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二模理科数学参考答案


2015 年淮北市高三第二次模拟考试
数学参考答案(理科) 一、选择题 题号 1 答案 C 二、填空题 11.
0.16

2 D

3 B

4 A

5 B

6 B

7 D

8 C

9 A<

br />
10 C

12. 8 ? 2 5
12 5

13.

49

14.

15. (1)(2)(4) 三、解答题
16. (本小题满分 12 分) 解:(I) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 令? 解得: ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

2 sin(2 x ? ) , x ? R 4 ? 2k? , ( k ? Z )

?

?

3? ? k? ] 8 8 ? ? 5? ? ?? (II)由 x ? ?0, ? 知: ? 2 x ? ? 4 4 4 ? 2?

8

? k? ? x ?

3? ? k? 8

f ( x) 的单调增区间为: [?

?

? k? ,

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 4 ? 故: ?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 因此:函数 f ( x) 的值域: [?1, 2]
从而有: ? 17. (本小题满分 12 分) .(1)法一:P= c5 ( ) ? c5 ( ) ?
3 5 4 5

1 2

法二:P=1-

1 5 1 5 c5 ( ) ? ; 2 2 1 2 1 5 1 1 5 0 1 5 ( C5 ( ) ? C5 ( ) ? C5 ( ) ) ? 。 2 2 2 2

1 2

(2)随机变量 X 的可能取值为:1 、2、3、4、5; P(X=1)=

1 1 1 1 1 ; P(X=2)= ; P(X=3)= ; P(X=4)= ; P(X=5)= ; 2 4 8 16 16
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则随机变量 X 的分布列为: X P 1 2 3 4 5

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16

1 1 1 1 1 31 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . 2 4 8 16 16 16
18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)以 A 原点, AD 为 x 轴, AB 为 y 轴, AP 为 z 轴建立如图的空间直角坐标系,则: A(0, 0, 0) ,

B(0, 2, 0) , M (1, 0,1) , N (0,1,1) , C (2,1, 0) , P(0, 0, 2)

MN ? (?1,1,0) , NC ? (2,0, ?1) , AB ? (0, 2,0)
NC ? AB ? 0 ,且 AB ? 面 PAD
所以,直线 NC // 平面 PAD

(Ⅱ)设 n ? ( x, y, z) 是面 MNC 的一个法向量,则 ?

?n ? MN ? 0 ?

? ( x, y, z) ? (?1,1,0) ? 0 ?? ?( x, y, z) ? (2,0, ?1) ? 0 ? ? n ? NC ? 0

? x? y ?0 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1, 2) ?? ?2 x ? z ? 0

cos n, AP ?

(1,1, 2) ? (0, 0, 2) 6 ? (1,1, 2) ? (0, 0, 2) 3
6 3

故平面 MNC 与底面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值 (Ⅲ) MD ?

2 , DC ? 1 , MC ? 3 , MN ? 2 , NC ? 5 , MN ? MC

MP ? n (?1, 0,1) ? (1,1, 2) 1 1 6 ? ? ,设 P 到面 MNC 的距离为 d ,则 d ? S?MNC ? ? 2 ? 3 ? 2 2 6 6 n

三棱锥 P ? MNC 的体积 V ?

1 6 1 1 ? ? ? 3 2 6 6

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ( x ? 2)2 , Sn ? f ? Sn?1 ? 知: Sn ? ( Sn?1 ? 2)2 又 an ? 0, a1 ? 2 , Sn ? 0 ,所以 Sn ? Sn?1 ? 2 即:

? S ? 是以
n

2 为首项, 2 为公差的等差数列

? Sn ? 2n , Sn ? 2n2
数学 第 2 页 (共 4 页 理科)

进而可得: an ? 4n ? 2 (Ⅱ) bn ?

