第二章 平面向量
数学· 必修 4(人教 A 版)
2． 3
平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.3
平面向量共线的坐标表示
基 础 提 升 1．若 a＝(2,3)，b＝(4，－1＋y)，且 a∥b，则 y＝( A．6 B．5 C．7 D．8 )
答案：C
→ 2． 已知点 M 是线段 AB 上的一点， 点 P 是平面上任意一点， PM 3→ 2 → → ＝λMB → ，则 λ 等于( ＝ PA ＋ PB，若AM 5 5 3 A. 5 B. 2 5 3 C. 2 ) 2 D. 3
→ ，PB → 表示向量AM → ，MB →. 解析：用PA → ＝AP → ＋PM → ＝AP → ＋3PA → ＋2PB → ＝－2PA → ＋2PB → ，MB → ＝MP →＋ ∵AM 5 5 5 5
第二章 平面向量
→ ＝－PM → ＋PB → ＝－3PA → ＋2PB → ＋PB → ＝－3PA → ＋3PB → ，∴AM → ＝2AB →. PB 5 5 5 5 3 答案：D
3． 已知?ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7)， B(3， x)， C(2,3)， D(4， x)，则 x＝__________.
答案：5
→ 同向 4．(2013· 辽宁卷)已知两点 A(1,3)、B(4，－1)，则与向量AB 的单位向量是(
?3 4? A.?5，－5? ? ? ? ? ? 3 4? C.?－5，5?
)
?4 3? B.?5，－5? ? ? ? ? 4 3? D.?－5，5? ?
→ 1 AB → 解析：AB＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e＝ ＝ (3， → |AB| 5
?3 4? －4)＝?5，－5?. ? ?
答案：A
5．已知 A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，－4)，判断 → 与CD → 是否共线． AB
→ ＝(4,4)，CD → ＝(－8，－8)， 解析：∵AB → ＝－1CD →. ∴AB 2
第二章 平面向量
→ 与CD → 共线． ∴AB
巩 固 提 高 → 与CD → 6．已知 A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5) ，D(2,7) ，向量AB 平行吗？直线 AB 平行于直线 CD 吗？
→ ＝(2，4)，CD → ＝(1，2)，AB → ＝2CD →， 解析：AB → 与CD → 平行，即直线 AB 平行于直线 CD. 所以向量AB
7．已知点 A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)． → 与CD → 共线． (1)求实数 x 的值，使向量AB
→ ＝(x，1)，CD → ＝(4，x)， 解析：AB → 与CD → 共线， ∵向量AB ∴x2－4＝0，解得 x＝± 2.
→ 与CD → 共线时，点 A，B，C，D 是否在一条直线上？ (2)当向量AB
解析：x＝2 时，不在同一条直线上； x＝－2 时，在同一条直线 x＋2y＋2＝0 上．
第二章 平面向量
8． △ABC 的顶点 A、 B、 C 分别对应向量 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)， c＝(x3，y3)其重心为 G，对应的向量为 g＝(x0，y0). 求证：x0＝ x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 ，y0＝ . 3 3
证明：设 AD 为 BC 边的中线，O 为坐标原点． → ＝OA → ＋AG → ＝OA → ＋2AD → 则OG 3 → ＋1? → → ? ＝OA 3?AB＋AC? → ＋1? → → → → ? ＝OA 3?OB－OA＋OC－OA? 1 → → →? ＝ ? . 3?OA＋OB＋OC? ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，G(x0，y0) ∴x0＝ x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 ，y0＝ . 3 3
9．已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b；
(2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值．
分析：(1)只需证明 a· b＝0 即可；
(2)由已知条件得到 cos α＋cos β，sin α＋sin β 的值，然后再利用 诱导公式得到 α，β 间的关系即可求得 α，β 的值．
第二章 平面向量
(1)证明：由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a· b＋b2＝2. 又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以 2－2a· b＝2，即 a· b＝0，故 a⊥b.
(2)解析：因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
? ? cos α＋cos β＝0， 所以? ? ? sin α＋sin β＝1，
由此得，cos α＝cos(π－β)，由 0＜β＜π，得 0＜π－β＜π. 又 0＜α＜π，故 α＝π－β.代入 sin α＋sin β＝1，得 sin α＝ 5π π 1 sin β＝ ，而 α＞β，所以 α＝ ，β＝ . 2 6 6