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函数与导数小题,含答案


函数与导数小题综合
?2 x ( x ? 0) 1.已知 f ( x) ? ? ,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是( ?| log 2 x | ( x ? 0)
A.3 个 【答案】C 【解析】 B.4 个 C.5 个 D.6 个 )

试题分析: 当 x ? 0 时 f ( x) ? 2 x ? 0 ? f ? f (

x) ? ? f (2 x ) ? log 2 2 x ? x ? 2 ? x ? ?2 。当 x ? 0 时

f ( x) ? log 2 x ? 0 ? f ? f ( x) ? ? f ( log 2 x ) ? log 2 ? log 2 x ? ? 2
即 log 2 log 2 x ? 2或 log 2 log 2 x =-2 , 当 log 2 log 2 x ? 2 时 log 2 x ? 4 ? log 2 x =4或 log 2 x =-4 ? x ? 2 或x ? 2
4

?

?

?

?

?

?

?4

1 1 ? 1 1 1 4 当 log 2 ? log 2 x ? ? ?2 时 log 2 x ? ? log 2 x = 或 log 2 x =- ? x ? 2 或x ? 2 4 4 4 4

方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是 5 考点:分段函数,方程的根 2.已知 f ( x) ? ?

?2 x

( x ? 0) ,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是( ?| log 2 x | ( x ? 0)
C.5 个 D.6 个



A.3 个 B.4 个 【答案】 C 【解析】

试题分析: 当 x ? 0 时 f ( x) ? 2 x ? 0 ? f ? f ( x) ? ? f (2 x ) ? log 2 2 x ? x ? 2 ? x ? ?2 。当 x ? 0 时

f ( x) ? log 2 x ? 0 ? f ? f ( x) ? ? f ( log 2 x ) ? log 2 ? log 2 x ? ? 2
即 log 2 log 2 x ? 2或 log 2 log 2 x =-2 , 当 log 2 log 2 x ? 2 时 log 2 x ? 4 ? log 2 x =4或 log 2 x =-4 ? x ? 2 或x ? 2
4

?

?

?

?

?

?

?4

1 1 ? 1 1 1 4 当 log 2 ? log 2 x ? ? ?2 时 log 2 x ? ? log 2 x = 或 log 2 x =- ? x ? 2 或x ? 2 4 4 4 4

方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是 5 考点:分段函数,方程的根 3.已知 a ? R ,若函数 f ( x) ? 的零点个数为( ) A. 1或 2 B. 2 【答案】A 【解析】 试题分析:当 x ? 2a 时

1 2 x ? | x ? 2a | 有三个或者四个零点,则函数 g ( x) ? ax 2 ? 4 x ? 1 2
C. 1或 0 D. 0 或 1或 2

1 2 1 1 1 x ? x ? 2a ? 0 ,由 ? ? 0 得 1 ? 4 ? ? (?2a) ? 0, a ? ? .当 x ? 2a 时 x 2 ? x ? 2a ? 0 , 2 2 4 2
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1 1 1 2 .所以当 ? ? a ? 时函数 f ( x ) 有三个零点或四个零点.对 g ( x) ? ax ? 4 x ? 1 , 4 4 4 1 1 由 ? ? 0 得 16 ? 4a ? 0, a ? 4(a ? 0) . 当 a ? 0 时 , g ( x)? 4 x 有一个零点;由于 ? ?a? ?4 ,所以 ? 1 4 4
由 ? ? 0 得 1 ? 4 ? ? (2a) ? 0, a ?

1 2

g ( x)? a 2x ? 4 x ? 有一个零点或两个零点,选 1 A.
考点:函数的零点. 4.设 f ( x) ? ?

?k 2 x ? a 2 ? k ? x ? (a ? 4a ) x ? (3 ? a )
2 2 2

( x ? 0) ,其中 a ? R .若对任意的非零实数 x1 ,存在唯一的非零实数 ( x ? 0)

x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则 k 的取值范围为
A.R 【答案】D 【解析】 试题分析:设 g ( x) ? k x ? a ? k , h( x) ? x ? (a ? 4a) x ? (3 ? a) ,由条件知二次函数的对称轴不能在 y 轴的左
2 2 2 2 2
2 侧即 a 2 ? 4a ? 0 ,且两个函数的图象在 y 轴上交于同一点,即 g (0) ? h(0) , a ? k ? ? 3 ? a ? , 2

B. [?4,0]

C. [9,33]

D. [?33, ?9]

所以, k ? 6a ? 9 在 [?4,0] 上有解,从而 k ? [?33, ?9] ,故答案为 D. 考点:二次函数的图象和性质. 5.若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件:①点 A、B 都在 f ( x ) 的图象上;②点 A、B 关于原点对称,则对称点对

?cos x ( x ? 0) (点对 ( A,B ) 与 ( B,A) 可看作一个―兄弟点对‖) . 已知函数 f ( x) ? ? , 则 ( A、B) 是函数的一个―兄弟点对‖ ?lg x( x ? 0)
f ( x) 的―兄弟点对‖的个数为
A.2 【答案】D 【解析】 B .3 C.4 D.5

试题分析: P?x, y ??x ? 0?,则点 P 关于原点的对称点为 ?? x,? y ? ,因此 cos x ? ? lg ?? x ? ,判断方程根的个数,就是

y ? cos x 与 y ? ? lg ?? x? 图象交点的个数,由图象可知,函数 f ?x ? 的―兄弟点对‖为 5 个,故答案为 D

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考点:函数图象交点的个数. 6.已知函数 f ( x) ? ?

? kx ? 1, x ? 0, 下列是关于函数 y ? f ? f ( x)? ? 1 的零点个数的 4 个判断: ?log 2 x, x ? 0.

(1)当 k ? 0 时,有 3 个零点; (2)当 k ? 0 时,有 2 个零点; (3)当 k ? 0 时,有 4 个零点; (4)当 k ? 0 时,有 1 个零点. 则正确的判断是 A. (1) (4) B. (2) (3) 【答案】D 【解析】

C. (1) (2)

D. (3) (4)

试题分析:由 y ? f f ?x ? ? 1 ? 0 ,即 f f ?x ? ? ?1 ,设 f ?x ? ? t ,则方程 f f ?x ? ? ?1 等价为 f ?t ? ? ?1 当 k ? 0 时,作出函数 f ?x ? 的图象如图,? f ?t ? ? ?1 ,? 此时方程 f ?t ? ? ?1 有两个根其中 t2 ? 0 , 0 ? t1 ? 1 由 f ?x ? ? t2 ? 0 ,此时 x 有两解,由 f ?x ? ? t1 ? ?0,1? ,知 x 有两解,此时共有 4 个解,即函数 y ? f f ?x ? ? 1 有 4 个 零点. ②若 k ? 0 ,由图象,? f ?t ? ? ?1 ,? 此时方程 f ?t ? ? ?1 有一个跟 t1 ,其中 0 ? t1 ? 1 , 由 f ?x ? ? t1 ? ?0,1? 知此时 x 只有 1 个解,即函数 y ? f ?x ? ? 1 有 1 个零点,故答案为 D.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

考点:函数零点的个数. 7. 已知 f ? x ? ? ? A. ? ??, ?2 ? 【答案】A 【解析】 试题分析:二次函数 y ? x
2
2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 , 不等式 f ? x ? a ? ? f ? 2a ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ( 2 ? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ?



B. ? ??, 0 ?

C. ? 0, 2 ?

D. ? ?2, 0 ?

? 4x ? 3 的对称轴为 x ? 2 ,则该函数在(??,0)上单调递减,则 x 2 ? 4 x ? 3 ? 3 ,
2

同样函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 在(0,??)上单调递减,? - x ? 2 x ? 3 ? 3

? f(x )在 R 上单调递减;由 f ? x ? a ? ? f ? 2a ? x ? 得到 x ? a ? 2a ? x ,即 2x ? a ;则 2x ? a 在[a,a ? 1]上
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(a ? 1) ? 恒成立;则 2

a,? a ? ?2 ,实数 a 的取值范围是(??,?2),故选 A;
2

考点:1.分段函数的单调性;2.恒成立问题; 8.已知 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是方程 4 x ? 4kx ? 1 ? 0, ( k ? R ) 的两个不等实根,函数 f ( x) ?

2x ? k 的定义域为 ? x1 , x2 ? , x2 ? 1


g (k ) ? f ( x) max ? f ( x) min ,若对任意 k ? R ,恒有 g (k ) ? a 1 ? k 2 成立,则实数 a 的取值范围是(
A. ? , ?? ? ?5 ? 【答案】 【解析】

?8

?

B. ? ??, ? 5

? ?

8? ?

C. ? , ?? ? .

?3 ?5

? ?

D. ? , ? ?5 5?

?3 8?

试题分析: x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是方程 4 x 2 ? 4kx ? 1 ? 0, ( k ? R ) 的两个不等实根,结合图象可知,当 x ? [x1 ,x 2 ]时, 所以 4x 2 ? 4kx ? 1 ? 0 ,

1 3 3 [4x 2 ? 4kx ? 1 ? ] ? 恒成立, (x ) ? 0 , 故f ? 在[x1 ,x 2 ]恒成立, 故函数 f (x ) 2 2 2

在定义域内饰增函数,所以 g(k ) ?

f(x )max ? f(x )min ? f(x 2 ) ? f(x1 )
2

2x 2 ? k

x2 ? 1
2

?

2x1 ? k

x12 ? 1

.①,又因为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是方程 4 x ? 4kx ? 1 ? 0, ( k ? R ) 的两个不等实根,则

x1 ? x 2 ? k ,x 1x 2 ? ?

1 , 代入①化简得:g(k ) ? 4

k 2 ? 1(16k 2 ? 40) 2 , 由对任意的 k ? R ,g (k ) ? a 1 ? k 2 16k ? 25

3 8 16k 2 ? 40 15 ?8 ? ? , 成立, 得: , 结合 k 2 ? 0 , 得a ? 1 ? 故实数 a 的取值范围是 ? , ?? ? ; a ? ? 1? 2 2 5 5 16k ? 25 16k ? 25 ?5 ?
考点:1.函数的单调性;2.求函数最大值;3.分离参数解决恒成立问题; 9.已知函数 f ( x) ?

1 3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1), x 2 ? x ? 3 2

?1, ?? ? ,点 P(m,n)表示的平面区域为 D,若函数 y ? log a ( x ? 4), (a ? 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a
的取值范围是( A. ?1, 3? 【答案】B 【解析】 ) B. ?1,3? C. ? 3, ?? ? D. ?3, ?? ?

(x ) ? x 试题分析: f ?

2

? mx ?

m ?n
2

,由于两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1),

x 2 ? ?1, ?? ? ,则

f ?(0) ?

m ?n
2

? 0,f ? (1) ? 1 ? m ?
?

m ?n
2

? m ?n ? 0 ? 0 ,则 ? ,点 P(m,n)表示的平面区域为 D, ?3m ? n ? 2 ? 0

画出二元一次不等式组 ?

? x ?y ? 0 ?x ? ?1 m ?n ? 0 ? ? 表示的平面区域,由于 ? , ?3m ? n ? 2 ? 0 ?3x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 1
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y ? log a ( x ? 4), (a ? 1) 过点(?1,1)时,1= loga 3 ? a ? 3 ,由于函数 y ? log a ( x ? 4), (a ? 1) 的图像上存在区域 D
内的点,所以 1 ? a ? 3 ,选 B; 考点:1.利用导数研究函数极值;2.一元二次方程的根的分布;3.线性规划;4.对数函数的图象; 10. 已知函数 f (x) =?

? x ? 2, x ? a
2 ? x ? 5 x ? 2, x ? a

, 函数 g (x) =f (x) 一 2x 恰有三个不同的零点, 则实数 a 的取值范围是 ( ) D.[一 1,2)

A.[一 1,1) B.[0, 2] 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意 g ( x) ? ?

C.[一 2,2)

? x ? 2 ? 2 x, x ? a ? x ? 5 x ? 2 ? 2 x, x ? a
2

即 g ( x) ? ?

?? x ? 2, x ? a
2 ? x ? 3x ? 2, x ? a

,因为函数 g(x) 恰有三个不同的

零点,x ? a,? x ? 2 ? 0, x ? 2 一定有一个零点,x ? a 时, 应有两个零点,x ? 3x ? 2 ? 0, x ? ?2或x ? ?1 则 ?
2

?a ? 2 ?a ? ?1

解得 ? 1 ? a ? 2 . 考点:函数的零点. 11.已知函数 f(x)= ? ( ) A. [一 1,3) 【答案】A 【解析】

? x ? 3, x ? a
2 ? x ? 6 x ? 3, x ? a

,函数 g(x) = f (x)一 2x 恰有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是

B. 〔-3,一 1〕 C. [-3,3) D. [一 1,1)

试题分析:由题意 g ( x) ? ?

? x ? 3 ? 2 x, x ? a
2 ? x ? 6 x ? 3 ? 2 x, x ? a

即 g ( x) ? ?