2 1 1 an?12 ? an 2 (4n ? 2)2 ? (4n ? 2)2 8n2 ? 2 ? 1? 2 ? 1? ? ? ? 2 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2an?1an 2(4n ? 2)(4n ? 2) 2(4n ?1)
n

Tn ? ? (1 ?
i ?1

1 1 ? ) ? n ?1 2i ? 1 2i ? 1

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 设 P( x0 , y0 ) , 其中 c ? a2 ? b2 , 则P F1 (?c,0), F2 (c,0) , F 1 ?? (x 0? c? y ,
2 2 2 从而 PF 1 PF 2 ? x0 ? y0 ? c 0

) , PF2 ? (c ? x0 , ? y0 )

2 2 由于 b2 ? x0 ? y0 ? a2 ,所以 b2 ? c2 ? PF1 PF2 ? a2 ? c2 ,又 PF1 PF2 的取值范围是 ? ?

? 4 4? , ? 3 3? ?

4 ? 2 2 ?b ? c ? ? 3 ? ? a2 ? 4 4 ? 2 2 ? 所以 ? a ? c ? ?? 2 4 3 ? 2 ?b ? 2 2 3 ? a ? b ? c ? ? ?
x2 y 2 ? ?1 4 4 3
(Ⅱ)因为 ?

? CP CQ ? ? F1 F2 ? 0 ,而 CP ? CQ 与 ?PCQ 的平分线的方向向量平行,所以 ?PCQ 的 ? ? CP CQ ? CP CQ ? ?

平分线垂直于 x 轴 由?

? x2 ? 3 y 2 ? 4 ? 0 ? y?x

解得: ?

?x ?1 ? C( 1 , 1 ) ?y ?1

不 妨 设 PC 的 斜 率 为 k , 则 QC 的 斜 率 为 ? k , 因 此 PC 和 QC 的 方 程 分 别 为 y ? k ( x ? 1) ? 1 ,

? x2 ? 3 y 2 ? 4 ? 0 2 2 2 y ? ?k ( x ? 1) ? 1,由 ? 消去 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6k (k ?1) x ? 3k ? 6k ?1 ? 0 (?) ? y ? k ( x ? 1) ? 1
因为 C (1,1) 在椭圆上,所以 x ? 1 是 (?) 的一个根 从而 xP ?

3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 x ? ,同理 Q 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
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进而 kPQ ?

yP ? yQ xP ? xQ

?

k ( xP ? xQ ) ? 2k xP ? xQ

?

k

2(3k 2 ? 1) ? 2k 1 1 ? 3k 2 ? ?12k 3 1 ? 3k 2

易求: k AB ?

1 ,故: kAB ? kPQ 3

因此,向量 PQ 与 AB 共线 21(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? 1 ? ln x , ( x ? 0)

1 1 1 ,且当 x ? (0, ) 时 f '( x) ? 0 , x ? ( , ??) 时 f '( x) ? 0 e e e 1 1 因此: f ( x ) 的极小值为 f ( ) ? ? e e
令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? (Ⅱ) g ( x) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 令 h( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? mx ,则 h '( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? m 注意到: h(0) ? 0 ,若要 h( x) ? 0 ,必须要求 h '(0) ? 0 ,即 1 ? m ? 0 ,亦即 m ? 1 另一方面:当 m ? 1 时, h '( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? m ? 0 恒成立; 故实数 m 的取值范围为: m ? 1 (III)构造函数 F ( x) ? a ln a ? x ln x ? (a ? x) ln

a?x ,x?a 2

F '( x) ? 1 ? ln x ? ln

a?x 2x ? 1 ? ln 2 a?x

x ? a ,? 0 ? a ? x ? 2 x , F '( x) ? 0 , F ( x) 在 (a, ??) 上是单调递增的;
a?b )?0 2 a?x ? ( x ? a) ln 2 另一方面,构造函数 G ( x) ? a ln a ? x ln x ? (a ? x) ln 2 2x x G '( x) ? ln ? ln 2 ? ln ?0 a?x a?x
故 F (b) ? F (a) ? 0 ,即: f (a ) ? f (b) ? 2 f (

G ( x) 在 (a, ??) 上是单调递减的
故 G(b) ? G(a) ? 0 即: f (a ) ? f (b) ? 2 f ( 综上, 0 ? f (a ) ? f (b) ? 2 f (

a?b ) ? (b ? a) ln 2 2

a?b ) ? (b ? a) ln 2 2

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