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2016届山西省晋城市高考数学三模试卷(文科)(解析版)

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山西省晋城市 2016 年高考数学三模试卷(文科)(解析版)
一、选择题 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x>2},则集合 A∩B=( A.{2,3,4} 2.若复数 z= A. B.2 B.{3,4} C.{1,2,3} D.{2,4} ) )

+ (i 为虚数单位),则|z|=( C. D. )

3.下列说

法正确的是(

A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的必要不充分条件 B.若 p:? x0∈R,x ﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1<0

C.命题“若 x2﹣1=0,则 x=1 或 x=﹣1”的否命题是“若 x2﹣1≠0,则 x≠1 或 x≠﹣1” D.命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题 4.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点 F 与虚轴的两个端点构成的三角形 ) y=0 D. x±y=0

为等边三角形,则双曲线 C 的渐近线方程为( A. x±y=0 B.x± y=0 C.x±

5.已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+4)=f(x),当 x∈[4,5]时,f(x)=x+1, 则 f(103)=( A.2 B.3 ) C.4 D.6 )

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果为(

A.3

B.4

C.5

D.6 第 1 页 共 26 页

7.已知各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5a9=3,a6a10=9,则 a7a8=( A. B.2 C.4 D.3



8.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ 将函数 y=f(x)的图象向左平移 A.﹣ B.﹣ C.

)相邻两对称中心之间的距离为 对称,则 φ=( )



个单位所得图象关于直线 x= D.

9.底面半径为 A.6π

,母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( D.16π



B.12π C.8π

10.已知实数 x,y 满足不等式组

,则 z=

的取值范围是(



A.[﹣4,

]

B.[﹣4,1] C.[ ,

]

D.[ ,1] )

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.2

C.

D.3

12.已知 f(x)=

,若 a<b<c,f(a)=f(b)=f(c),则实数 a+3b+c

的取值范围是( A.(﹣∞,

) ﹣ln2] B.(﹣∞, ﹣ln2] C.(﹣∞, ﹣e ] D. (﹣∞, ﹣e ]

二、填空题

第 2 页 共 26 页

13.某中学为调查在校学生的视力情况,拟采用分层抽样的方法,从该校三个年级中抽取一 个容量为 30 的样本进行调查,已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:5:6, 则应从高一年级学生中抽取 名学生. =﹣2,| |=2,则实

14.已知平面向量 , , 满足 = +m (m 为实数), ⊥ , 数 m= .

15.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+a2n=n,a2n+1=an+1,则 S49=



16.已知抛物线 y2=2px 的焦点为 F(1,0),A,B,C 是抛物线上不同的三点(其中 B 在 x 轴的下方),且 2|FB|=|FA|+|FC|, 为 . + + = ,则点 B 到直线 AC 的距离

三、解答题 17.(12 分)(2016 晋城三模)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c﹣2acosB=b. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积为 ,且 c2+abcosC+a2=4,求 a.

18.(12 分)(2016 晋城三模)为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况, 从该班级随机调查了 n 名学生, 数学成绩的概率分布直方图以及成绩在 100 分以上的茎叶图 如图所示.

(1)通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表的); (2)从数学成绩在 100 分以上的学生中任选 2 人进行学习经验交流,求有且只有一人成绩 是 105 分的概率. 19. (12 分) (2016 晋城三模)如图所示,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面四边形 ABCD 是直角梯形,BC∥AD,BC⊥CD,AD=CD=2BC=4,△PAD 是等边三角形,平面 PAD⊥平 面 ABCD,E,F 分别是 PD,PC 的中点,M 为 CD 上一点. 第 3 页 共 26 页

(1)求证:平面 BEF⊥平面 PAD; (2)求三棱锥 M﹣EFB 的体积.

20.(12 分)(2016 晋城三模)已知椭圆 C: 焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+ .

=1(a>b>0)的离心率为

,过

(Ⅱ)若直线 l1 经过椭圆 C 的上顶点 P 且与圆 x2+y2=4 交于 A,B 两点,过点 P 作 l1 的垂 线 l2 交椭圆 C 于另一点 D,当△ABD 的面积取得最大值时,求直线 l1 的方程.

21.(12 分)(2016 晋城三模)已知 f(x)= + (1)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)判断函数 F(x)在(0,+∞)上零点的个数.