?? x ? 3, x ? a
2 ? x ? 4 x ? 3, x ? a

,因为函数 g(x) 恰有三个不同的

零点,x ? a,? x ? 3 ? 0, x ? 3 一定有一个零点,x ? a 时, 应有两个零点,x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? ?3或x ? ?1 则 ?
2

?a ? 3 ?a ? ?1

解得 ? 1 ? a ? 3 . 考点:函数的零点. 12.定义一种运算 a ? b ? ? 大值为 4 的 t 值是(

?a , a ? b ,令 f ?x ? ? ?4 ? 2 x ? x 2 ? ? x ? t ( t 为常数) ,且 x ? ?? 3,3? ,则使函数 f ?x ? 最 ?b, a ? b



A. ? 2 或 6 B. 4 或 6 C. ? 2 或 4 D. ? 4 或 4 【答案】C. 【解析】 试题分析:y=4+2x﹣x2 在 x∈[﹣3,3]上的最大值为 4,所以由 4+2x﹣x2=4,解得 x=2 或 x=0. 所以要使函数 f(x)最大值为 4,则根据定义可知,当 t<1 时,即 x=2 时,|2﹣t|=4,此时解得 t=﹣2. 当 t>1 时,即 x=0 时,|0﹣t|=4,此时解得 t=4.故 t=﹣2 或 4. 考点:函数的性质及应用 点评:本题考查了新定义的理解和应用,利用数形结合是解决本题的关键。

| m ? 0) 13.已知函数 f ? x ? ?| mx | – | x – 1( f(x)=|mx|–|x–1|(m>0) ,若关于 x 的不等式 f ? x ? <0 的解集中的整数恰有
3 个,则实数 m 的取值范围为( ) .
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(A)0<m≤1 (C)1<m< 【答案】B 【解析】

(B)

3 2

4 3 ? m< 3 2 3 (D) ≤m<2 2

试题分析:不等式 f ? x ? <0 的解集中的整数恰有 3 个,即 | mx |?| x – 1 | 的解集中的整数恰有 3 个. | mx |?| x – 1 | 可化为

(mx)2 ? ( x ? 1)2 ? 0, 即 [(m ? 1) x ? 1] ? [(m? 1) x ? 1] ? 0, 由于不等式解集中整数恰有三个,所以 m ? 1 ? 0, m ? 1, 不等式
的解为

?1 1 ?1 1 ?x? ? 1 , 从 而 解 集 中 的 三 个 整 数 为 ?2, ?1, 0 , ?3 ? ? ?2, 即 2 ? ?3 , m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 4 3 2m ? 2 ? n ? 3m ? 3 ,所以 ? m< ,选 B . 3 2

考点:1.绝对值不等式的解法;2.一元二次不等式的解法. 14. 设 m 是一个非负整数, m 的个位数记作 G(m) , 如 G( 称这样的函数为尾数函数. 给 2 0 1 5 ) 5 ? ,G(16) ? 6 ,G(0) ? 0 , 出下列有关尾数函数的结论: ① G(a ? b) ? G(a) ? G(b) ; ② ?a, b, c ? N ,若 a ? b ? 10c ,都有 G(a) ? G(b) ;] ③ G(a ? b ? c) ? G(G(a) ? G(b) ? G(c)) ; 则正确的结论的个数为( ) (A)3 (B)2 (C)1 【答案】B 【解析】 (D)0

试题分析:①取 a ? 21, b ? 19 ,则 G(a ? b) ? G(2) ? 2, G(a) ? G(b) ? 1 ? 9 ? ?8 ,二者不相等,故错. ② ?a, b, c ? N ,若 a ? b ? 10c ,则 a, b 的个位数字相同,所以 G(a) ? G(b) ;正确. ③设 a ? 10 x ? G(a), b ? 10 y ? G(b), c ? 10 z ? G(c) ,显然 abc 的个位数字就是 G (a)G (b)G (c) 的个位数字,所以

G(a ? b ? c) ? G(G(a) ? G(b) ? G(c)) ;正确.
考点:1、新定义;2、整数的性质. 15. 设 m 是一个非负整数, m 的个位数记作 G(m) , 如 G( 称这样的函数为尾数函数. 给 2 0 1 5 ) 5 ? ,G(16) ? 6 ,G(0) ? 0 , 出下列有关尾数函数的结论: ① G(a ? b) ? G(a) ? G(b) ; ② ?a, b, c ? N ,若 a ? b ? 10c ,都有 G(a) ? G(b) ; ③ G(a ? b ? c) ? G(G(a) ? G(b) ? G(c)) ; ④ G(32015 ) ? 9 . 则正确的结论的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 【答案】B 【解析】

(D)4

试题分析:①取 a ? 21, b ? 19 ,则 G(a ? b) ? G(2) ? 2, G(a) ? G(b) ? 1 ? 9 ? ?8 ,二者不相等,故错. ② ?a, b, c ? N ,若 a ? b ? 10c ,则 a, b 的个位数字相同,所以 G(a) ? G(b) ;正确. ③设 a ? 10 x ? G(a), b ? 10 y ? G(b), c ? 10 z ? G(c) ,显然 abc 的个位数字就是 G (a)G (b)G (c) 的个位数字,所以
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G(a ? b ? c) ? G(G(a) ? G(b) ? G(c)) ;正确.
④ 3 ? 81,? (3 ) 的个位数字都为 1. 32015 ? 32012 ? 33 ? 32012 ? 27 ,所以个位数字为 7,即 G(3
4 4 n 2015

) ? 7 ,故错.

考点:1、新定义;2、整数的性质. 16.若a = (3)x,b = 2,c = log2 x,则当 x>1 时,a,b,c 的大小关系是(
3

2



(A) c ? a ? b (B) c ? b ? a (C) a ? b ? c (D) a ? c ? b 【答案】A 【解析】 试题分析:在同一坐标内作出三个函数的图象,然后根据条件,在 x>1 右侧任作一条直线,则看三个交点的纵坐标, 即三个函数相应函数值.在同一坐标内作出三个函数的图象,如图所示:c<a<b,故答案为 A

考点:函数值大小比较 17.已知定义在 R 上的函数 = ()对任意 x 都满足( + 1) = ?(),且当0 ≤ < 1时,() = ,则函 数() = () ? ln||的零点个数为( ) (A) 2 【答案】B 【解析】 试题分析:由题 ∈ [?1,0)时,, () = ?( + 1) = ? ? 1,f(x)=f(x+2),问题转化为函数 f(x)与|lnx|交点 问题, 所以不难得到函数图像如图所示, 在[-1,0) 上( l n|x| )' ( l n? x ) ?1 ?? 交点有一个,易知零点一共有 3 个,故选 B , 所以在该区间上两个函数相切于 (-1,0) , (B) 3 (C) 4 (D) 5

考点:函数零点 18.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,若任意的 x, y ? R ,不等 式 f ( x ? 6 x ? 21) ? f ( y ? 8 y ) ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时, x ? y 的取值范围是(
2 2
2 2



A. (3, 7) 【答案】C

B. (9, 25)

C. (13, 49)

D. (9, 49)

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【解析】 试题分析:∵ y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1 , 0) 对称,∴ y ? f ( x) 的图象关于点 (0, 0) 对称,即 f ( x) 为奇函数.由不等 式 f ( x2 ? 6x ? 21) ? f ( y 2 ? 8 y) ? 0 ? f ( x2 ? 6x ? 21) ? ? f ( y 2 ? 8 y) ? f (8 y ? y 2 ) ,又函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数

? x2 ? 6x ? 21 ? 8 y ? y 2 ? ( x ? 3)2 ?( y ? 4)2 ? 22 .
2 x2 ? y 2 ? OM ? (13, 49). ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 22 (x>3). x2 ? y 2 ? OM , M ( x, y) ?圆O1:
2

考点:函数的单调性、奇偶性、对称性. 19.对于函数 f ( x) 和 g ( x) ,设 ? ?{x | f ( x) ?0} , ? ?{x | g( x) ? 0} ,若存在 ? , ? ,使得 ? ? ? ? 1 ,则称 f ( x) 与 g ( x) 互为―零点相邻函数‖.若函数 f ( x) ? e x ?1 ? x ? 2 与 g ( x) ? x2 ? ax ? a ? 3 互为―零点相邻函数‖,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. [2, ] D. [2,3]

A. [2,4] C. [ ,3] 【答案】D 【解析】

7 3

7 3

试题分析:函数 f ? x ? ? e

x ?1

? x ? 2 的零点为 x ? 1 .设 g (x) ? x 2 ?ax ?a ? 3 的零点为 x0 ,若函数 f ? x ? ? e x ?1 ? x ? 2

与 g ( x) ? x2 ? ax ? a ? 3 互为―零点关联函数‖,根据零点关联函数,则 1 ? x0 ? 1 ,

? 0 ? x0 ? 2 ,如下图所示



? g ? 0? ? 0 ? 4? , ,即 由于 g ( x) ? x ? ax ? a ? 3 过定点 ? ?1, 故要使其零点在区间[0, 2]上, 则? a g( ) ? 0 ? ? 2
2

?? a ? 3 ? 0 ? , ? a 2 a ( ) ? a? ? a ?3 ? 0 ? ? 2 2

即可得 2 ? a ? 3 ,故答案为:D. 考点:函数的零点与方程根的关系. 20.已知函数 f ? x ? ? ?

?e x ? a

x?0 (a ? R) ,若函数 f ? x ? 在 R 上有两个零点,则 a 的取值范围是( 2 x ? 1 x ? 0 ?
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A. ? ??, ?1? 【答案】D 【解析】

B. ? ??, 0 ?

C. ? ?1, 0 ?

D. ? ?1, 0 ?

试题分析:显然 x ?

1 是方程的一个零点;由题意,得 e x ? a ? 0 有一个非正根,则 a ? ?e x ,? x ? ?? ?,0?, 2

? 0 ? e x ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 0 .
考点:1.函数的零点;2.分段函数. 21.已知函数 f ? x ? ? ? A. ? ??, ?1? 【答案】D 【解析】 试题分析:显然 x ?

?e x ? a

x?0 (a ? R) ,若函数 f ? x ? 在 R 上有两个零点,则 a 的取值范围是( ?2 x ? 1 x ? 0
C. ? ?1, 0 ? D. ? ?1, 0 ?



B. ? ??, 0 ?

1 是方程的一个零点;由题意,得 e x ? a ? 0 有一个非正根,则 a ? ?e x ,? x ? ?? ?,0?, 2

? 0 ? e x ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 0 .
考点:1.函数的零点;2.分段函数. 22. 已知 a, b ? R , 函数 f ? x ? ? tan x 在 x ? ?
2

?
4

处于直线 y ? ax ? b ? )

?
2

相切, 设 g ? x ? ? e ? bx ? a , 若在区间 ?1, 2?
x 2

上,不等式 m ? g ? x ? ? m ? 2 恒成立,则实数 m ( A.有最小值 ?e C.有最大值 e 【答案】D. 【解析】 B.有最小值 e D.有最大值 e ? 1

试题分析:∵ f ? x ? ? tan x ? ∴ a ? f '(?

cos x 2 ? sin x ? (? sin x) 1 sin x ,∴ f '( x) ? . , ? 2 cos x cos 2 x cos x

?
4
x

) ? 2 ,又∵点 (?
2

?
4
x

, ?1) 在直线 y ? ax ? b ?
x

?
2

上,∴ ?1 ? 2 ? (?

?
4

)?b?

?
2

,∴ b ? ?1 ,

∴ g ( x) ? e ? x ? 2 , g '( x) ? e ? 2 x , g ''( x) ? e ? 2 ,当 x ? [1, 2] 时,∴ g ''( x) ? g ''(1) ? e ? 2 ? 0 , ∴ g '( x ) 在 [1, 2] 上单调递增,∴ g '( x) ? g (1) ? e ? 2 ? 0 ,∴ g ( x) 在 [1, 2] 上单调递增, ∴?

?m ? g ( x) min ? g (1) ? e ? 1
2 2 ?m ? 2 ? g ( x) max ? g (2) ? e ? 2

? m ? ?e 或 e ? m ? e ? 1 ,∴ m 的最大值为 e ? 1 ,无最小值,D 正确.

考点:奇函数的性质. 23. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增. 若实数 a 满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a
2

的取值范围是( A. [1, 2] 【答案】C


? 1? B. ? 0, ? ? 2? ?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

D. (0, 2]

试卷第 9 页,总 47 页

【解析】 试题分析:因为 f (log 1 a ) ? f (? log2 a ) ? f (log2 a ) ,所以 f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) 等价于 f (| log2 a |) ? f (1) ,又在区
2
2

1 间 [0, ??) 单调递增,所以 ?1 ? log 2 a ? 1, ? a ? 2 ,选 C. 2

考点:函数性质综合应用 24.函数 f ( x) ? ? A.0 【答案】C 【解析】 B.1

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ?2 ? ln x, x ? 0
C.2

的零点个数为( D.3



试题分析:由 f ( x) ? 0 得 x ? ?3, x ? e2 所以零点个数为 2,选 C. 考点:函数零点 25.若函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 围是( A. ( )

?

? ?? ) ? a ? 1 (a ? R) 在区间 ?0, ? 上有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 x1 ? x2 ? a 的取值范 6 ? 2?

?

3 3 2? 2? C. ( ? 1, ? 1) 3 3 【答案】 B
【解析】

? 1,

?

? 1)

B. [

, ? 1) 3 3 2? 2? D. [ , ? 1) 3 3

? ?

试题分析:函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

? ? ?? ) ? a ? 1 (a ? R) 在区间 ?0, ? 上有两个零点,即 y ? 2sin(2x ? ), y ? 1? a 的 6 6 ? 2?

图象在区间 ?0,

? ? ? ? ?? 上有两个交点. 由于 x ? 是 y ? 2sin(2 x ? )( x ? R ) 图象的一条对称轴, 所以 x1 ? x2 ? . 又 ? 6 6 3 ? 2?

x ? 0 时, y ? 1 ,所以 1 ? 1 ? a ? 2, 0 ? ?a ? 1 ,故

?
3

? x1 ? x2 ? a ?

?
3

? 1,选 B .

考点:1.函数与方程;2.三角函数的图象和性质.

?1 2 ? 2 ? 2 x ,0 ? x ? 1, 1 26.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ?[0,2) 时, f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? m .若 3 2 ? 1? | x ? 2 | , 1 ? x ? 2. ?? 2
试卷第 10 页,总 47 页

?s ?[?4, ?2) , ?t ?[?4, ?2) ,不等式 f (s) ? g (t ) ? 0 成立,则实数 m 的取值范围是
A. (??, ?12] 【答案】C 【解析】 试题分析: ?s ?[?4, ?2) , ?t ?[?4, ?2) ,不等式 f (s) ? g (t ) ? 0 成立 ? ?x ?[?4, ?2), f ( x ) min ? g ( x ) min , B. (??, ?4] C. (??,8] D. (??,
31 ] 2

g ? ? x ? ? 3x 2 ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,当 x ? [?4, ?2) 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减,所以 g ( x ) min ? g ( ?4) ? m ? 16 ,当
x ? [?4, ?2) 时, x ? 4 ? [0, 2), f ( x ) ? 2 f ( x ? 2) ? 4 f ( x ? 4) ,又在区间 [0, 2) 上, f ( x )min ? ? 2 ,所以在区间

[?4, ?2) , f ( x ) min ? ?8 ,由 ?8 ? m ? 16 得, m ? 8 ,故选 C.
考点:导数与函数单调性、不辞劳苦恒成立问题. 27. 若函数 f ( x ) 满足对任意的 x ? [n, m](n ? m) , 都有
2 2

n 则称函数 f ( x ) 在区间 [n, m](n ? m) 上 ? f ( x) ? km 成立, k


是―被 K 约束的‖。 若函数 f ( x) ? x ? ax ? a 在区间 [ , a](a ? 0) 上是―被 2 约束的‖, 则实数 a 的取值范围是 (

1 a

A. (1,2] C. (1, 2 ] 【答案】A 【解析】 试题分析:据题意得:

B. (1, 3

3 ] 2

D. ( 2 ,2]

1 1 1 ? x 2 ? ax ? a 2 ? 2a 对任意的 x ? [ , a](a ? 0) 都成立.由 a ? 得 a ? 1 . a 2a a 1 1 1 2 2 2 恒成立. 由 f (a) ? a ? aa ? a ? a ? 2a 得 a ? 2 .因为 a ? 1 ,所以 f ( ) ? 2 ?1 ? a2 ? 2 ?1 ? 1 ? a a 2a

1 1 a 2 a 3a 2 1 得 a ? 3 .由于 f ( ) ? 2 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 1 ? a 2 ? a 2 . f ( x) ? x 2 ? ax ? a 2 的对称轴为 x ? .由 f ( ) ? ? 3 a a 2 2 4 2a
3

2 ? 1 ,所以 a 的取值范围为 (1,2] .选 A. 3
? ? x ?1 , x ? 0 ,若方程 f ( x) ? a 有四个不同的解 x1 , x2 , x3 , x4 ,且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 log x , x ? 0 ? 2 ?
) D. ? ?1,1?

