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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习1-2章课件2-4指数与指数函数

时间:2013-06-18


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章

函 数

第二章





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第二章
第四节 指 与 数 数 数 指 函

第二章





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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第二章

第四节

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基础梳理导学

第二章

第四节

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重点难点

引领方向

重点:1.指数幂的运算法则. 2.指数函数的概念、图象与性质. 难点:1.根式与分数指数幂的运算. 2.a>1与0<a<1时 指 函 图 、 质 区 . ,数数象性的别 3.指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式 的求解.

第二章

第四节

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夯实基础

稳固根基

1.整数指数幂的运算性质
m· n am+ n ,(am)n= a , (1)a · = a
m n

an·n .(m、n∈Z) b (a· = b)
n

第二章

第四节

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? n ?x= a,n为奇数, n () x =a,(n∈N,n>) ?? 2 1 n ? ?x=± a?a>0?,n为偶数. ( a)n= a ; a2= |a| ; n a
n

n

? a ? =? |a| ? ?

,n为奇数, ,n为偶数.

第二章

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() 分数指数幂 3 a = a ;a n>1) (4)指数幂的运算性质
s ar·s=ar s,(ar)s=ar·, a

m n

n

m



m n

1 1 = = .(a>0,m,n∈N,且 a n m a
m n

(a· r=ar·r.(a>0,b>0,r,s∈R) b) b

第二章

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2.指数函数的图象和性质
指数函数 定义 y=ax(a>0,a≠1)

图象

第二章

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指数函数 1 定域 () 义 : R

2 值 : (0,+∞) () 域 3 过(,) () 0 1 点 即 x=0时,y=1. , 性 4 当a>1时 在 R上 增 数 () , 是函; 质 当0<a<1时 在 R上 减 数 , 是函. x>0 a>1 0<a<1 y>1 0<y<1 x<0 0<y<1 y>1

第二章

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疑难误区 点拨警示 1.忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函数的值域致 误.解题的每一步要等价转化. 2.比较幂值大小时,要注意区分底数相同还是指数相 等.是用指数函数的单调性,还是用幂函数的单调性或指数 函数的图象解决.要注意图象的应用,还应注意中间量0、1 等的运用.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方 向底数依次变大). 3.用换元法解题时,要注意“新元”的取值范围.
第二章 第四节

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思想方法技巧

第二章

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一、数形结合的思想 有关幂值大小的比较,指数型函数的问题,借助于图象 来求解常能起到事半功倍的效果.

第二章

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[例1]

? 2? ?3? 3 3 比较?3? 与?4? 2 ? ? ? ?

的大小.

第二章

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?4? ? 3? x 解析:在同一直角坐标系中作出函数y= ?9? 与y= ?4? ? ? ? ?
x

3 的图象,考察x=2时y值大小,
?4? ?3? ?2? ?3? 4 3 ∵9<4,∴?9? <?4? ,∴?3?3<?4? . ? ? ? ? ? ? ? ?
3 2 3 2 3 2

第二章

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二、分类讨论的思想 [例2] 函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[2 1] , 上最值最 的大比小

a 值大3,则a的值为________.

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解析:0<a<1时,f(x)=ax在[2 1 ,] a 2 ∴a-a =3,∴a=3;
2

上单调递减,

a>1时,f(x)=a 单 递 , 调增 4 ∴a=3.
4 2 答案:3或3

x

a ∴a -a= , 3
2

第二章

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三、解题技巧 1.比较一组幂式、对数式形式的数的大小时,一般先区 分正、负(与0比);正数再与1比较,找出大于1的和小于1 的;底数相同的幂式,用指数函数的单调性;底数相同的对 数式用对数函数的单调性;指数相同的幂式用幂函数的单调 性或指数函数的图象;真数相同的对数式用对数函数的图 象;底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同 的对数式可引入中间量转化或化成同底,另外要注意指对互 化的灵活运用.
第二章 第四节

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2.在指数里含有未知数的方程的解法. () 形如af(x)=ag(x)(a>0,a≠1)的方程,化为f(x)=g(x)求 1 解; () 形如af(x)=bg(x)(a>0,b>0,a≠1,b≠1)的 程 两 2 方,边 取对数; () 形如a2x+b·x+c=0的方程,用换元法令ax=t化为二 3 a 次方程求解.

第二章

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考点典例讲练

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指数幂的运算

[例1]

() 化简: 1
1 2 - 1 2

a b

-4

23

ab2(a>0,b>) ; 0

() 已知a +a 2

=3,求a+a-1,a2+a-2的值.

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解析:

() a +a 2 (

1 2

1 - 2

)2=a+2+a 1=9,



所以a+a-1=7, (a+a 1)2=a2+2+a 2=49, 所以a2+a 2=47.
- - -

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点评:() 有理指数幂的运算,一般是小数化成分数,根 1 式化成分数指数幂进行. () 对于条件求值问题,一般先把条件式或待求式化简变 2 形,找出已知与未知的联系后代入求值.