﹣3,F(x)=lnx+

﹣3x+2.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.(10 分)(2016 晋城三模)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,交⊙O 于 E,连接 CO 并延长,交 AE 于 G,交 AB 于 F. (Ⅰ)证明: = ;

(Ⅱ)若 AB=3,AC=2,BD=1,求 AD 的长.

第 4 页 共 26 页

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.(2016 晋城三模)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y=6,圆 C 的参数方程是 (φ 为参数).以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)分别求直线 l 与圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 OM:θ=α(0<α< 线 ON:θ=α+ )与圆 C 的交点为 O、P 两点,与直线 l 的交于点 M.射 的最大值.

与圆 C 交于 O,Q 两点,与直线 l 交于点 N,求

[选修 4-5:不等式选讲] 24.(2016 晋城三模)设函数 f(x)=|2x+a|+|x﹣ |. (Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)<x+3; (Ⅱ)当 a>0 时,证明:f(x)≥ .

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2016 年山西省晋城市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x>2},则集合 A∩B=( A.{2,3,4} B.{3,4} C.{1,2,3} D.{2,4} )

【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集,即可作出判断. 【解答】解:∵A={1,2,3,4},B={x|x>2}, ∴A∩B={3,4}, 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.若复数 z= A. B.2

+ (i 为虚数单位),则|z|=( C. D.



【考点】复数求模. 【分析】化简 z,得到 z= ﹣ i,从而求出 z 的模. 【解答】解:z= 则|z|= 故选:A. 【点评】本题考查了复数的化简求值,考查复数求模问题,是一道基础题. = + = , + = ﹣2i= ﹣ i,

3.下列说法正确的是(



A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的必要不充分条件 B.若 p:? x0∈R,x ﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1<0

C.命题“若 x2﹣1=0,则 x=1 或 x=﹣1”的否命题是“若 x2﹣1≠0,则 x≠1 或 x≠﹣1”

第 6 页 共 26 页

D.命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】举例说明 A 错误;直接写出特称命题的否定说明 B 错误;写出原命题的否命题说 明 C 错误;由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明 D 正确. 【解答】解:对于 A、由 f(0)=0,不一定有 f(x)是奇函数,如 f(x)=x2;反之,函数 f(x)是奇函数,也不一定有 f(0)=0,如 f(x)= . ∴“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的既不充分也不必要的条件.故 A 错误; 对于 B、若 p:? x0∈R,x ﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1≤0.故 B 错误;

对于 C、 命题“若 x2﹣1=0, 则 x=1 或 x=﹣1”的否命题是“若 x2﹣1≠0, 则 x≠1 且 x≠﹣1”. 故 C 错误; 对于 D、如命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题,不妨设 p 为真命题,q 为假命题,则¬ p∧q 为假命题,¬q∧p 为真命题,则(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题; 反之,若(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题,则¬p∧q 或¬q∧p 至少有一个真命题.若¬p ∧q 真¬q∧p 假,则 p 假 q 真;若¬p∧q 假¬q∧p 真,则 p 真 q 假;不可能 ¬p∧q 与¬q∧p 都为真. 故命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是 (¬p∧q) ∨(¬q∧p)为真命题. 故选:D. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查充分必要条件的判断方法,考查特称命题的 否定,训练了复合命题的真假判断方法,是中档题.

4.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点 F 与虚轴的两个端点构成的三角形 ) y=0 D. x±y=0

为等边三角形,则双曲线 C 的渐近线方程为( A. x±y=0 B.x± y=0 C.x±

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据的等边三角形的性质,建立方程关系得到 a,b 的关系即可求出双曲线的渐近 线方程. 【解答】解:∵右焦点 F 与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形,

第 7 页 共 26 页

∴tan∠OFB1=tan30°= 即



,则 b2= c2= (a2+b2),

即 a2=2b2, 则 a= b, =± x,

即双曲线的渐近线方程为 y= 则 x± y=0,

故选:C.

【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解,根据正三角形的边长关系建立 a,b 的关系是 解决本题的关键.