考点:1、新定义;2、函数的最值;3、解不等式. 28.已知函数 f ( x) ? ?

x3 ( x1 ? x2 ) ?
A. (?1, ??) 【答案】B 【解析】

1 的取值范围是( x x
2 3 4

B. ? ?1 ,1?

C. ( ??,1)

试题分析:先画出函数 f ( x) ? ?

? ? x ?1 , x ? 0 ,的图象,方程 f ( x) ? a 有四个不同的解 x1 , x2 , x3 , x4 ,且 log x , x ? 0 ? 2 ?
试卷第 11 页,总 47 页

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,由 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则横坐标为 x1 与 x2 两点的中点横坐标为 x ? ?1
即: x1 ? x2 ? ?2 ,当 x ? 0 时,由于 y ? log 2 x 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数,又因为 x3 ? x4 ,

log 2 x3 ? log 2 x4 , g l 则 0 ? x3 ? 1 ? x 4 , 有 ?o
所以 ? log 2 x3 ? 1 , 则 x3 ? 由于 g ?(t ) ? ?2 ?

2

x3 ? o g l

2

x 4 ? x3 x 4 ? 1 , 又因为方程 f ( x ) ? a 有四个不同的解,

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 x3 ? ,( ? x3 ? 1) ,设 g (t ) ? ?2t ? , , 则 x3 ( x ( ? t ? 1) , 1 ? x 2 )? 2 x3 x3 x4 2 2 t 2

1 1 ? 0 ,则 g (t ) 在 [ ,1) 上是减函数,则 ? 1 ? g (t ) ? 1 ,故应选择 B 2 2 t

考点:1.含绝对值符号的函数;2.对数函数;3.用导数研究函数的值域; 29.现有四个函数:① y ? x ? sin x ;② y ? x ? cos x ;③ y ? x? | cos x | ; ④ y ? x ? 2 的图象(部分)如下,但顺序被打
x

乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A.④①②③ 【答案】C

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①

【解析】① y ? x sin x 是偶函数,所以图像关于 y 轴对称,显然与第一个图对应;② y ? x cos x 为奇函数,图像关于 原点对称,且当 x ? 0 时,函数值有正有负,所以与第三个图相对应;③ y ? x cos x 为奇函数,图像关于原点对称, 且当 x ? 0 时,函数值恒为正值,所以与第四个图相对应;④ y ? x ? 2 为非奇非偶函数,所以与第二个图相对应;故
x

选 C. 考点:函数的图像与性质.

? 1 x? ,x ?0 2 30.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2 x ? x) ? a(a ? 2) 的根的个数不可能为 x ? ? x3 ? 3, x ? 0 ?
A.3 【答案】A B.4 C.5 D.6

【解析】画出 f ( x ) 的图像如图所示,由图像可知:当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 .
试卷第 12 页,总 47 页

设 t ? 2 x 2 ? x ,则当 2 ? a ? 3 时,直线 y ? a 与 y ? f (t ) 的图像有 3 个交点,即 f (t ) ? a 有 3 个根(两个正根、一个 负根) ;当 a ? 3 时,直线 y ? a 与 y ? f (t ) 的图像有 3 个交点,即 f (t ) ? a 有 3 个根(两个正根、一个零根) ;当 a ? 3 时,直线 y ? a 与 y ? f (t ) 的图像有 2 个交点,即 f (t ) ? a 有 2 个正根;当 a ? 2 时,直线 y ? a 与 y ? f (t ) 的图像有 2 个交点,即 f (t ) ? a 有 2 个根(一个正根、一个负根) ;

1 1 1 1 1 ? t ? 2 x 2 ? x ? 2( x ? ) 2 ? ? ? ,所以当 t ? ? 时,t ? 2 x 2 ? x 有 0 个根;当 t ? ? 时,t ? 2 x 2 ? x 有 1 个根当 8 8 4 8 8 1 t ? ? 时, t ? 2 x 2 ? x 有 2 个不等根;综上所述, f (2 x 2 ? x) ? a(a ? 2) 的根的个数可能为 3,4,5;不可能为 3 个. 8

. 考点:函数的零点. 31. 对于函数 f ( x ) ? x ? mx ? n, 若 f (a) ? 0, f (b) ? 0 ,则函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内 A.一定有零点 C.可能有两个零点 【答案】C B.一定没有零点 D.至多有一个零点
2

【解析】当 ? ? 0 , f ( x ) 在区间 (a, b) 内无零点或有一个零点,故排除选项 A,B;当 ? ? 0 时, f ( x ) 在区间 (a, b) 内无 零点或有两个零点,排除选项 D;故选 C. 考点:二次函数的零点. 32.定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? ?( )

1 2

3 |x? | 2

,则 f ( ? ) ? (

5 2



A.

1 4

B.

1 8

C. ?

1 2

D. ?

1 4

【答案】D 【解析】 试题分析:有题可知,有 f ( x) ?

1 5 1 5 1 1 f ( x ? 2) ,因此得到 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ,又因为 2 2 2 2 2 2
3 3

3 1 | ?| 5 1 3 5 1 1 1 1 1 3 f (? ) ? f (? ? 2) ? f ( ) ,因此有 f (? ) ? f ( ) , f ( ) ? ?( ) 2 2 ? ?1 ,故 f (? ) ? ? ; 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2
考点:函数的奇偶性以及周期性 33.函数 f ? x ? ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图像有三个不同 ? b, a ? b

试卷第 13 页,总 47 页

的交点,它们的横坐标分别为 x1 、 x2 、 x3 ,则 x1 ? x 2 ? x3 的取值范围是( A. 2,6 ? 2 3 【答案】C 【解析】 试题分析:依题 f ? x ? ? min 2 x , x ? 2 ? ?



?

?

B. 2, 3 ? 1

?

?

C. 4,8 ? 2 3 D. 0,4 ? 2 3

?

?

?

?

?

?

? ?2 x , 0 ? x ? 4 ? 2 3或x ? 4 ? 2 3 ? ? x?2, 4?2 3 ? x ? 4?2 3



当 0 ? x ? 4 ? 2 3或x ? 4 ? 2 3 时,函数 y ? f ( x) 在其定义域内单调递增且值域为 ?0, 2 3 ? 2 ?

?

?
?

? 2 3 ? 2, ?? , ?
?

?

2 3 ? 上单调 当 4 ? 2 3 ? x ? 4 ? 2 3 时,函数 y ? f ( x) 在 ? 4 ? 2 3, 2 ? 上单调递减且值域为 ?0, 2 3 ? 2 ? ,在 ? 2,4 ? ? ?

?

?

递增且值域为 ?0, 2 3 ? 2 ? ,

?

?

∴ 若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,则 0 ? m ? 2 3 ? 2 ,且 x1 ? 0,4 ?2 3 于 x ? 2 对称,即 x2 ? x3 ? 4 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ? 4,8 ? 2 3 ,故选 C 考点:分段函数图像、方程根及函数零点 34.已知向量 a ? (2 cos x, 3 ), b ? (sin x, cos 2 x) ,设 f ( x) ? a ? b ,

?

? ,x 和 x 关
2 3

?

?

g ( x) ? m cos(2 x ? ) ? 2m ? 3(m ? 0) ,若对任意 x1 ? [0, ] 都存在 x 2 ? [0, ] ,使得 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。则实数 4 4 6 m 的取值范围是 2 2 4 4 A. [ ,2) B. ( ,2] C. [1, ] D. (1, ) 3 3 3 3
【答案】C 【解析】 试题分析: 由题可知, 函数 f ( x) ? a ? b ? 2 cos x sin x ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? 则

?

?

?

? ?

?

5? ? ? ? ? ,即 1 ? f ( x) ? 2 ,若 x2 ? [0, ] ,则 ? ? 2 x ? ? ,即 4 3 3 6 6 6 3 ? ? 1 ? 3 ? cos(2 x ? ) ? 1 ,由 m ? 0 ,即 ? m ? 3 ? g ( x) ? ?m ? 3 ,对任意 x1 ? [0, ] 都存在 x 2 ? [0, ] ,使得 4 4 2 6 2 ? 2x ? ?

?

?

若 x1 ? [0, ] , ), 4 3

?

? 3 4 ?? m ? 3 ? 1 ,解得 1 ? m ? ; g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则有 ? 2 3 ? ?? m ? 3 ? 2
考点:三角恒等变换 35.若函数 f ( x) ? 4 x ? x 2 ? 2a ? 8 至少有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 A. (??,3) 【答案】D 【解析】 试题分析: 由题可知, 设 g ( x) ?| 4 x ? x |, h( x) ? ?2 ? 8 , 函数 f ( x ) 至少有 3 个零点, 即 g ( x), h( x) 至少有 3 个交点,
2 a

B. (??,3]

C. [2,3]

D. [2,3)

试卷第 14 页,总 47 页

分别画出图像,至少有 3 个交点的临界范围是 0 ? ?2 a ? 8 ? 4 ,解得实数 a 的取值范围是 [2,3) ; 考点:数形结合的应用 36.若定义在 R 上的函数 y ? f (x)满足f (x ? 1) ? ? f (x) 满足,且当 x ? [-1,1] 时, f ( x ) ? x ,函数
2

?log 3 ( x - 1), x ? 1 g ( x) ? ? x ,则函数 h(x) ? f (x)-g (x) 在区间 [-5,5] 内的零点的个数为( 2 , x ? 1 ?
A.6 【答案】C 【解析】 B. 7 C. 8 D. 9



试题分析: 由题可知, 因为 f ( x ? 2) ? f [( x ? 1) ? 1] ? ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 因此 2 是函数 f ( x ) 的周期, 分别画出 f ( x ) ,

g ( x) 的图像,即可得到在区间 [-5,5] 内的零点的个数为 8 个;
考点:函数的周期性以及函数的图像

?a ? b ? 2, x ? 0 ? 37.若 a、b 分别是方程 x ? lg x ? 4, x ? 10 ? 4 的解, f ( x) ? ? x 则关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? 1的解的 ? ,x ? 0 ?2
x

个数是( ) A.1 B.2 【答案】B 【解析】

C.3

D.4

试题分析:由 a、b 分别是方程 x ? lg x ? 4, x ? 10 ? 4 的解,得 a ? lg a ? 4 ? lg a ? 4 ? a,
x

b ? 10b ? 4 ? 10b ? 4 ? b ? lg(4 ? b) ? 4 ? (4 ? b) ,所以 a,4 ? b 都是方程 lg x ? 4 ? x 的根,在同一坐标系中分别作
y ? lg x, y ? 4 ? x 的图象 ,两图象只有一个交点,所以 lg x ? 4 ? x 只有一个实根,所以 a ? 4 ? b, 即 a ? b ? 4, 所以当
?1 ? 33 ?1 ? 33 4 x ? 0 时由 f ( x) ? 2 x ? 1可得 ? 2 ? 2 x ? 1 ,解得 x ? (舍去)或 x ? ;当 x ? 0 时由 2 2 x

f ( x) ? 2 x ? 1可得 2 x ? 1 ? 2, x ?
的个数. 考点:函数与方程. 38.设 a ?

3 .故选 B.本题也可分别作出 f ? x ? 图象及直线 y ? 2 x ? 1, 由交点个数确定方程根 2

?

1

0

cos xdx, b ? ? sin xdx, 下列关系式成立的是
0

1





A. a ? b 【答案】A 【解析】 试题分析:
1

B. a ? b ? 1

C. a ? b

D. a ? b ? 1

a ? ? cos xdx ? sin1, b ? ? sin xdx ? 1 ? cos1,
0 0

1

?
4

?1?

?
3

,?

2 3 1 2 ? sin1 ? , ? cos1 ? . 2 2 2 2

?1 ?

2 1 ? 1 ? cos1 ? .所以 a ? b .故 A 正确. 2 2
试卷第 15 页,总 47 页

考点:1 定积分;2 三角函数值. 39. 已知函数 f ? x ? ? ? 和函数 g ? x ? ? sin 4 x , 若 f ? x ? 的反函数为 h ? x ? , 则 h ? x ? 与 g ? x ? 两图象交点的个数为 (
x



A. 1 【答案】 C 【解析】
x

B. 2

C. 3

D. 0

试题分析: f ? x ? ? ? 的反函数 h ? x ? ? log? x ,在同一坐标系内画出 h ? x ? ? log? x , g ? x ? ? sin 4 x 的图象,由于

g ? x ? ? sin 4 x ? [?1,1] ,所以 0 ? x ? ? 时,两图象的交点个数为 3 ,故选 C .

考点:1.反函数;2.函数的周期性;3.对数函数的图象. 40.已知函数 f ( x ) 是奇函数且 f (log 1 4) ? ?3 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? a ( a ? 0, a ? 1 ),则实数 a 的值为
x
2

A. 9 【答案】D 【解析】

B. 3

C.

3 2

D. 3

试题分析: f (log 1 4) ? f (?2) ? ?3 ,又函数 f ( x ) 是奇函数,故 f (2) ? 3 ? a ? 3
2

考点:函数的性质 41.已知 f ? x ? ? ? A.
2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0, 不等式 f ?x ? a ? ? f ?2a ? x? 在 ?a, a ? 1? 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? 0 ?

?? 2, 0?

B.

?? ?, 0?