第二章

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3 -2 4 50 计 : [ 8 ) 3 -(5 9 ). +(08 算 ( 3 00) .
1 2



2 3

÷) (0 02 .



1 2

×(3) 02 .

]065 ÷2 0 .

2 5 0 .

=__ ___ _ __.

第二章

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1 2 8 2 49 2 解析:原式=[( )3 -( ) +1253 ÷ 5 0 27 9

1 2

16 1 ×( )2 ](5 ÷ 0 . 50

1

4 4 )



4 7 1 4 1 2 [9-3+25× × ]÷ =9. 50 50 2

2 答案: 9

第二章

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指数函数的图象

[例2] ( )

(文)01 ( 1· 2

杭州月考)函数y=a|x|(a>) 的 象 1 图是

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?ax ? |x| 解析:y=a = ? -x ?a ?

?x≥0? ,当x≥0时,与指数函数y ?x<0? x<0时,y=a-x与y=ax的图象关于y

=ax(a>) 的 象 同 当 1 图相;

轴对称,由此判断B正 . 确

答案:B

第二章

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点评:一般地,非基本初等函数的图象与性质的讨论, 先化归为基本初等函数来解决. (理)已知函数y=lg a(x+1)的图象如图所示,则函数y= o a1 x的图象大致是(


)

第二章

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第二章

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解析:由y=lg a(x+1)的图象知,函数y=lg a(x+1)为减 o o 函数,∴0<a<1,∴y=a
1 -x

1 x -1 =( a ) 是 函 , 当 增数且

x=1时,y

=1,x=0时,y=a<1,故选A.

答案:A

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(01 21·

济模 南 拟 )定 运 义算 ( )

?a ? a?b= ? ?b ?

?a≤b? ,函 则 数 f(x)=1 ?a>b?

?2x的 象 致 图大为

第二章

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?a ? 解析:由a?b=? ?b ? ?2x ? x f(x)=1?2 =? ?1 ?

?a≤b?, 得 ?a>b?,

?x≤0?, ?x>0?.

答案:A

第二章

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指数函数的单调性与值域

[例3]

已知log

3 2

b<log3 a<log3 c,则(
2 2

)

1b 1a 1c A.(2) >(2) >(2) 1a 1b 1c B.(2) >(2) >(2) 1c 1b 1a C.( ) >( ) >( ) 2 2 2 1c 1a 1b D.(2) >(2) >(2)
第二章 第四节

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分析:可先由对数函数y=log

3 2

x的单调性得出a、b、c

1x 的大小,再由y=(2) 的单调性得出结论.

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解析:∵y=lg 3x为增函数,lg o 2 o ∴b<a<c 1x 又y=( ) 为减函数 2

3 2

b<g o l

3 2

a<g o l

3 2

c

1b 1a 1c ∴( ) >( ) >( ) 2 2 2

故选A.

答案:A

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设y1=4 ,y2=8 A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3

9 0 .

4 8 0 .

?1?- . ,y3=?2? 51 ? ?

,则(

)

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

第二章

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. . . 解析:y1=281 ,y2=241 ,y3=251 ,∵y=2x在R上是单调

递增函数,∴y1>y3>y2.∴选D.
答案:D

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指数型函数的性质

[例4]

已函 知数

?1? + y=?2?|x 2|. ? ?

() 作出图象; 1 () 由图象指出其单调区间; 2 () 由图象指出,当x取 么 时 数 到 值 3 什值函取最?

第二章

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??1?x+2 ?1? + ?? ? ?x≥-2?, |x 2| 2? 解析:() ∵y=?2? =?? 1 ? ? ?2x+2 ?x<-2?. ? ∴可作出其图象如图.

第二章

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() 由图象可见,单调增区间为(-∞,-2], 调 区 2 单减间 为(-2,+∞) () x=-2时 函 有 大 , 有 小 . 3 ,数最值没最值
?1? + 点评:函数y= ?2? |x 2|的 象 视 函 图可作数 ? ? ?1? y= ?2? |x|的 象 图向 ? ?

左平移2个单位得到的, ??1?x ?1? ?? ? ?x≥0?, |x| 又y=?2? =??2? ? ? ?2x ?x<0?. ?

第二章

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∴其图象如图.