5.已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+4)=f(x),当 x∈[4,5]时,f(x)=x+1, 则 f(103)=( A.2 B.3 ) C.4 D.6

【考点】抽象函数及其应用. 【分析】本题函数解析式只知道一部分,而要求的函数值的自变量不在此区间上,由题设条 件知本题中所给的函数是一个周期性函数, 故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要 求的函数值转化到区间[2,4)上求解. 【解答】解:∵定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+4)=f(x), ∴f(x)为周期为 4 的周期函数, ∴f(103)=f(26×4﹣1)=f(﹣1)=f(1)=f(1+4)=f(5), ∵当 x∈[4,5]时,f(x)=x+1, ∴f(5)=5+1=6, 第 8 页 共 26 页

故选:D. 【点评】本题考点是函数的值,本题考查利用函数的性质通过转化来求函数的值,是函数性 质综合运用的一道好题. 对于本题中恒等式的意义要好好挖掘, 做题时要尽可能的从这样的 等式中挖掘出信息.

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果为(



A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 T,S,n 的值,当 T= ,S=10 时满足 条件 S﹣T>2,退出循环,输出 n 的值为 5,从而得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 n=1,S=0,T=40 执行循环体,T=20,S=1,n=2 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T=10,S=3,n=3 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T=10,S=3,n=3 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T=5,S=6,n=4 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T= ,S=10,n=5 满足条件 S﹣T>2,退出循环,输出 n 的值为 5. 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,根据流程图(或伪代码)写程序的运 行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.

第 9 页 共 26 页

7.已知各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5a9=3,a6a10=9,则 a7a8=( A. B.2 C.4 D.3



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由已知结合等比数列的性质求得 a7,a8 的值,则 a7a8 可求. 【解答】解:在各项均为正数的等比数列{an}中, 由 a5a9=3,a6a10=9,得 ∴ 则 a7a8= 故选:D. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础题. . , ,

8.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ 将函数 y=f(x)的图象向左平移 A.﹣ B.﹣ C.

)相邻两对称中心之间的距离为 对称,则 φ=( )



个单位所得图象关于直线 x= D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】依题意知 T,利用周期公式可求 ω,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角 函数的图象和性质可得到 φ=kπ﹣ (k∈Z),结合范围|φ|≤ ,于是可求得 φ 的值.

【解答】解:∵函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ 为 , ,又 ω>0, =π,

)相邻两对称中心之间的距离

∴ T= ∴T= ∴ω=2;

又∵g(x)=f(x+ 称, ∴2× +

)=2sin[2(x+

)+φ]=2sin(2x+

+φ)的图象关于直线 x=



+φ=kπ+

(k∈Z),

第 10 页 共 26 页

∴φ=kπ﹣ ∴φ=﹣ 故选:B. .

(k∈Z),又|φ|≤



【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定与函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变 换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.

9.底面半径为 A.6π

,母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( D.16π



B.12π C.8π

【考点】球的体积和表面积. 【分析】由题意,圆锥轴截面的顶角为 120°,设该圆锥的底面圆心为 O′,球 O 的半径为 R, 则 O′O=R﹣1,由勾股定理建立方程,求出 R,即可求出外接球 O 的表面积. 【解答】解:由题意,圆锥轴截面的顶角为 120°,设该圆锥的底面圆心为 O′,球 O 的半径 为 R,则 O′O=R﹣1, 由勾股定理可得 R2=(R﹣1)2+( ∴球 O 的表面积为 4πR2=16π. 故选:D. 【点评】本题考查外接球 O 的表面积,考查学生的计算能力,正确求出球 O 的半径是关键. )2,∴R=2,

10.已知实数 x,y 满足不等式组

,则 z=

的取值范围是(



A.[﹣4,

]

B.[﹣4,1] C.[ ,

]

D.[ ,1]

【考点】简单线性规划. 【分析】根据分式的几何意义,作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的公式进行求解即 可. 【解答】解:z= 设 k= , = =1+ ,

则 k 的几何意义是区域内的点到定点 D(﹣1,3)的斜率,

第 11 页 共 26 页

作出不等式组对应的平面区域如图,由图象知, AD 的斜率最大,此时 AD 的斜率为 0,即 k=0, BD 的斜率最小,此时 B(0,﹣2),此时 k= 则﹣5≤k≤0, 则﹣4≤z≤1, 故选:B. =﹣5,

【点评】 本题主要考查线性规划的应用, 根据分式的性质转化为直线斜率的关系是解决本题 的关键.

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.2

C.

D.3

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥,并画出直观图和对应的正方体,由三视图求出 几何元素的长度,由正方体的性质、锥体的体积公式求出几何体的体积.