C. ?0, 2?

D.

?? ?,

? 2?

【答案】D 【解析】 试题分析: f ?x ? 为 R 上的减函数,故 f ?x ? a ? ? f ?2a ? x? ? x ? a ? 2a ? x ,从而 2 x ? a ,所以 2?a ? 1? ? a ,得

a ? ?2 .
考点:函数单调性,不等式恒成立问题. 42.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?

log ( x ? 1), x ? [0,1) ? ? 1 2 ? ?1? | x ? 3 |, x ? [1, ??)

,则关于 x 的函数

F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为
A. 2 ? 1
a

B. 1 ? 2

a

C. 2

?a

?1

D. 1 ? 2

?a

【答案】B 【解析】 试题分析: f(x)是连续奇函数,由以下 6 段分段函数组成:
试卷第 16 页,总 47 页

(1)f(x)=-4-x x∈(-∞, -3], (2)f(x)=x+2 x∈(-3, -1], (3)f(x)= ? log 1 (1 ? x) x∈(-1, 0),
2

(4)f(x)= log 1 (x ? 1) x∈[0, 1),
2

(5)f(x)=x-2 x∈[1, 3), (6)f(x)=4-x x∈[3, +∞), y=a(0<a<1)与 y=f(x)的第 1,2,3,5,6 段分别有交点, 即 F(x)=f(x)-a 的零点. 其所有零点之和为 (-4-a)+(a-2)+(1-2^a)+(a+2)+(4-a)= 1 ? 2a 考点:本题考查函数的图像和性质 点评:由奇函数的性质得到函数在 (??, 0) 上的解析式,将函数的零点问题看做两个函数交点的问题处理 43.已知函数 f ( x) ?| log a x | ?( ) x (a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点 x1 、 x2 ,则有( ) (A) 0 ? x1 x2 ? 1 【答案】A 【解析】 (B) x1 x2 ? 1 (C) x1 x2 ? 1 (D) x1 x2 的范围不确定

1 2

?1? ?1? 试题分析:由题意可知,当 a>1 时,∵ f ? x ? ? log a x ? ? ? 有两个零点 x1 , x2 ,即 y ? log a x 与 y ? ? ? 的图 ?2? ?2? ?1? 象有两个交点,由题意 x>0,分别画 y ? ? ? 和 y ? log a x 的图象,发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点. ?2?
x

x

x

不妨设 x1 在(0,1)里, x2 在(1,+∞)里, 那么在(0,1)上有 2? x1 ? ? loga x1 即 ?2? x1 ? loga x1 在(1,+∞)有 2? x2 ? log a x2 ② ①

①、②相加有 2? x2 ? 2? x1 ? log a x1 x2 ∵ x2 > x1 ,∴- x2 ><- x1 ,∴ 2
? x2

2? x1 ,即 2? x2 ? 2? x1

0

试卷第 17 页,总 47 页

∴ log a x1 x2

0 ,∴0< x1 x2 <1,

同理当 0<a<1 时,也可得 0< x1 x2 <1, 故选 A 考点:本题考查函数的零点 点评:解决本题的关键是把函数的零点转化为两个图象的交点问题,画出两个函数的图象 44.已知方程 x3 ? x ? 1 ? 0 仅有一个正零点,则此零点所在的区间是 ( A. (3, 4) 【答案】C 【解析】试题解析:设函数 f ( x) ? x ? x ? 1 , f (0) ? ?1, f (1) ? ?1, f (2) ? 5, f (3) ? 23, f (4) ? 59
3



B. (2,3)

C. (1, 2)

D. (0,1)

由零点存在性定理可知: f (1) ? f (2) ? 0 考点:本题考查函数零点 点评:解决本题的关键是利用零点存在性定理求解

? x2 ? x , ? 45.定义域是 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? ,当 x ? ? 0, 2? 时, f ? x ? ? ? ? ?? log 2 x, t 1 x ? ? ?4, ?2? 时, f ? x ? ? ? 有解,则实数 t 的取值范围是 4 2t
A. ? ?2, 0 ? ? ? 0,1? B. ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ? C. ? ?2,1? D. ? ??, ?2? ? ? 0,1? 【答案】B. 【解析】 试题分析:∵x∈(-4,-2]时,x+2∈(-2,0],x+4∈(0,2],∴ f ? x ? ? ∵ f ? x? ? ?

x ? ? 0,1?

, 若 x ? ?1, 2?

1 1 f ? x ? 2? ? f ? x ? 4? , 2 4

? x 2 ? x, x ? (0,1] ?? log 2 x, x ? (1, 2]

,∴当 x∈(0,1]时函数的值域为 ? ?

? 1 ? , , 0 ,当 x∈(1,2]时函数的值域为[-1,0) ? 4 ? ? ? 1 ?

∴函数 ( f x) 的值域为[-1, 0], ∴当 x∈ (-4, -2]时, 函数的值域为 ? ? , 0 ? ,f ? x ? ? ? 有解, ∴ ? ?? , 4 2t 4 2t 4 ? 4 ? 即

t

1

t

1

1

? t ? 2?? t ? 1? ? 0 ,解得-2≤t<0 或 t>1,故选 B.
4t

考点:考查了函数性质的综合应用. 点评:解本题的关键是把不等式有解的问题转化为求函数的值域问题. 46.已知函数 f ? x ? ? a
x?2

,g ? x ? ? log a x (其中 a ? 0且a ? 1 ) ,若 f ? 4 ? ? g ? ?4 ? ? 0 ,则 f ? x ? , g ? x ? 在同一坐标
试卷第 18 页,总 47 页

系内的大致图象是

【答案】B. 【解析】 试题分析:∵ f ? 4 ? ? a
4? 2

? a 2 ? 0 ,又 f(4)g(-4)<0,∴g(-4)= log a ?4 ? log a 4 ? 0 ,∴0<a<1,’∴f

(x)在 R 上单调递减,过点(2,1) , g(x)为偶函数,其图象在(0,+∞)上均单调递减,故选 B. 考点:考查了函数的图象. 点评:解本题的关键是掌握对数函数和指数函数的性质和图象. 47.设 f ? x ? 是定义在 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x, y ?
n
n

,都有 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ,若 a1 ?

1 , 2

an ? f ? n ? ? n ?
A. ? , 2 ? 【答案】D 【解析】

?

? ,则数列 ?a ? 的前 n 项和 S
?1 ? ? ?
C. ? ,1?

的取值范围是( )

?1 ?2

? ?

B. ? , 2 ? 2

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

1 ?1? ?1? 试题分析解: a1 ? , a2 ? ? ? , a3 ? a1 ? a2 ? ? ? , 2 ?2? ?2?

2

3

?1? , an ? ? ? ?2?

n

1? 1 ? ?1 ? n ? 1 1 ? 1? 2 2 ? ?1 ? Sn ? ? ? 1 ? n ,而 n ? ? 0, ? ,∴ S n ? ? ,1? 1 2 ? 2? 2 ?2 ? 1? 2
考点;数列通项、等比数列求和. 点评:本题考查了数列通项及等比数列求前 n 项和,再求范围. 48.若 y ? f ( x) 在 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) ,则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为( h



A. f ' ( x0 ) 【答案】C 【解析】

B. 0

C. 2 f ' ( x0 )

D. ?2 f ' ( x0 )

试题分析:根据导数定义 f ?( x0 ) ? 考点:导数的定义;

lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ,则 ? 2 f ?( x0 ) . lim h ?0 h 2h

49.设函数 f ?x ? 的定义域为 D ,若函数 f ?x ? 满足条件:存在 ?a, b? ? D ,使 f ?x ? 在 ?a, b? 上的值域是 ? , ? 则称 f ?x ? 2 2
试卷第 19 页,总 47 页

?a b? ? ?

为―倍缩函数‖,若函数 f ?x ? ? log 2 2 ? t 为―倍缩函数‖,则的范围是(
x

?

?



A. ? ,?? ? 【答案】D 【解析】

?1 ?4

? ?

1? B. ?0,

? 1? C.? 0, ? ? 2?

D. ? 0, ?

? ?

1? 4?

试题分析:因为 f ( x) ? log2 (2 x ? t ) 在定义域内为增函数,所以 f ( x) ? log2 (2 x ? t ) 为―倍缩函数‖等价于

f ( x) ? log2 (2 x ? t ) 与直线 y ?

x x 1 1 x 有两个不同公共点。由 log2 (2 x ? t ) ? x 得 2 x ? t ? 2 2 ,令 m ? 2 2 ,则 2 2

1

1

t ? m ? m 2 (m ? 0) ,由函数 y ? t 与函数 y ? m ? m2 (m ? 0) 有两个不同公共点,结合图象可得 0 ? m ? 1 ,选 D. 4
考点:新定义问题,函数零点,转化与化归思想. 50.函数 f ? x ? ? ?
2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 , 直线 y ? m 与函数 f ?x ? 的图像相交于四个不同的点,从小到大,交点横坐标依 2 ? ln x , x ? 0 ? ?

次记为 a, b, c, d ,有以下四个结论 ① m ? 3,4? ② abcd ? 0, e

?

?

4

?
? ? 1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e ?

③ a ? b ? c ? d ? ? e5 ?

④若关于 x 的方程 f ?x ? ? x ? m 恰有三个不同实根,则 m 取值唯一. 则其中正确的结论是( A. ①②③ B. ①②④ 【答案】A 【解析】 ) C. ①③④

D. ②③④

试题分析:当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1) ? 4 ? 4 ,当 x ? 0 时, f (0) ? 3 ,由图可得,当直线 y ? m 与
2 2

函数 f ?x ? 的图像相交于四个不同的点,则 m ? 3,4? ,故①正确;由①得 c ? (

?

2 ? ln c ? 2 ? ln d , d ? e 4, b c d e ? a b4 所以 2 ? ln c ? ln d ? 2 , 即c 故a
故 abcd ? 0, e , 故②正确;a ? b ? c ? d ? ?2 ? c ? d ? ?2 ? c ?
4

1 1 , ] , d ? [e5 , e6 ) , a ? b ? ?2 , 2 e e ?a ? b 2 , 由于 0 ? ab ? (?a)(?b) ? ( ) ?1, 2

?

?

e4 e4 1 1 , 由对号函数的图像得 y ? c ? , 当c?( 2 , ] c c e e

递减,故

1 1 5 e4 1 ? 5 1 ? 6 所以 a ? b ? c ? d ? ?e ? ? 2, e ? 2 ? 2 ? , 故③正确; 若关于 x 的方程 f ?x ? ? x ? m 恰 ? e ? c ? ? 2 ? e6 , e e e c e ? ?
有三个不同实根,则 y ? f ( x) 的图像与 y ? ? x ? m 有三个不同交点,过 y ? f ( x) 的图像上 (?1, 4) 和 (0,3) 的直线
试卷第 20 页,总 47 页

y ? ? x ? 3 正好与 y ? 2 ? ln x 相切,故有三个公共点,而与 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 相切的直线 y ? ? x ? y ? 2 ? ln x 有两个交点,故此时也有三个公共点,故④错误,综上,正确的命题有①②③.

15 与 4

5 4 3 2 1 –4 –3 –2

y

a

–1 b O c –1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x

考点:1、二次函数和对数函数的图像与性质;2、导数的几何意义. 51. f ( x) 是定义在 D 上的函数, 若存在区间 [ m, n] ? D , 使函数 f ( x) 在 [m, n] 上的值域恰为 [km, kn] ,则称函数

f ( x) 是 k 型函数.给出下列说法:
4 不可能是 k 型函数; x 1 2 ②若函数 y ? ? x ? x 是 3 型函数, 则 m ? ?4 , n ? 0 ; 2
① f ( x) ? 3 ? ③设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? x( x ? 0) 是 k 型函数, 则 k 的最小值为
3 2

4 ; 9

④若函数 y ?

(a 2 ? a) x ? 1 2 3 (a ? 0) 是1 型函数, 则 n ? m 的最大值为 . 2 3 a x
C.②④ D.①④

下列选项正确的是( ) A.①③ B.②③ 【答案】C 【解析】由题意知 k ? 0 , m ? n . 对①若 f ( x) ? 3 ? 所以方程 3 ?

4 k 是 型函数,因为 f ( x ) 在区间 (??, 0) 与 (0, ??) 上都是增函数 x

4 ? kx 有两个不同的非零实根, x

2 即方程 kx ? 3x ? 4 ? 0 有两个不同的非零实根,

9 2 时,方程 kx ? 3x ? 4 ? 0 有两个不同的正实数根 m, n(m ? n) ,这 16 4 时 f ( x) 在 [m, n] 上的值域恰为 [km, kn] ,所以函数 f ( x) ? 3 ? 是 k 型函数,故①错误. x 1 2 对②,若函数 y ? ? x ? x 是 3 型函数 , 则存在区间 [m, n] ,使函数 f ( x) 在 [m, n] 上的值域恰为 [3m,3n] ,函数 2
所以当 ? ? 9 ? 16k ? 0 ,且 k ? 0 时,即 0 ? k ?
试卷第 21 页,总 47 页

1 y ? ? x 2 ? x 的对称轴是 x ? 1 ,下面分三种情况讨论: 2
(a)当 m ? 1 时,函数 y ? ?

1 2 1 1 ? 1 ? x ? x 在 [m, n] 上的值域为 ? ? n 2 ? n, ? m 2 ? m ? ,所以有 ? n2 ? n ? 3m , 2 2 2 ? 2 ?

1 1 ? m2 ? m ? 3n ,以上两式相减得到 ? (n2 ? m2 ) ? 4(m ? n) ,因为 m ? n ,所以 n ? m ? 8 ,即 n ? 8 ? m ,所以 2 2 1 ? m2 ? m ? 3(8 ? m) ,整理得 m2 ? 8m ? 48 ? 0 ,此方程无实数根; 2 1 1 (b)当 m ? 1, n ? 1 时,有 3n ? ? ?12 ? 1 ,即 n ? ,矛盾; 2 6 (c)当 n ? 1时,有
? 1 2 ?? 2 m ? m ? 3m ? ?m ? ?4 ? 1 2 . ?? n ? n ? 3n 时,可得 ? 2 n ? 0 ? ? ?m ? n ? ?
综上所述,②正确. 对③,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? x( x ? 0) 是 k 型函数, 利用导数知识可得 f ( x) ? x ? 2 x ? x( x ? 0) 在区间 (?1, ? ) 上
3 2 3 2

1 3

是减函数,在区间 (? , 0) 上是增函数,若 n ? 0 ,且 m ? ( ?1, ? ) 则函数在区间 [m, n] 上的最大值为 0,最小值为

1 3

1 3

1 4 4 4 4 要使 km ? ? , 只要取 k ? ? , 显然这时 k ? , 且函数 f ( x) 在 [m, n] 上的值域恰为 [km, kn] , f (? ) ? ? , 3 27 27 27m 9 4 所以 k 的最小值不是 ,因此③不正确. 9
对④, 若函数 y ?

