:CA=__________________。 25.Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,该图中共有 x 个三角形与△ABC 相似,则 x=________________________。 26 . 在 △ ABC 中 , 点 D 在 线 段 BC 上 , ∠ BAC= ∠ ADC , AC=8 , BC=16 , 则 CD=_______________________。 三、计算题(本大题共 86 分) 27. 如图 1—5—7, △ABC 为直角三角形, ∠ABC=90°, 以 AB 为边向外作正方形 ABDE, 连接 EC 交 AB 于 P 点,过 P 作 PQ//BC 交 AC 于点 Q。证明 PQ=PB。

28.如图 1—5—8,已知 DE//AB,EF//BC。求证:△DEF∽△ABC。

29.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥AB 于 D,S2△BCD=S△ABC?S△ADC。 求证:BD=AC。 30. 如图 1—5—9, 在平行四边形 ABCD 中, E 为 AB 的中点, 在 AD 上取一点 F, 使

AF 1 ? , FD 2

连接 FE 交 CB 的延长线于 H,交 AC 于 G,求证 AG ?

1 AC 。 5

34.如图 1—5—10,已知 AD 是△ABC 的中线,过△ABC 的顶点 C 任作一直线分别交 AB、AD 于点 F 和点 E,证明:AE?FB=2AF?ED。

32.如图 1—5—11,在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c。点 P 是 AB 上一个动点(P 与 A、B 不重合) 。连接 PC,过 P 作 PQ//AC 交 BC 于 Q 点。

? 2x ? 1 ? x?4 ? ? 3 2 2 (1)如果 a、b 满足关系式 a +b -12a-16b+100=0,c 是不等式组 ? 的 ?2 x ? 3 ? 6 x ? 1 ? 2 ?
最大整数解,试说明△ABC 的形状。 (2)在(1)的条件下,设 AP=x,S△PCQ=y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并注明自变 量 x 的取值范围。 33. 如图 1—6—7,在△ABC 中,BD 是 AC 边上的中线,BE=AB,且 AE 与 BD 交于 F 点, 求证:

AB EF ? 。 BC AF

34.如图 1—6—8,∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,找出图中两个相似的三角形,并给 出证明。

35.如图 1—6—9,AD、BE 是△ABC 的高,DF⊥AB 于 F,DF 交 BE 于 G,FD 的延长 线交 AC 的延长线于 H,求证 DF2=FG?FH。

36.如图 1—6—10,AP 是△ABC 的高,点 D、G 分别在 AB、AC 上,点 E、F 在 BC 上, 四边形 DEFG 是矩形,AP=h,BC=a, (1)设 DG=x,S 矩形 DEFG=y,试用 a、h、x 表示 y; ( 2) 按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形,使它们的面积和等于△ ABC 的面积?


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