第 12 页 共 26 页

【解答】解:根据三视图可知几何体是一个四棱锥 P﹣ABCD,是棱长为 2 的正方体一部分, 直观图如图所示: ∵平面 PAC 是正方体的对角面,∴中点 B 到平面 PAC 的距离是 由正方体的性质可得,几何体的体积 V=VP﹣ACD+VP﹣ABC =VA﹣PCD+VBP﹣PAC = 故选:B. =2, ,

【点评】本题考查三视图求几何体的体积,以及换底法求三棱锥的条件,由三视图和正方体 正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.

12.已知 f(x)=

,若 a<b<c,f(a)=f(b)=f(c),则实数 a+3b+c

的取值范围是( A.(﹣∞,

) ﹣ln2] B.(﹣∞, ﹣ln2] C.(﹣∞, ﹣e ] D. (﹣∞, ﹣e ]

【考点】分段函数的应用. 【分析】设 f(a)=f(b)=f(c)=t,作出函数的图象,结合图象判断 0<t<1,分别用 t b, c, 表示 a, 然后构造函数, 求函数的导数, 利用导数研究函数的极值和最值即可求 a+3b+c 的取值范围. 【解答】解:先作出函数 f(x)的图象如图: ∵a<b<c.f(a)=f(b)=f(c), 设 f(a)=f(b)=f(c)=t, 则 0<t<1, 则由 f(a)=ea=t,得 a=lnt,

第 13 页 共 26 页

由 f(b)=1﹣b=t,得 b=1﹣t, 由 f(c)= =t,得 c=t2+1,

则 a+3b+c=lnt+3(1﹣t)+t2+1=t2﹣3t+lnt+4 设 g(t)=t2﹣3t+lnt+4,0<t<1, 函数的导数 g′(t)=2t﹣3+ = = ,

由 g′(t)=0 得 t= , 当 0<t< 时,g′(t)>0,此时函数递增, 当 <t<1 时,g′(t)<0,此时函数递减, 即当 t= 时,函数 g(t)取得极大值同时也是最大值 g( )= ﹣ +ln +4= ∴g(t)≤ ﹣ln2, ﹣ln2], ﹣ln2,

即 a+3b+c 的取值范围是(﹣∞, 故选:A.

【点评】本题考查分段函数的应用,设 f(a)=f(b)=f(c)=t,利用 t 表示 a,b,c,构造 函数,求函数的导数,利用导数研究函数的最值是解决本题的关键.综合性较强,有一定的 难度.

二、填空题 13.某中学为调查在校学生的视力情况,拟采用分层抽样的方法,从该校三个年级中抽取一 个容量为 30 的样本进行调查,已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:5:6, 则应从高一年级学生中抽取 【考点】分层抽样方法. 第 14 页 共 26 页 8 名学生.

【分析】根据学生的人数比,利用分层抽样的定义即可得到结论. 【解答】解:∵高一、高二、高三的学生人数之比为 4:5:6, ∴从该校的高中三个年级的学生中抽取容量为 30 的样本, 则应从高一年级抽取的学生人数为 故答案为:8. 【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键,比较基 础. =8,

14.已知平面向量 , , 满足 = +m (m 为实数), ⊥ , 数 m= ﹣2 .

=﹣2,| |=2,则实

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】可在 的两边同乘以向量 便可得出 ,带入上式即可求出 m 的值. 【解答】解:在 ; ∵ ∴ ; ,且 ; 两边同乘以 得: ,而根据条件可得到

∴4=0﹣2m; ∴m=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式,以及向量垂直的充要条件.

15.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+a2n=n,a2n+1=an+1,则 S49= 325 . 【考点】数列递推式. 【分析】an+a2n=n,a2n+1=an+1,可得 a2n+a2n+1=n+1,于是 S49=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+ (a48+a49)即可得出. 【解答】解:∵an+a2n=n,a2n+1=an+1,∴a2n+a2n+1=n+1, 则 S49=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a48+a49) 第 15 页 共 26 页

=1+(1+1)+(2+1)+…+(24+1) =1+2+…+25= 故答案为:325. 【点评】本题考查了递推关系、分组求和、等差数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. =325.