(a 2 ? a) x ? 1 (a 2 ? a) x ? 1 ( a ? 0 ) ? x 有两个不同的非零解,即 是 1 型函数, 则 a2 x a2 x

a 2 x 2 ? (a 2 ? a ) x ? 1 ? 0 有两个不同的非零解 m , n .由 ? ? 0 得 a ? ?3 或 a ? 1 ,
所以 n ? m ?

( a 2 ? a ) 2 ? 4a 2 3 2 4 2 3 ? ? 2 ? ?1 ? ? (当 a ? 3 时取等号) , 4 a a a 3 3
2 3 . 3

所以 n ? m 的最大值为

故选 C. 【命题意图】本题是新定义题型,意在考查转化与化归能力、运算求解能力. 52.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 B. 2 【答案】C 【解析】 C. 3

? x ? 1, ?4 x ? 4, g ? x ? ? ln x ,则函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 的零点个数为( 2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 1,
D.4



试题分析:由题意 g ?x ? ? f ?x ? ? ln x ? 0 ,得 f ?x ? ? lg x ,函数 y ? f ?x ? 与 y ? ln x 的交点的个数即函数
试卷第 22 页,总 47 页

g ?x? ? f ?x? ? ln x ? 0 零点的个数,在同一个坐标系画出图象,由图象可得有 3 个交点,故 y ? f ?x ? ? g ?x ? 的零点个
数是 3,故答案为 C.

考点:函数零点个数的判断. 53.已知函数 f ( x) ? a ? x ? b ,的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ) ,其中常数 a,b 满足 2a =3,3b =2,则 n 的值是(
x



A.-2 【答案】B 【解析】

B.-l

C.0

D.1

a 3b ? 2 ? a ? log 2 3 ? 1, b ? log 3 2, f ( x) ? ? log 2 3? ? x ? log 3 2 ,故 f ( x ) 是 试题分析: Q 2 ? 3, x

R 上的增函数,且 f (?1) ? ? log 2 3? ? 1 ? log 3 2 ? ?1 ? 0, f (0) ? 1 ? log 3 2 ? 0 ,则 x0 ? (?1, 0),? n ? ?1
?1

考点:函数的零点,指数和对数的互化 54.已知函数 f ( x) ? a ? x ? b ,的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ) ,其中常数 a,b 满足 2a =3,3b =2,则 n 的值是(
x



A.-2 【答案】B 【解析】

B.-l

C.0

D.1

a 3b ? 2 ? a ? log 2 3 ? 1, b ? log 3 2, f ( x) ? ? log 2 3? ? x ? log 3 2 ,故 f ( x ) 是 试题分析: Q 2 ? 3, x

R 上的增函数,且 f (?1) ? ? log 2 3? ? 1 ? log 3 2 ? ?1 ? 0, f (0) ? 1 ? log 3 2 ? 0 ,则 x0 ? (?1, 0),? n ? ?1
?1

考点:函数的零点,指数和对数的互化 55.

?? (2 cos
4 4

?

2

x ? tan x)dx 2
B. 2 C.

A.

?
2

? 2

? 2

D. ? ? 2

【答案】A 【解析】 试题分析:由题,因为函数 y ? tan x 为奇函数, y ? 2cos 2

x 为偶函数,故 2
?
4 0

??

?
4

4

? ? ? x x (2 cos 2 )dx ? ??4 tan xdx ? 2? 4 (2 cos 2 )dx ? 0 ? 2? 4 ?1 ? cos x ?dx ? 2 ? x ? sin x ? 0 0 2 2 4

?

?
2

? 2

试卷第 23 页,总 47 页

考点:定积分 56. 设 g ( x) 为 R 上不恒等于 0 的奇函数,f ( x) ? ?

1? ? 1 ( a >0 且 a ≠1) 为偶函数, 则常数 b 的值为 ( ? ? g ( x) x ? a ?1 b ?



A.2 【答案】A 【解析】

B.1

C.

1 2

D.与 a 有关的值

试题分析:由题意可知函数 h ? x ? ? ?

1? ? 1 ? ? 为奇函数,所以 h ? ? x ? ? ?h ? x ? ,即有: x ? a ?1 b ?

1 1 1? 1 1 2 ? 1 ? ? ?? x ? ??? x ? ,化简得 ? ? ?1,所以 b ? 2 . a ?1 b a ?1 b b ? a ?1 b ?
?x

考点:函数奇偶性的判断.
1 57.已知函数 f(x)= x 2 ? e x ? (x<0)与 g(x)= x 2 ? ln( x ? a) 的图象在存在关于 y 轴对称点,则 a 的取值范围是 2




1 e )

A、 ( ??,

B、 (??, e )

C、 ( ?

1 e

, e)

D、 ( ? e ,

1 e

)

【答案】B 【解析】 试题分析:题 目 可 转 化 为 : 假 设 对 称 点 为 ( x 0 , y 0 ) 和 ( - x 0 , y 0 ) , 其 中 : x0> 0 此 时 有 : x02+ e 即 x2+ e ?x -
x0



1 = x02+ ln( x0+ m) 2

1 = x2+ ln( x+ m) 在 x> 0 时 有 解 2 1 可 化 为 : e ? x - = ln( x+ m) 2
通过数形结合: y

1 x 0

显 然 有 : m < e. 故 选 : A. 考点:函数的奇偶性及其应用 58.已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x ? [0 , 1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 (?1, 1] 上方程 f ( x) ? mx ? m ? 0 f ( x ? 1)

有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是( )
试卷第 24 页,总 47 页

A. [0 , ) 【答案】D 【解析】

1 2

B. [ , ? ?)

1 2

C. [0 , )

1 3

D. (0 , ]

1 2

试题分析:方程 f ( x ) ? mx ? m ? 0 有两个不同的根 ? f ( x ) ? m( x ? 1) 有两个不同的根 ? y ? f ( x ) 与函数 当 x ? ( ?1,0) 时,x ? 1 ? (0,1) ,f ( x ) ? 1 ? y ? m( x ? 1) 的图象有两个不同的交点,

1 1 1 ? ,? f ( x) ? ?1, f ( x ? 1) x ? 1 x ?1

? x, x ? [0,1] ? 所以 f ( x ) ? ? 1 在同一坐标系内作出 y ? f ( x ), x ? ( ?1,1] 与 y ? m( x ? 1) 的图象,由图象可知,当两个 ? 1, x ? ( ?1,0) ? ? x ?1
函数图象有两个不同公共点时, m 的取值范围为 (0, ] 。

1 2

y

o

x

考点:分段函数、函数零点,数形结合思想。 59.已知 a ? 0, a ? 1 , f ( x) ? x ? a ,当 x ? (?1,1) 时,均有 f ( x) ?
2 x

A. (0, ] [2, ??) 【答案】B. 【解析】

1 2

B. [ ,1)

1 2

(1, 2]

C. (0, ] [4, ??)

1 4

1 , 则实数 a 的取值范围是( ) 2 1 D. [ ,1) (1, 4] 4

试题分析:若 a ? 1 :则只需 f (?1) ? ∴ a 的取值范围是 [ ,1) 考点:指数函数的性质.

1 1 1 ,即 a ? (1, 2] ,若 0 ? a ? 1 :则只需 f (1) ? ,即 a ? [ ,1) , 2 2 2

1 2

(1, 2] .

60.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 , x ? [0,1] .定义: f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,……,

n ? 2,3, 4, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ,
是( A. 2n 个 【答案】D. 【解析】 ) B. 2n 个
2

满足 f n ( x) ? x 的点 x ? [0,1] 称为 f ( x ) 的 n 阶不动点.则 f ( x ) 的 n 阶不动点的个数

C. 2(2 ? 1) 个
n

D. 2 个

n

试卷第 25 页,总 47 页

1 ? 2 x, 0? x? ? ? 2 ,当 x ? [0, 1 ] 时, f ( x) ? 2 x ? x ? x ? 0 , 试题分析:函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? 1 2 ? 2 ? 2 x, 1 ? x ? 1 ? ? 2
当 x ? ( ,1] 时, f1 ( x) ? 2 ? 2 x ? x ? x ?

1 2 ,∴ f1 ( x) 的 1 阶不动点的个数为 2 ,当 x ? [0, ] , f1 ( x) ? 2 x , 4 3 1 1 1 3 2 f 2 ( x) ? 4 x ? x ? x ? 0 ,当 x ? ( , ] , f1 ( x) ? 2 x , f 2 ( x) ? 2 ? 4 x ? x ? x ? ,当 x ? ( , ] , f1 ( x) ? 2 ? 2 x , 4 2 2 4 5 3 2 4 f 2 ( x) ? 4 x ? 2 ? x ? x ? ,当 x ? ( ,1] , f1 ( x) ? 2 ? 2 x , f 2 ( x) ? 4 ? 4 x ? x ? x ? , 4 3 5

1 2

∴ f 2 ( x ) 的 2 阶不动点的个数为 22 ,以此类推, f ( x ) 的 n 阶不动点的个数是 2n 个. 考点:函数与方程的综合运用. 61. 已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围是( A、 [0,1)

?2? | x ? 2 |, 0 ? x ? 4, ,若存在 x1 , x2 , 当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) x?2 4? x?6 ? 2 ? 3,

) B、 [1, 4] C、 [1, 6] D、 [0,1] [3,8]

【答案】B 【解析】 试题分析:当 0 ≤ x1 ? 4 ≤ x2 ≤ 6 时,因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,得到 x1 的取值范围是
?x 2 , 1 ≤ x ? 2, ? [1, 3] ,所以 x1 ? f ( x2 ) ? x1 ? f ( x1 ) ? x1 (2 ? x1 ? 2 ) ? ? 1 2 即 x1 ? f ( x2 ) 的范围是 [1, 4] . ? ?? x1 ? 4 x1 , 2 ≤ x ? 3.

考点:1、分段函数;2、不等关系. 62.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足① f (2 ? x) ? f ( x) ;②. f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ; ③ x1 , x2 ? 1,3 时,

? ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 f (2014), f (2015), f (2016) 大小关系为( x1 ? x2

)

A. f (2014) ? f (2015) ? f (2016) B. f (2016) ? f (2014) ? f (2015) C. f (2016) ? f (2014) ? f (2015) D. f (2014) ? f (2015) ? f (2016) 【答案】C. 【解析】 试题分析: 由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) 知, f ( x) ? f ( x ? 4) ,即函数 f ( x ) 的周期为 4; 由 f (2 ? x) ? f ( x) 知,函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称;由 x1 , x2 ? 1,3 时,

? ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 知,函数 f ( x) 在 [1,3] 上单调递减.所以 x1 ? x2


f (2014) ? f (4 ? 503 ? 2) ? f (2)

f (2015) ? f (4 ? 503 ? 3) ? f (3)



试卷第 26 页,总 47 页

f (2016) ? f (4 ? 503 ? 4) ? f (4) ? f (0) ? f (2) ? f (2014) ,而 2<3,所以 f (2) ? f (3) ,即
f (2016) ? f (2014) ? f (2015) ,故应选 C.
考点:函数的单调性、对称性和周期性. 63.已知定义的 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 且在 [1,??) 上是增函数,不等式 f (ax ? 2) ? f ( x ? 1) 对任
?1 ? 意 x ? ? ,1? 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ?2 ?

) D. ? ?2,1?

A. ? ?3, ? 1? 【答案】B 【解析】

B. ? ?2, 0?

C. ? ?5, ? 1?

x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

?1 ? 试题分析: 由已知条件得 f ? x ? 的图象关于 x ? 1 对称, 且在 [1,??) 上是增函数, 在 ( ??,1] 上是减函数, 因为 x ? ? ,1? , ?2 ? ? 1 ? ?1 ? 所以 x ? 1 ? ? ? , 0 ? ,由对称性得,当不等式 f (ax ? 2) ? f ( x ? 1) 对任意 x ? ? ,1? 恒成立时,则 0 ? ax ? 2 ? 2 , 2 ? ? ?2 ?

2 ?1 ? x ? ? ,1? 恒成立,则 ? ? a ? 0 ,故实数 a 的取值范围是 ? ?2, 0? . ?2 ? x
考点:1、函数的图象与性质;2、恒成立问题. 64. 如图, 把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上, 顶点 A (0, 1) , 一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周, 记弧 AM=x, 直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t ? f ( x) 的图像大致为( )

【答案】D 【解析】 试题分析:当 x 从 0 ? 选D 考点:函数的图象. 65.已知 f ( x ) ? ?

1 1 时,t 从 ?? ? 0 ,且单调递增;由 ? 1 时,t 从 0 ? ?? ,且单调递增,所以排除 A,B,C, 2 2

?(3 ? a ) x ? 1

x ?1

x ?a (a ? 0且a ? 1) x ? 1

, 满足对任意

成立,那么 a 的取值范围是( ) A. (1,3) B. ?1, 2? C. ? 2, 3? D. (1, ??)
试卷第 27 页,总 47 页

【答案】C 【解析】 试题分析:因为对任意的 x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 为增函数,所以 a 必大于 1. x1 ? x2

由题意应满足 3 ? a ? 0 ,当 x ? 1 时,满足 (3 ? a) ? 1 ? a1 ,解得 a ? 2. 考点:函数的单调性和分段函数。 66.已知函数 f ( x) ? ? A. ?1, 2? 【答案】A 【解析】

? ?? 2b ? 1? x ? b ? 1 ( x ? 0) 是 (??, ??) 上的增函数,则实数 b 的范围是( 2 ? x ? 2 ? b x ( x ? 0) ? ? ? ?
B. ?



?1 ? , 2? ?2 ?

C. ?1, 2?

D. ?1, 2 ?

?2b ? 1 ? 0 1 ? 试题分析: f ( x ) 在 (??, ??) 上为增函数,首先分段函数的每段都要是增函数,则需满足 ? 2 ? b ,即 ? b ? 2 , ?0 2 ? ? 2
其次,还需满足在 x ? 0 时, (2b ? 1) ? 0 ? b ? 1 ? ?0 ? (2 ? b) ? 0 ,即 b ? 1 ,综上实数 b 的范围是 1 ? b ? 2 ,故选择
2

A. 考点:分段函数的单调性.

? ? x ? 0, ?sin( x) ? 1, f ( x ) ? 67.已知函数 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对,则实数 a 的取值范围是 2 ? ? ?loga x(a ? 0,且a ? 1) ,x ? 0
( )

(A) (0 ,

5 ) 5

(B) (

5 , 1) 5 3 ) 3

(C) (

3 , 1) 3

(D) (0 ,

【答案】A 【解析】 试题分析:原函数在 y 轴左侧是一段正弦型函数图象,在 y 轴右侧是一条对数函数的图象 要使得图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对, 可将左侧的图象对称到 y 轴右侧,即 y=sin(- 应该与原来 y 轴右侧的图象至少有 3 个公共点 如图,a>1 不能满足条件,只有 0<a<1

?x )-1(x>0) 2

试卷第 28 页,总 47 页

y 0 -1 -2 此时,只需在 x=5 时,y=logax 的纵坐标大于-2 即 loga5>-2,得 0<a< 1 3 5 x

5 . 5

考点:分段函数,函数图象,正弦型函数,对数函数 68. f ( x) 是定义在非零实数集上的函数, f ?( x) 为其导函数,且 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,记

a?

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则 ( ,b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 2 0.2
(B) b ? a ? c (D) c ? b ? a



(A) a ? b ? c (C) c ? a ? b 【答案】C 【解析】

试题分析:构造函数 g(x)=

f ( x) xf '( x) ? f ( x) (x>0) ,则 g'(x)= x x2

由已知,x>0 时 g'(x)<0,即 g(x)在(0,+∞)上为减函数 而 0.22<1<20.2<2<log25 故 g(log25)<g(20.2)<g(0.22) 即 c<a<b 考点:利用导数研究函数性质,指数与对数运算 69.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代 表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数) 可以表示为 ( ) B. y ? [

x ] 10 【答案】 B
A. y ? [

x?3 ] 10

C. y ? [

x?4 ] 10

D. y ? [

x?5 ] 10

【解析】 试题分析:当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除以 10 再用这个余数与 3 相 加,若和大于等于 10 就增选一名代表,将二者合并便得到推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系,用取整函数

y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 y ? [
考点:新定义取整.

x?3 ] .或者用特值法验证也可. 10 x 5 1 f ?x ?, 且当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,f ?x1 ? ? f ?x2 ? . 2

70. 定义在 R 上的函数 f ?x ?满足f ?0? ? 0, f ?x ? ? f ?1 ? x ? ? 1, f ( ) ?

1 ) 等于 ( ) 2007 1 1 A. B. 2 16
则 f(

C.

1 32

D.

1 64

试卷第 29 页,总 47 页

【答案】C 【解析】

1 x 1 1 1 ,f (1) ? 1 ,又 f ( ) ? f ?x ?, ? f ( ) ? , 2 5 2 5 2 4 1 1 ? 1 1 4 x 1 f ( ) ? ,又 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ? .所以若 x ? [ , ] , f ( x) ? , f ( ) ? f ( x) ,则在 [ n , n ] 区 5 2 5 5 2 5 5 5 2 1 1 1 4 1 1 间上 f ( x) ? n ,又 。 ? [ 5 , 5 ] ,? f ( )? 2 2007 5 5 2007 32
试题分析:由 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,得 f ( ) ? 考点: (1)赋值法的应用, (2)函数的单调性。
f ( x ), f ( x) ? M 71.设函数 y ? f ?x ? 在 R 上有意义,对给定正数 M ,定义函数 f M ( x) ? ? , 则称函数 ? M , f ( x ) ? M ?

1 2

f M ( x) 为 f ? x ?

的―孪生函数‖,若给定函数 f ( x) ? 2 ? x , M ? 1 ,则 y ? f M ( x) 的值域为(
2



A、[1,2] 【答案】D 【解析】

B、[-1,2]

C、 ( ??,2]

D、 ( ??,1]

2 试题分析:由 题 意 可 得 : 函数 f ( x) ? 2 ? x 的―孪生函数‖为: f1 ? x ? ? ?

?2 ? x 2 , x ? 1或x ? ?1 ?1,?1 ? x ? 1



所以当 x ? 1或x ? ?1时,2 ? x ? ?? ?,1?;
2

当 ? 1 ? x ? 1 时, f1 ?x ? ? 1 ,所以 y ? f M ( x) 的值域为 ( ??,1] .故 选 D. 考点:分 段 函 数 及 函 数 的 值 域 . 72.若函数 f(x)= 2 (eλx+e
1
-λx

) (λ∈R) ,当参数 λ 的取值分别为 λ1 与 λ2 时,其在区间[0,+∞)上的图像分别为 )

图中曲线 C1 与 C2,则下列关系式正确的是: (

A.λ1<λ2 【答案】D 【解析】

B.λ1>λ2

C.|λ1|<|λ2|

D.|λ1|>|λ2|

试题分析: 由图象可知, 曲线 C 2 与 C1 的图象低, 不妨设 x ? 1 , 由图象可知当 x ? 1 时,
x ?x x ?x 令 g ? x? ? e ? e , 则 g ? x ? 为偶函数, 又因为 g ' ? x ? ? e ? e ?

1 ?1 1 e ? e? ?1 ? ? ? e?2 ? e? ?2 ? , ? 2 2

e2 x ? 1 , 当 x ? 0 时,g ' ? x ? ? 0 , 故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? ex

上单调递增,有偶函数的性质可知 考点:函数的图像与性质.

?1 ? ?2 ,故选 D.

73.已知函数 f ( x) ? 4 ? x , y ? g ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, g ( x) ? log 2 x ,则函数 f ( x) ? g ( x) 的
2

大致图象为(



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【答案】D 【解析】 试题分析: 因为 f ( x) ? 4 ? x , 所以函数 f ( x ) 是偶函数, 又 g ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 f ( x) ? g ( x) 是奇函数,
2

即可以排除选项 A 与 B ,当 x ? 2 时, f ( x) ? 4 ? x ? 0 , g ( x) ? log 2 x ? 0 ,所示此时 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,所以排除选
2

项 C .故选 D 考点:函数的奇偶性;函数的图像. 74.函数 f ? x ? ? log 2 ( x ? 4) ? 3 的零点有
x

A.0 B.1 【答案】C 【解析】

C.2

D.3

试题分析:在同一个坐标系中,画出函数 y ? 3 与函数 y ? log2 ?x ? 4? 的图象,则图象的交点个数,就是函数
x

x f ? x? ? log2 (x ? 4)? 3 的零点的个数,由图象知,函数图象交点为 2 个,故函数的零点为 2 个,故答案为 C

考点:函数零点个数的判断
x 75.若 a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 ? 4 ,函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? (a ? b) x ? 2,x ? 0 , x?0 ? 2,

则关于 x 的方程 f ( x) ? x 解的个数是( A.1 【答案】C 【解析】 B.2 C.3

) D.4

x 试题分析:由已知得, lg x ? 4 ? x , 10 ? 4 ? x ,在同一坐标系中作出 y ? 10 , y ? lg x 以及 y ? 4 ? x 的图象,其

x

中 y ? 10 , y ? lg x 的图象关于 y ? x 对称,直线 y ? x 与 y ? 4 ? x 的交点为(2,2) ,所以 a ? b ? 4 ,
x

试卷第 31 页,总 47 页

? x 2 ? 4 x ? 2,x ? 0 f ( x) ? ? ,当 x ? 0 时, x 2 ? 4 x ? 2 ? x , x ? ?1 或 ?2 ;当 x ? 0 , x ? 2 ,所以方程 f ( x) ? x 2 , x ? 0 ?
解的个数是 3 个.

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

考点:1、指数函数、对数函数的图象;2、分段函数. 76 . 给 出 四 个 函 数 , 分 别 满 足 ① f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ; ② g ( x ? y) ? g ( x) ? g ( y) ; ③ ? ( x ? y) ? ? ( x) ? ? ( y) ; ④ ? ( x ? y) ? ? ( x) ? ? ( y) ,又给出四个函数的图象如下:
y

y

y

y

O
O M x

x
O x N

O

x

N

Q

则正确的配匹方案是( ) A.①—M ②—N ③—P ④—Q B.①—N ②—P ③—M ④—Q C.①—P ②—M ③—N ④—Q D.①—Q ②—M ③—N ④—P 【答案】D 【解析】 试题分析:图象 M 是指数型函数,具有性质②;图象 N 是对数型函数,具有性质③ 图象 P 是幂函数,具有性质④,图象 Q 是正比例函数,具有性质①,故选 D 考点:基本初等函数的图象与性质. 77.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 解集是 A. (?1,0) 【答案】A 【解析】 试题分析:由当 x ? 0 时,有

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 成立,则不等式 f ( x) ? 0 的 x2

(1, ??)

B.

(?1,0)

C.

(1, ??)

D. (??, ?1)

(1, ??)

xf ?( x) ? f ( x) f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ? 0 成立,知函数 F ( x) ? 的导函数 F ?( x) ? ? 0在 2 x x x2

试卷第 32 页,总 47 页

(0,??) 上恒成立 ,所以函数 F ( x) ?

f ( x) 在 (0,??) 上是增函数 ,又因为函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 ,所以函数 x f ( x) f ( x) F ( x) ? 是定义域上的偶函数 , 且由 f (1) ? 0 得 F (1) ? F (?1) ? 0 , 由此可得函数 F ( x) ? 的大致图象为 : x x

由图可知不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,0)

(1, ??) .故选 A.

考点:1.函数导数的求导法则;2.函数的奇偶性;3. 利用函数的单调性解不等式.
2 78.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M,N,则当 MN 达到最小时 t 的值为

A.

2 2

B.

1 2

C.1

D.

5 2

【答案】A 【解析】 试题分析: 令 h?x ? ? x ? ln x , x ? ?0,??? 则 h ?x ? ? 2 x ?
2

'

2 1 2x2 ?1 1 2x2 ?1 ' , 令 h ?x ? ? 2 x ? ? , ? ? 0 可得:x ? 2 x x x x

所以 h?x ? ? x ? ln x 在 ? 0,
2

? ? ?

? 2 ? 2 2? ? 上是减函数,h?x ? ? x 2 ? ln x 在 ? ,?? ? 上是增函数, 所以当 x ? 时有最小值, ? ? 2 2 2 ? ? ? ?
2 . 2
1

即 MN 达到最小时 t 的值为 考点:函数的性质及应用.

79 . 给 出 下 列 命 题 : ① 在 区 间 ( 0 ,?? )上 , 函 数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x 3 中 有 三 个 是 增 函 数 ; ② 若

log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称;④已知函数

?3x ? 2 , x ? 2, 1 f ( x) ? ? 则方程 f ( x) ? 有 2 个实数根,其中正确命题的个数为 ( 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
(A)4 【答案】B 【解析】 (B)3 (C)2 (D)1



试题分析:对 于 ① , 四 个 函 数 中 y ? x ?1 在 区 间 ( 0 ,?? ) 上 为 减 函 数 , y ? ( x ? 1)2 在 区 间 ( 0 ,?? ) 上先减后增,

? 0 可 得 有 2 个 函 数 满 足 增 函 数 条 件 ,故 ① 不 正 确 ;对 于 ② ,由 logm 3? log ,得 log3 n ? log3 m ? 0 由 函 n 3
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数 y ? log 3 x 是 增 函 数 ,可 得 0 ? n ? m ? 1 ,故 ② 正 确 ;对 于 ③ ,因 为 f ( x) 是 奇 函 数 ,得 y ? f ?x ? 图 象 关 于 原 点 对 称 , 将 函 数 图 象 向 右 平 移 1 个 单 位 , 得 y ? f ?x ? 1? 的 图 象 关 于 A(1, 0 对 ) 称,得③正确;对于④,

?3x ? 2 , x ? 2, 1 1 函 数 f ( x) ? ? ,可 得 当 x ? 2 ? log 3 2 或 x ? 3 ? 1 时 满 足 f ( x) ? ,即 方 程 f ( x) ? 有 2 个 实 2 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
数根,可得④正确其中的真命题是②③④,共 3 个 . 考点:命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 .

10 的性质时,受到两点间距离公式的启发,将 f ( x) 变形为 f ( x) 80.某同学在研究函数 f ( x ) = x +1 + x -6x+
1) 2 + ( x-3) 2+(0+1) 2 ,则 f ( x) 表示 PA ? PB (如图) = ( x-0) 2+(0- ,
① f ( x ) 的 图 象 是 中 心 对 称 图 形 ; ② f ( x ) 的 图 象 是 轴 对 称 图 形 ; ③ 函 数 f ( x ) 的 值 域 为 [ 13 , ?? ); ④ 方 程

2

2

f ( f ( x))? 1 ?

有两个解.上述关于函数 f ( x ) 的描述正确的是( 10



A.①③ 【答案】C. 【解析】

B.③④

C.②③

D.②④

试题分析: 如图, ∵ A(0,1) ,B(3, ?1) , ∴ AB 中点 C ( , 0) , ∴当 P ,Q 两点关于 C ( , 0) 对称时, 显然四边形 APBQ 是平行四边形,∴ PA ? PB ? QA ? QB ,即有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,∴ f ( x ) 的图象关于直线 x ?

3 2

3 2

3 2

3 2

3 对称,又∵ 2

f ( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 的图象不是中心对称图形,∴①错误,②正确;
由题意可知,当 A, P, B 三点共线时, f ( x) min ? AB ? 13 ,∴③正确;显然 f ( x ) 在 (3, ??) 上单调递增,结合②, ③可知, f ( f ( x)) ? f ( 13) ? f (3) ? 1 ? 10 ,∴方程 f ( f ( x)) ? 1 ? 10 无解,即④错误. 考点:函数的性质与应用.

? x 2 ? 2ax ? a 2 , x ? 0 ? 81.已知 f ( x) ? ? ,若 是 f ( x ) 的最小值,则 a 的取值范围为( 1 ? x ? ? a, x ? 0 f (0) x ?
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0, 2]



【答案】D 【解析】 试题分析:解法一:排除法.当 a=0 时,结论成立,排除 C;当 a= -1 时,f(0)不是最小值,排除 A、B,选 D. 解法二:直接法.