16.已知抛物线 y2=2px 的焦点为 F(1,0),A,B,C 是抛物线上不同的三点(其中 B 在 x 轴的下方) , 且 2|FB|=|FA|+|FC|, 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由 + + = 可知 F 为△ABC 的重心,根据抛物线的性质和重心坐标公式求出 + + = , 则点 B 到直线 AC 的距离为 .

A,B,C 的坐标,得出 AC 方程,从而求出 B 到 AC 的距离. 【解答】解:抛物线方程为 y2=4x.准线方程为 x=﹣1. ∵ + + = ,∴F 为△ABC 的重心.

∴xA+xB+xC=3,yA+yB+yC=0. ∴|FA|+|FB|+|FC|=xA+1+xB+1+xC+1=6. ∵2|FB|=|FA|+|FC|,∴|FB|=2,|FA|+|FC|=2. ∵B 在 x 轴的下方,∴B(1,﹣2).∴xA+xC=2,yA+yC=2. ∵ ,xc= ,



,解得 yA=1+

,yC=1﹣



∴xA=1+

,xc=1﹣



∴直线 AC 的方程为:y=2x﹣1.即 2x﹣y﹣1=0. ∴B 到直线 AC 的距离 d= 故答案为: 【点评】本题考查了抛物线的性质,三角形重心的性质,点到直线的距离,属于中档题. = .

第 16 页 共 26 页

三、解答题 17.(12 分)(2016 晋城三模)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c﹣2acosB=b. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积为 【考点】正弦定理. 【分析】(1)直接利用正弦定理,三句话内角和定理,两角和的正弦函数公式化简已知条 件,结合 sinB≠0,然后求角 A 的余弦函数值,即可求解; (2)利用△ABC 的面积求出 bc,利用余弦定理以及 c2+abcosC+a2=4,求出 b2+c2=8﹣3a2, 然后通过余弦定理求 a. 【解答】解:(1)在△ABC 中,∵2c﹣2acosB=b, ∴由正弦定理可得:2sinC﹣2sinAcosB=sinB,即:2sin(A+B)﹣2sinAcosB=sinB, ∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB,可得:2cosAsinB=sinB, ∵B 为三角形内角,sinB≠0, ∴cosA= , 又∵A∈(0,π), ∴A= . ,且△ABC 的面积为 = bcsinA= bc, ,且 c2+abcosC+a2=4,求 a.

(2)∵A=

∴解得:bc=1, ∵c2+abcosC+a2=4,cosC= ,

∴c2+ab×

+a2=4,整理可得:b2+c2=8﹣3a2,

∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1,整理可得:a=



【点评】 本题考查正弦定理, 余弦定理的应用, 三角形的面积公式的应用, 考查了转化思想, 分析问题解决问题的能力,属于中档题.

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18.(12 分)(2016 晋城三模)为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况, 从该班级随机调查了 n 名学生, 数学成绩的概率分布直方图以及成绩在 100 分以上的茎叶图 如图所示.

(1)通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表的); (2)从数学成绩在 100 分以上的学生中任选 2 人进行学习经验交流,求有且只有一人成绩 是 105 分的概率. 【考点】频率分布直方图;茎叶图. 【分析】(1)由样本平均数的来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩, (2)由茎叶图可知,100 分以上的共有 6 人,列举法易得. 【解答】解:(1)数学的平均成绩为 55×0.04+65×0.08+75×0.12+85×0.28+95×0.24+105 ×0.2+115×0.04=88.6 分; (2)由茎叶图可知,100 分以上的共有 6 人,从数学成绩在 100 分以上的学生中任选 2 人, 共有(103,103),(103,105),(103,105),(103,107),(103,112),(103, 105),(103,105),(103,107),(103,112),(105,105),(105,107),(105, 112),(105,107),(105,112),(107,112)共有 15 种, 其中有且只有一人成绩是 105 分的有(103,105),(103,105),(103,105),(103, 105),(105,107),(105,112),(105,107),(105,112)共有 8 种, 故有且只有一人成绩是 105 分的概率 【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、概率等知识,以及数据处理能力、运算求解能 力和应用意识.