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由于当 x ? 0 时,f ( x) ? x ?
2

1 2 由题意当 x ? 0 时,f ( x) ? ( x ? a) 递减, 则a ? 0 , ? a 在 x ? 1 时取得最小值为 2 ? a , x
2

此时最小值为 f (0) ? a ,所以 a ? a ? 2,? 0 ? a ? 2 ,选 D. 考点:分段函数的最值.
2 82.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M,N,则当 MN 达到最小时 t 的值为

A.

2 2

B.

1 2

C.1

D.

5 2

【答案】A 【解析】 试题分析: 令 h?x ? ? x ? ln x , x ? ?0,??? 则 h' ?x ? ? 2 x ?
2

1 2x2 ?1 1 2x2 ?1 2 , 令 h ' ?x ? ? 2 x ? ? , ? ? 0 可得:x ? 2 x x x x

所以 h?x ? ? x ? ln x 在 ? 0,
2

? ? ?

? 2 ? 2 2? ? 上是减函数,h?x ? ? x 2 ? ln x 在 ? ? 上是增函数, 所以当 x ? 时有最小值, , ?? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?
2 . 2

即 MN 达到最小时 t 的值为 考点:函数的性质及应用.

83.如图,南北方向的公路 l ,A 地在公路正东 2 km 处,B 地在 A 东偏北 300 方向 2 3 km 处,河流沿岸曲线 PQ 上 任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等.现要在曲线 PQ 上一处建一座码头,向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、 M 到 B 修建费用都为 a 万元/km,那么,修建这条公路的总费用最低是( )万元

A.(2+ 3 )a

B.2( 3 +1)a

C.5a

D.6a

【答案】C 【解析】 试题分析:依 题 意 知 曲 线 PQ 是 以 A 为 焦 点 、 l 为 准 线 的 抛 物 线 , 根据抛物线的定义知: 欲 求 从 M 到 A, B 修 建 公 路 的 费 用 最 低 , 只 须 求 出 B 到 直 线 l 距 离 即 可 . 因 B 地 在 A 地 东 偏 北 30 0 方 向 2 3 k m 处 , ∴ B 到 点 A 的 水 平 距 离 为 3( km) , ∴ B 到 直 线 l 距 离 为 : 3+2=5 ( k m ) , 那 么 修 建 这 两 条 公 路 的 总 费 用 最 低 为 : 5a ( 万 元 ) . 故 选 C . 考点:抛 物 线 方 程 的 应 用 . 84.对于函数 f ? x ? ,若存在非零常数 a ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ,
试卷第 35 页,总 47 页

则称 f ? x ? 为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( A. f ? x ? ? 【答案】D. 【解析】

) D. f ? x ? ? cos ? x ? 1?

x

B. f ? x ? ? x

2

C. f ? x ? ? tan x

试题分析:∵ f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ,∴ f ( x ) 的函数图像关于直线 x ? a 对称 ( a ? 0) , A:函数图像不关于某直线对称,B:函数图像关于 y 轴,即直线 x ? 0 对称,C:函数图像不关于某直线对称,D:函 数图像关于直线 x ? k? ? 1 , k ? Z 对称,符合题意,故选 D. 考点:1.新定义问题;2.常见函数图像的对称性. 85.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N .若 ?x0 , n ? N* ,使 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ?
*

? f ( x0 ? n) ? 63

成立,则称 ( x0 , n) 为函数 f ( x ) 的一个―生成点‖.函数 f ( x ) 的―生成点‖共有( ) A.1 个 【答案】B. 【解析】 B .2 个 C .3 个 D .4 个

试题分析: 由 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ?

? f ( x0 ? n) ? 63 得, (2 x0 ? 1) ? [2( x0 ? 1) ? 1] ? ? ? [2( x0 ? n) ? 1] ? 63 ,化简可得

?n ? 1 ? 7 2(n ? 1) x0 ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ? (n ? 1) ? 63 ,即 (n ? 1)(2 x0 ? n ? 1) ? 63 ,由 x0 , n ? N * 得 ? 或 ?2 x 0 ? n ? 1 ? 9 ?n ? 1 ? 3 ?n ? 6 ? n ? 2 ,解得 ? 或? ,所以函数 f ( x ) 的―生成点‖为(1,6) , (9,2). ? ?2 x0 ? n ? 1 ? 21 ? x0 ? 1 ? x0 ? 9
考点:函数的值;数列求和. 86.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d 为常数),当 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取极小值,则 (b ? )2 ? (c ? 3)2 的 取值范围是( A. ( ). B. ( 5,5) C. (

1 2

37 ,5) 2

37 , 25) 4

D.(5,25)

【答案】D 【解析】 试题分析:? f ( x) ? x ? bx ? cx ? d ,? f ( x) ? 3x ? 2bx ? c ;因为 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取极小值,
3 2 ' 2

? f ' (0) ? 0 ? ' ' 2 所以 f ( x) ? 3x ? 2bx ? c ? 0 的两根 0 ? x1 ? 1,1 ? x2 ? 2 ,所以 ? f (1) ? 0 , ? f ' (2) ? 0 ?

?c ? 0 1 1 ? 即 ?2b ? c ? 3 ? 0 ,作出不等式表示的平面区域(如图) ; (b ? ) 2 ? (c ? 3) 2 表示区域内的点 M 到 A(? ,3) 的距离 2 2 ?4b ? c ? 12 ? 0 ?
的平方,点 A(? ,3) 到直线 2b ? c ? 3 ? 0 的距离 d ?

1 2

?1 ? 3 ? 3 4 ?1

?2b ? c ? 3 ? 0 ? 5 ;联立 ? ,得 B(?4.5,6), AB ? 5 , ?4b ? c ? 12 ? 0

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所以 5 ? (b ? ) 2 ? (c ? 3) 2 ? 25

1 2

考点:函数的极值、线性规划. 87.已知函数 f ( x) ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1) , x2 ? (1, ??) ,点 P(m, n) 表 ? 3 2


示的平面区域为 D ,若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为( A. ?1, 3? 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ 函 数 f ( x) ? +∞ ) , B. ?1,3? C. ? 3, ?? ? D. ?3, ?? ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 的 两 个 极 值 点 分 别 为 x1, x2, 且 x1∈ ( 0, 1) , x2∈ ( 1, ? 3 2

? y ? ? x 2 ? mx ?

m?n ? 0 的 两 根 x1, x2 满 足 0< x1< 1< x2, 2 m?n 则 x 1 + x 2 =- m , x 1 x 2 = > 0, 2 m?n ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? m ?1 ? 0 , 2
即 n +3 m +2 < 0 , ∴ - m < n < -3 m -2 , 为 平 面 区 域 D , 如图:

∴ m < -1 , n > 1 . ∵ y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的 图 象 上 存 在 区 域 D 内 的 点 , ∴ log a ( -1+4 ) > 1 , ∴

lg 3 ? 1, ∵ a > 1 , ∴ lga > 0 , lg a
试卷第 37 页,总 47 页

∴ 1g3 > lga . 解 得 1 < a < 3 ; 故 选 B . 考点:1.利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ; 2 . 不 等 式 组 表 示 平 面 区 域 . 88.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数,令

2? ? 5? ? 5? ? ? ? ? a ? f ? sin ? , b ? f ? cos ? , c ? f ? tan ? , 则( 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ?
A. b ? a ? c 【答案】A 【解析】 B. c ? b ? a C. b ? c ? a

) D. a ? b ? c

5? 2? 2? 2? ? 2? 2? , ? cos(? ? ) ? ? cos ? (?1,0) , ? ? ? 0 ? cos ? sin 7 7 7 7 4 7 7 5? 2? 8? 7? ? 2? 2? 2? 从而有 0 ? cos ; 因为函数 f ? x ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ?1 , ? sin ? 1 ? tan 7 7 28 28 4 7 7 7 2? 2? 5? 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数,所以有 f (cos ) ? f (sin ) ? f (tan ) ,而 7 7 7 5? 2? 2? 5? 2? 2? 所以有 b ? a ? c , 故选 A. b ? f (cos ) ? f (? cos ) ? f (cos ) , c ? f (tan ) ? f (? tan ) ? f (tan ) , 7 7 7 7 7 7
试题分析:注意到 cos 考点:1.函数的奇偶性与单调性;2.三角函数的大小. 89.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x-1)2-2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关 【答案】B 【解析】试题分析:设 g(x)=2a-ax,h(x)=(x-1)2, 注意到 g(x)的图象恒过定点(1,a),画出他们的图象 无论 a>1 还是 0<a<1,g(x)与 h(x)的图象都必定有两个公共点 y a>1 0<a<1 0 1 x )

考点:函数图象及其性质,零点的个数 90.若存在 x∈[﹣2,3],使不等式 2x﹣x2≥a 成立,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,1] B. (﹣∞,﹣8] C.[1,+∞) D.[﹣8,+∞) 【答案】A 【解析】



试题分析:构造函数 f(x)=2x﹣x2,由存在 x ? [?2,3] ,使不等式 2x﹣x2≥a 成立(如果是任意 x ? [?2,3] ,使不等式 2x﹣x2≥a 成立则 a ? f ( x) min ,易误解) ,可知 a ? f ( x) max 即 a ? 1 ,答案选 A. 考点:二次函数的最值 91.某工厂生产某种零件,零件质量采用电脑自动化控制,某日生产 100 个零件,记产生出第 n 个零件时电脑显示的 前 n 个零件的正品率为 f(n) ,则下列关系式不可能成立的是( ) A.f(1)<f(2)< <f(100) B.存在 n ? {1,2, ,99},使得 f(n)=2f(n+1) C.存在 n ? {1,2, ,98},使得 f(n)<f(n+1) ,且 f(n+1)=f(n+2)
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D.f(1)=f(2)= =f(100) 【答案】C 【解析】 试题分析:当第一个零件为次品,而后面的都为正品时,满足选项 A;当都是次品时,选项 B 成立;都是正品或次品 时选项 D 成立,对于选项 C,当 f(n)<f(n+1)时说明第 n+1 个是正品,不管下一个是正品还是次品 f(n+1)与 f (n+2)不可能相等,答案选 C. 考点:不等式的性质 92 .已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,且

3 2

Sn a (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和) ,则 f (a5 ) ? f (a 6 ) ? ( ? 2? n ?1 , n n A. ? 3 B. ? 2 C. 3 D. 2
【答案】C 【解析】

).

试题分析:由定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) 知, f ( x ? ) = f [?( ? x)] = ? f ( ? x) =

3 2

3 2

3 2

3 2

S a 3 3 3 所以 f ( x ? 3) = f [( x ? ) ? ] = ? f ( x ? ) = ?(? f ( x)) = f ( x ) , 所以 f ( x ) 的周期为 3, 由 n ? 2? n ?1 ? f ( x) , n n 2 2 2
得, Sn ? 2an ? n ,当 n≥2 时, an = Sn ? Sn ?1 ? 2an ? n ? 2an ?1 ? (n ? 1) ,所以 an = 2an ?1 ? 1 ,所以 a 2 =-3, a3 =-7, a 4 =-15, a5 =-31, a6 =-63,所以 f (a5 ) ? f (a 6 ) ? f (?31) ? f (?63) = ? f (3 ?10 ? 1) ? f (3 ? 21 ? 0) = ? f (1) ? f (0) =

? f (1 ? 3) ? 0 ? ? f (?2) =3,故选 C.
考点:函数的奇偶性、周期性,数列的递推公式,转化与化归思想 93.幂函数 y=xa,当 a 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连 接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|.那么,αβ=( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定

【答案】A 【解析】 试题分析:由|BM|=|MN|=|NA|,点 A(1,0) ,B(0,1)知,M(

1 2 2 1 1 2 2 1 , ) ,N( , ),所以 ( )? = , ( ) ? = , 3 3 3 3 3 3 3 3

1 3 2 2 1 2 1 3 所以 ? = log 1 , ? = log 2 ,所以 ?? = log 1 log 2 = log 1 ? =1,故选 A. 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 log 1 3 3 log 1
考点:函数与方程的综合运用,幂函数的实际应用,对数与指数的互化,对数换底公式

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94.若函数

1 f ( x) ? ? e ax (a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 a ? b 的最大值是( b
C.2 D. 2



A.4 【答案】D 【解析】

B. 2 2

试题分析: f ??x ? ? ?

a ax a 1? ? e ,因此切线的斜率 k ? f ??0? ? ? ,切点 ? o,? ? ,切线方程 b b b? ?

y?

1 1 a ? 1 ,? a 2 ? b 2 ? 1 ? ? ?x ? 0? ,即 ax ? by ? 1 ? 0 ,由于与圆相切? 2 2 b b a ?b
2 2

a?b? ?a ? b? ? 1 ? 2ab ? 1 ? 2 ? ? ? ? ,解得 a ? b ? 2 ? 2 ?
考点:导数的几何意义和基本不等式的应用. 95. .函数 f ( x ) 是 R 上的可导函数, x ? 0 时, f ?( x) ? A. 3 【答案】D 【解析】 B. 2 C. 1

f ( x) 1 ? 0 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? 的零点个数为( x x D. 0



1 ,可得 x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的,故我们考 x f ( x) 虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点.由于当 x≠0 时,f ′( x )+ > 0, x f ( x) ①当 x> 0 时, ( xg ( x))? ? ( xf ( x) ?1) ? ? xf ?( x) ? f ( x) = x( f ?( x) ? ) > 0,所以 xg ( x) 在(0,+∞)上是单调递增 x
试题分析:由于函数 g( x ) = f ( x )+ 函数.又∵ lim[ xf ( x) ? 1] ? 1 , ∴当 x∈(0,+∞)时,函数 xg ( x ) = xf ( x) ? 1 > 1 恒成立,因此 xg ( x ) = xf ( x) ? 1 在
x ?0

(0,+∞)上没有零点. ②当 x<0 时,由于 ( xg ( x))? ? ( xf ( x) ? 1)? ? xf ?( x) ? f ( x) = x( f ?( x) ?

f ( x) ) <0, x

故函数 xg ( x ) 在(-∞,0)上是递减函数,函数 xg ( x ) = xf ( x) ? 1 >1 恒成立, 故函数 xg ( x ) 在(-∞,0)上无零点. 综上可得,函 g( x ) = f ( x )+

1 在 R 上的零点个数为 0. x
与 f (2009)e 的大小关系为 (
2

考点:函数与导数的关系,函数零点,转化思想

2 0 1 1 ) 96. 若定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f ?( x ) , 且满足 f ?( x) ? f ( x) , 则 f(
A、 f (2011) < f (2009)e C、 f (2011) > f (2009)e 【答案】C 【解析】
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2

) .