19. (12 分) (2016 晋城三模)如图所示,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面四边形 ABCD 是直角梯形,BC∥AD,BC⊥CD,AD=CD=2BC=4,△PAD 是等边三角形,平面 PAD⊥平 面 ABCD,E,F 分别是 PD,PC 的中点,M 为 CD 上一点. 第 18 页 共 26 页

(1)求证:平面 BEF⊥平面 PAD; (2)求三棱锥 M﹣EFB 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 【分析】(1)由面面垂直的性质可得 CD⊥平面 PAD,而 CD∥EF,故 EF⊥平面 PAD,于 是平面 BEF⊥平面 PAD; (2)取 AD 中点 N,连结 PN,BN,过 N 作 NQ⊥PD.则可证 BN∥平面 PCD,NQ⊥平面 PCD,于是 VM﹣EFB=VB﹣EFM=VN﹣EFM= .

【解答】(1)证明:∵BC∥AD,BC⊥CD,∴CD⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD? 平面 ABCD, ∴CD⊥平面 PAD. ∵E,F 分别是 PD,PC 的中点, ∴EF∥CD, ∴EF⊥平面 PAD,又 EF? 平面 BEF, ∴平面 BEF⊥平面 PAD. (2)解:取 AD 中点 N,连结 PN,BN,过 N 作 NQ⊥PD. ∵△PAD 是边长为 4 的正三角形, ∴ND= ∴NQ= ∵BC ,PN=2 = . ,PN⊥AD

ND,BC⊥CD,

∴四边形 BCDN 是矩形, ∴NB∥CD,即 NB∥平面 PCD. ∴VM﹣EFB=VB﹣EFM=VN﹣EFM. 由(1)知 CD⊥平面 PAD,NQ? 平面 PAD, ∴NQ⊥CD,又 PD? 平面 PCD,CD? 平面 PCD,PD∩CD=D, ∴NQ⊥平面 PCD.

第 19 页 共 26 页

∵EF 是△PCD 的中位线, ∴S△ EFM= = = =2. = .

∴VM﹣EFB=VN﹣EFM=

【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定,棱锥的体积计算,属于中档题.

20.(12 分)(2016 晋城三模)已知椭圆 C: 焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+ .

=1(a>b>0)的离心率为

,过

(Ⅱ)若直线 l1 经过椭圆 C 的上顶点 P 且与圆 x2+y2=4 交于 A,B 两点,过点 P 作 l1 的垂 线 l2 交椭圆 C 于另一点 D,当△ABD 的面积取得最大值时,求直线 l1 的方程.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(I)由题意可得: , = ,又 a2=b2+c2,联立解出即可得出.

(II)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意可知直线 l1 的斜率垂直,当 k=0 时, 直线 l1 的方程为 y=1, |AB|=2 D , 直线 l2 的方程为 x=0, (0, ﹣1) . 可得 S△ ABD. 当 第 20 页 共 26 页

k≠0 时,设直线 l1 的方程为 y=kx+1.可得圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离 d,于是 |AB|=2 .由 l1⊥l2,可得直线 l2 的方程为:x+ky﹣k=0.与椭圆方程联立解得 x0, |x0|.S△ ABD= , ,即可得出. ,又 a2=b2+c2,

可得|PD|=

【解答】解:(I)由题意可得: 联立解得 b=c=1,a= ∴椭圆 C 的方程为 . +y2=1.

=

(II)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意可知直线 l1 的斜率垂直,当 k=0 时,直线 l1 的方程为 y=1,|AB|=2 直线 l2 的方程为 x=0,D(0,﹣1). ∴S△ ABD= =2 . ,

当 k≠0 时,设直线 l1 的方程为 y=kx+1. ∴圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离 d= .

∴|AB|=2

=2



∵l1⊥l2,可得直线 l2 的方程为:x+ky﹣k=0. 联立 ,化为:(2+k2)x2﹣4kx=0.

解得 x0= ∴|PD|=



=



S△ ABD=

=



设 t=

,可得:k2=



则 S△ ABD=

=



=

,当且仅当 t=

,即 k=

时取等号.

第 21 页 共 26 页



, x+1.

∴直线 l1 的方程为:y=

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交弦长问题、一元二次方 程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、基本不等式 的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21.(12 分)(2016 晋城三模)已知 f(x)= + (1)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)判断函数 F(x)在(0,+∞)上零点的个数.

﹣3,F(x)=lnx+

﹣3x+2.