B、 f (2011) = f (2009)e D、不能确定

2

2

试题分析:构造函数 g ( x) ? 上为增函数,则

f ' ( x) ? f ( x) f ( x) ' ' ,则 ,因为 f ?( x) ? f ( x) ,所以 g ( x) ? 0 ;即函数 g ( x) 在 R g ( x ) ? x x e e

f (2011) f (2009) 2 ,即 f (2011) ? f (2009)e . ? 2011 2009 e e
?1 ?8 ? 2? ? , P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )是函数图象上的任意不同两点,给 4 ? ?
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ;④ . ? ? x1 x2 x1 x2

考点:利用导数研究函数的单调性. 97.已知幂函数 f ( x ) 的图象经过点 ? , 出以下结论: ① x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ;② x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ;③ 其中正确结论的序号是( A.①② B.①③ 【答案】D 【解析】 ) C.②④

D.②③

试题分析:因为 f ( x ) 为幂函数,故可设 f ( x) ? x ,又它的图象经过点 ? , ?

?

?1 ?8

2? 1 2 ?1? ,可由 得出 ? ? ,所 ? ? ? ? 4 ? 2 4 ?8? ?

?

以 f ( x) ?

x .设 g ( x) ? xf (x ) ? x x ? x 2 它在 [0, ??) 上为递增函数,若 0 ? x1 ? x2 ,则有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,故①②
f ( x) x 1 ? ? 它在 (0, ??) 上为递减函数,若 0 ? x1 ? x2 ,则有 h( x1 ) ? h( x2 ) ,故③④ x x x

3

中只能选择②.设 h( x) ?

中只能选择③.因此最终正确答案为 D. 考点:指数运算和幂函数及其性质.
2 ? ? x , x ?(?1, 1] 98.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(4-x)=f(x),且当 x∈(-1,3]时,f(x)= ? ,则函数 g(x)=f(x) 1? cos ? x, x ?(1, 3] ? ? 2

-|lgx|的零点个数是( ) A、7 B、8 C、9 D、10 【答案】D 【解析】 试题分析:由 f(x)是定义在 R 上的偶函数,知 x=0 是它的一条对称轴 又由 f(4-x)=f(x),知 x=2 是它的一条对称轴 于是函数的周期为(2-0)×2=4 画出 f(x)的草图如图,其中 y=|lgx|在(1,+∞)递增且经过(10,1)点 y

1 0 1 10 x

函数 g(x)的零点,即为 y=f(x)与 y=|lgx|的交点 结合图象可知,它们共有 10 个交点,选 D. 考点:函数的奇偶性、周期性,分段函数,函数的零点.
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99.已知 f(x) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,那么在区间 [?1, 3] 内,关于 x 的方程

f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? ?1 )有 4 个不同的根,则 k 的取值范围是(
A. ( ?



1 , 0) 4

B. (? , 0)

1 3

C. (? , 0)

1 2

D . (?1, 0)

【答案】B 【解析】由已知,函数 f(x) 在区间 [?1, 3] 的图象如图所示,关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? ?1 )表 示过定点 (?1,1) 的直线, 为使关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? ?1 ) 有 4 个不同的根, 即直线 y ? kx ? k ? 1 与函数 f(x) 的图象有 4 个不同的交点. 结合图象可知,当直线 y ? kx ? k ? 1 介于过点 (?1,1) , (2, 0) 的直线 y ? ? 选B.

1 2 x ? 和直线 y ? 1 之间时,符合条件,故 3 3

考点:函 数 的 奇 偶 性 、 周 期 性 , 函 数 与 方 程 , 直 线 的 斜 率 , 直 线 方 程 . 100.对函数 f(x),若 ?a、 , b, c ? R, f ?a ?, f ?b?, f ?c?为某一个三角形的边长,则称 f ?x ? 为― ? 三角函数‖,已知函数

f ?x ? ?

ex ? m 为― ? 三角函数‖,则实数 m 的取值范围是 ex ? 1
B、 0,1

( )

A、 ? ,1? 2

?1 ? ? ?

? ?

C、 1,2

? ?

D、 ? , 2 ? 2

?1 ? ? ?

【答案】D 【解析】 试题分析:由三角形的性质可知:构成三角形三边的长必须且只需满足:任意两边之和大于第三边;则由已知函数

m ?1 m ?1 ex ? m ? 1? x ? ?1 ? m ? ?e x ? m ? 0 ,①若 0<m≤1,则 f(x) ,由题意,f(x)>0 恒成立,即 x f ?x ? ? x e ?1 e ?1 e ?1
为增函数,当 x 取正无穷时,f(x)取最大值 1,当 x 取负无穷时,f(x)取最小值 m,即 f(x)值域为(m,1),又知三角形两边 之和大于第三边,故应有 m+m≥1,解得

1 ≤m≤1;②若 m>1,则 f(x)为减函数,当 x 取正无穷时,f(x)取最小值 1,当 x 2 1 ,2];故 2

取负无穷时,f(x)取最大值 m;即 f(x)值域为(1,m) ,同理,有 1+1≥m,得 1<m≤2;综上,得 t 的取值范围为[

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选 D. 考点:1.函数的值域;2.创新型问题. 101.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+a)与 f(x-a)都是奇函数,则( A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2a) D.f(x+3a)是奇函数 【答案】D 【解析】因为 f(x+a)与 f(x-a)都是奇函数, 所以 f(-x+a)=-f(x+a), 即 f(-x)=-f(2a+x),f(-x-a)=-f(x-a), 即 f(-x)=-f(-2a+x),于是 f(x+2a)=f(x-2a), 即 f(x)=f(x+4a), 所以函数 f(x)是周期 T=4a 的周期函数. 所以 f(-x-a+4a)=-f(x-a+4a), f(-x+3a)=-f(x+3a), 即 f(x+3a)是奇函数. 102.若不等式

)

t t2 ? 3 对任意的 t ? (0,2] 上恒成立,则 ? 的取值范围是( ) ? ? ? t2 ? 9 t? 3
B. [

A. [ ,2 7 ? 21] 【答案】D. 【解析】 试题分析:∵

1 6

2 ,2 7 ? 21] 13

C. [ ,

1 2 ] 6 2

D. [

2 2 , ] 13 2

9 9 12 t 2 t 1 ,又∵ t ? (0,2] , t ? ? 2 ? ? ,∴ 2 ? , ? t 2 2 t ? 9 13 t ?9 t ? 9 t
2

t2 ? 3 2 t2 ? 3 (t ? 3) 2 ? 2 3(t ? 3) ? 6 6 1 ) ? ? = ?2 3? ? 1 ,根据二次函数的相关知识, 又∵ ( 3 2 2 t? 3 (t ? 3) (t ? 3) (t ? 3) t? 3
可知当

1 3 6 1 1 ? , t ? 3 ? (0, 2] 时, [ ?2 3? ? 1]min ? , 2 6 2 t? 3 (t ? 3) t? 3
t t2 ? 3 2 2 对于任意的 t ? (0,2] 恒成立,实数 ? 的取值范围是 [ , ? ? ? ]. 2 t ?9 13 2 t? 3

综上所述,要使不等式

考点:1.函数求最值;2.恒成立问题的处理方法. 103.若奇函数 f ( x ) 在(0,+∞)上是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) 【答案】B 【解析】 B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)

x ? 0 的解集为( f ( x)

).

试题分析:? f ( x) 是奇函数且在 (0,??) 上是增函数, f (?3) ? 0 ;? f ( x) 在 (??,0) 上是增函数且 f (3) ? 0 ;由

?x ? 0 ?x ? 0 x 或? ? 0得? f ( x) ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0

, ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 3 (如图) ;故选 B.

试卷第 43 页,总 47 页

考点:函数的奇偶性、单调性. 104.已知幂函数 f ( x) ? x 的部分对应值如下表: x f(x) 1 1
?

1 2
2 2

则不等式 f ( x ) ? 2 的解集是( A.{x|-4≤x≤4} C.{x|- 2 ≤x≤ 2 } 【答案】A 【解析】 试题分析:由题表知 考点:幂函数. 105.已知函数 f ( x ) = a( x ?

). B.{x|0≤x≤4} D.{x|0<x≤ 2 }

1 1 2 1 ? ( )? ,?? ? ,? f ( x ) ? x 2 ,? x 2 ? 2 ,即 x ? 4 ,故 ? 4 ? x ? 4 . 2 2 2

1

1 a ) ? 2 ln x( a ? R ) , g( x ) = ? ,若至少存在一个 x0 ∈[1,e],使 f ( x0 ) ? g( x0 ) x x
C.[0,+∞) D.(1,+∞)

成立,则实数 a 的范围为( ). A.[1,+∞) B.(0,+∞) 【答案】B 【解析】

试题分析:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? 2 ln x ,因为―至少存在一个 x0 ∈[1,e],使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立‖,所以

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 有解,则 h( x) min ? 0 即 a ? (
成立,?u( x) min ? u(1) ? 0 则 a ? 0 . 考点:导数的应用. 106.函数 f ( x) ? (1 ? x ? A.3 B.4 【答案】C. 【解析】

2 ln x 2 ln x 2(1 ? ln x) ,则 u ' ( x) ? ) min ;令 u ( x) ? ? 0 在 ?1, e? 恒 x x x2

x 2 x3 x 4 x 2012 x 2013 ? ? ? ??? ? ? ) cos 2 x 在区间 [ ?3, 3] 上的零点的个数为( 2 3 4 2012 2013
D.6



C.5

试题分析:若 cos 2 x ? 0 ,则由 x ? [?3,3] ? 2 x ? [?6, 6] ,∴ cos 2 x 在 [?3,3] 上有四个零点 x ? ? 又令 g ( x) ? 1 ? x ?

?
4

,?

3? , 4

x 2 x3 x 4 x 2012 x 2013 , ? ? ? ??? ? ? 2 3 4 2012 2013
试卷第 44 页,总 47 页

∴ g '( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ??? ? x
2 3

2011

?x

2012

?2013( x ? ?1) ? ,∴ g '( x) ? 0 ? g ( x) 在 [?3,3] 上单调递增,又∵ ? ?1 ? x 2013 ? ? 1? x

? 3? g (?3) ? 0, g (3) ? 0 ,∴ g ( x) 在 [?3,3] 上有且只有一个零点,显然 g (? ) ? 0 , g (? ) ? 0 ,因此 g ( x) 的零点与 4 4
前述 cos 2 x 的四个零点不重合,∴ f ( x ) 共有 5 个零点. 考点:1.数的运用;2.函数零点判断. 107.已知函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 ,那么在下列区间中含有函数 f ( x) 零点的为(
x

1 2

1

)

A. (0, ) 【答案】B 【解析】

1 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1, 2)

试题分析:由 题 意 知 :



,由零点判定定理知在区间 ( , ) 内原函数有零点. 故选 B 考点:零 点 判 定 定 理 . 108.设 a ? 0, b ? 0 ,则下列不等式成立的是( A. 若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b B. 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b C. 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b D. 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b 【答案】A 【解析】
a b

1 1 3 2



试题分析: 对 于 A,B 考 查 函 数 f ( x) =2 x +2 x , g ( x) =2 x +3 x 的 单 调 性 与 图 象 : 可 知 函 数 f( x) 、 g( x) 在 R 上 都 单 调 递 增 , 若 2 a +2a=2 b +3b , 则 a > b , 因 此 A 正 确 ; 对 于 C,D 分 别 考 查 函 数 u ( x ) =2 x -2 x , v ( x ) =2 x -3 x 单 调 性 与 图 象 : u? ( x)=ln 2 (2 x

2 ), ln2

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当 0<x<log 2 单 调递增. 故 在 x = log 2

2 2 时 , u ′ ( x ) < 0 , 函 数 u ( x ) 单 调 递 减 ; 当 x ? lo g 时 , u ′( x ) > 0 , 函 数 u ( x ) 2 ln 2 ln 2

2 2 取得最小值 . ln2 ln 2 3 3 3 当 0 < x < log 2 时 , v ′( x )< 0 ,函 数 v( x )单 调 递 减 ;当 x > log 2 时 , v ′( x ) v?(x)=ln 2 (2 x ), ln2 ln2 ln2 3 6 取得最小值 , ln2 ln 2

> 0, 函 数 v( x) 单 调 递 增 . 故 在 x = log 2

据以上可画出图象.据图象可知:

当 2 a -2a=2 b -3b , a > 0 , b > 0 时 , 可 能 a > b 或 a < b . 因 此 C,D 不 正 确 . 综上可知:只有 A 正确. 故 答 案 为 A. 考点:用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 和 图 象 ; 命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 . 109. 已知函数

f ( x) ? x n ?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P, 若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x n ,
) D.1

则 log 2013 x1 + log 2013 x2 +…+ log 2013 x2012 的值为( A.-1 【答案】A 【解析】 B.1-log20132012 C.-log20132012

试题分析:由已知得 f ( x) ? (n ? 1) x , 所以图象在点 P 处的切线的斜率 k ? f (1) ? n ? 1 , 又 f (1) ? 1 , 所以函数
' n '

f ( x) ? x n ?1 (n ? N *) 在点 P 处的切线方程为: y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) ,从而 xn ? 1 ? 1 ? n
n ?1

n ?1

,则 log 2013 x1 +

log 2013 x2 +…+ log 2013 x2012
1 2 2012 1 ? log 2013( x1 ? x2 ? ?? x2012) ? log 2013( ? ? ? ? )? log 2013 ? ?1 故选 A. 2 3 2013 2013
考点:1.函数导数的几何意义;2.对数运算. 110.已知 f ( x) ? log 1 ( x ? 2 x) 的单调递增区间是(
2 2



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A. (1, ?? ) 【答案】 C 【解析】

B. (2, ??)

C. (??, 0)

D. ( ??,1)

( ? ?,0) ? (2. ? ?) ,根据复合函数的单调性:同增异减.该 试题分析:函数 f ( x ) 是复合函数,其定义域令 x ? 2 x ? 0 ,即
2 2 ( ? ?,0) 函数是增函数,其外函数是 u ? log 1 v 为减函数,其内函数为 v ? x ? 2 x 也必是减函数,所以取区间 .
2

考点:复合函数单调性的判断.

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函数与导数经典例题(含答案)

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高考函数与导数练习题一(含答案)

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导数与函数解答题专题练习作业1含答案

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函数导数小题训练(含答案)

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函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

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