【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】(1)求出 f(x)的导数,通过解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)根据函数的单调性判断出函数 F(x)的大致图象,从而判断出函数的零点的个数. 【解答】解:(1)f′(x)=﹣ + = ,

令 f′(x)>0,解得:x>1,令 f′(x)<0,解得:0<x<1, ∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增; (2)F′(x)=f(x)= + ﹣3,

由(1)得:? x1,x2,满足 0<x1<1<x2, 使得 f(x)在(0,x1)大于 0,在(x1,x2)小于 0,在(x2,+∞)大于 0, 即 F(x)在(0,x1)递增,在(x1,x2)递减,在(x2,+∞)递增, 而 F(1)=0,x→0 时,F(x)→﹣∞,x→+∞时,F(x)→+∞, 画出函数 F(x)的草图,如图示:

第 22 页 共 26 页



故 F(x)的零点有 3 个. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.(10 分)(2016 晋城三模)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,交⊙O 于 E,连接 CO 并延长,交 AE 于 G,交 AB 于 F. (Ⅰ)证明: = ;

(Ⅱ)若 AB=3,AC=2,BD=1,求 AD 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】(Ⅰ)过 D 作 DM∥AB,交 AC 于 M,连接 BE,证明 证明: = ; , ,即可

(Ⅱ)求出 DC,证明△ADC∽△ABE,可得比例线段,即可求 AD 的长. 【解答】(Ⅰ)证明:过 D 作 DM∥AB,交 AC 于 M,连接 BE, ∴ = ,∠BAD=∠ADM,

∵∠BAD=∠CAD, ∴∠CAD=∠ADM, ∴AM=MD, 第 23 页 共 26 页

∴ ∴ 同理 ∴ =

, ,



; ,

(Ⅱ)解:∵ADDE=BDCD, ∴DC= , ∵△ADC∽△ABE, ∴ ,

∴ADAE=ABAC, ∴AD(AD+DE)=ABAC, ∴AD2=ABAC﹣ADDE=ABAC﹣BDDC=3× ∴AD= . = ,

【点评】 本题考查比例线段, 考查三角形相似的判定与性质, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.(2016 晋城三模)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y=6,圆 C 的参数方程是 (φ 为参数).以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)分别求直线 l 与圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 OM:θ=α(0<α< 线 ON:θ=α+ )与圆 C 的交点为 O、P 两点,与直线 l 的交于点 M.射 的最大值.

与圆 C 交于 O,Q 两点,与直线 l 交于点 N,求

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 第 24 页 共 26 页

【分析】(I)直线 l 的方程是 y=6,利用 y=ρsinθ 可得极坐标方程.圆 C 的参数方程是 (φ 为参数),利用 cos2φ+sin2φ=1 可得普通方程,进而化为极坐标方程. (II)由题意可得:点 P,M 的极坐标方程为:(2sinα,α), .可得

=

.同理可得:

=

,即可得出.

【解答】解:(I)直线 l 的方程是 y=6,可得极坐标方程:ρsinθ=6. 圆 C 的参数方程是 (φ 为参数),可得普通方程:x2+(y﹣1)2=1,

展开为 x2+y2﹣2y=0.化为极坐标方程:ρ2﹣2ρsinθ=0,即 ρ=2sinθ. (II)由题意可得:点 P,M 的极坐标方程为:(2sinα,α), ∴|OP|=2sinα,|OM|= ,可得 = . .

同理可得:

=

=





=

.当

时,取等号.

【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单 调性与值域、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.(2016 晋城三模)设函数 f(x)=|2x+a|+|x﹣ |. (Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)<x+3; (Ⅱ)当 a>0 时,证明:f(x)≥ 【考点】绝对值三角不等式. .

【分析】(I)当 a=1 时,不等式 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|=

.由 f(x)

<x+3,可得:

,或

,或

,解出即可得出.

第 25 页 共 26 页

(II)当 a>0 时,f(x)=|2x+a|+|x﹣ |=

.利用单调性即可证

明.

【解答】解:(I)当 a=1 时,不等式 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|=



由 f(x)<x+3,可得:

,或

,或



解得:

,或

,或 .



∴不等式 f(x)<x+3 的解集为:

证明:(II)当 a>0 时,f(x)=|2x+a|+|x﹣ |=



当 x> 时,f(x)> +a. 当 x<﹣ 时,f(x)> + . 当 时, + ≤f(x)≤ +a. = ,当且仅当 a= 时取等号.

∴f(x)min= + ≥

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性,考查了分类讨论方法、推理能力 与计算能力,属于中档题.

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