第二章

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(文)若 数 f(x)=a 函 递区是 减间 ( )

|2x-4|

1 (a>0,a≠1 , 足 f() = , f(x)的 ) 满 1 则 9

A.(-∞,2 ]

B.[2, ∞) +

C.[-2, ∞) D .(-∞, 2 + - ]

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1 1 2 解析:∵f() = ,∴a = , 1 9 9 1 ∵a>0且a≠1,∴a=3, 1 |2x-4| ∴f(x)=( ) , 3 ∵t=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调 1t 递增,y=(3) 为减函数, ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减.
答案:B
第二章 第四节

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(理)01 ( 1· 2 数,当x∈[2 1] ,

宜昌一模)已知y=f(x+1)是定义在R上的偶函 1 4 时,f(x)=2 ,设a=f( 2 ),b=f( 3 ),c=f() ,则 1
x

a、b、c的大小关系为( A.a<c<b B .c<b<a C.b<c<a D.c<a<b

)

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解析:∵y=f(x+1)是 函 , 偶数 y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得 到, ∴y=f(x)的 象 于 线 图关直 1 3 ∴f(2)=f(2), ∵x∈[2 1] , 时,f(x)=2x为增函数. x=1对称,

4 3 ∴f() f(3)<f(2),∴c<b<a. 1 <
答案:B
第二章 第四节

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指数函数的综合问题

[例5]

(文)01 ( 1· 2

银川模拟)如果函数y=a2x+2ax-

1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14,求a的值. 分析:此函数关于ax是二次函数,令t=ax作 元 则 换,由 x∈[-1,1]可求得t的 值 围 通 配 利 二 函 的 取范,过方用次数单 调性可求得其最大值,令其最大值等于14即可求得a的值.

第二章

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解析:令t=ax,则y=t2+2t-1,对称轴方程为t=-1, 若a>1,∵x∈[-1,1],∴t=a
x

?1 ? ∈?a,a?, ? ?

y最值 =a2+2a-1=14,∵a>0,∴a=3. 大 若0<a<1,∵x∈[-1,1],∴t=a y最值 大
?1? ?1? 2 =?a? +2?a?-1=14, ? ? ? ?
x

? 1? ∈?a,a?, ? ?

1 1 ∵0<a<1,∴a= ,∴a=3或 . 3 3

第二章

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(理)已知函数f(x)=b·x(其中a,b为常量且a>0,a≠1)的 a 图象经过点A(6 1) , ,B(2) 34 , .

() 试确定f(x); 1 1 x 1 x () 若不等式( ) +( ) -m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立, 2 a b 求实数m的取值范围.

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解析:() ∵f(x)=b·x的 象 点 1 a 图过
?b· ? a=6, ∴? 3 ?b· =24, ? a

A(6 1) ,

,B(2) 34 ,

, ①



②÷ ①得a2=4, 又a>0,且a≠1,∴a=2,b=3, ∴f(x)=3 x. 2 ·

第二章

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1 x 1 x () 由() 知a=2,b=3,∴( ) +( ) -m≥0在(-∞,1] 2 1 a b 1x 1x 上恒成立,即m≤(2) +(3) 在(-∞,1]上 成 . 恒立 1x 1x 令g(x)=( ) +( ) , 2 3 则g(x)在(-∞,1]上单调递减, ∴m≤g(x)m n i 1 1 5 =g() =2+3=6, 1

5 故所求实数m的取值范围是(-∞,6].

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(02 21·

山东实验中学月考)设函数f(x)=1+ax+ma2x,其中

a>0且a≠1,m∈R. 1 () 若a=2,m=1,请用定义证明f(x)单 递 ; 1 调减 () 若a=2,?x≤1恒有f(x)0 ,求m的 值 围 2 > 取范.

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1 x 1 2x 解析:() 由条件知f(x)=1+( ) +( ) , 1 2 2 设x1、x2∈R且x1<x2,则 1 1 1 1 f(x1)-f(x2)=( )x1-( )x2+( )x1-( )x2 2 2 4 4 1 1 1 1 =(2)x1[1-(2)x2-x1]+(4)x1[1-(4)x2-x1],

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1 1 ∵x2>x1,∴x2-x1>0,∴( )x2-x1<1,( )x2-x1<1, 2 4 1 1 ∴1-(2)x2-x1>1 -(4)x2-x1>0, 0 , ∴f(x1)-f(x2)0 ,∴f(x1)>f(x2), > ∴f(x)在R上 单 递 函 . 为调减数

第二章

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() a=2时,f(x)=1+2x+m·x, 2 4 1x 1 ∵x≤1,∴02 ≤2,∴(2) ≥2, <
x

f(x)0 ,即1+2x+m·x>0, > 4 1+2x 1 2x 1 x ∴m>- x =-( ) -( ) , 4 2 2 1x 1 令t=(2) ,则t≥2,

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1 由条件知m>-t -t(t≥ )恒成立, 2
2

1 12 1 3 2 ∵t≥2时,-t -t=-(t+2) +4≤-4, 3 ∴m>- . 4

第二章

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课堂巩固训练

第二章

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一、选择题 1.(文)01 ( 1· 2 河石庄模 北家一 ) )若A={x∈R||x|2 ,B={x <}

∈R|3x<} ,则A∩B等于( 1 A.(-2) B 2 , C.(2 0) , .(-2,1) D.(-2,0)

[答案]

D

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[解析]

A={x|-2<x<} ,B={x|x<} , 2 0

则A∩B={x|-2<x<} . 0

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1 (理)若0<a<b< ,则( 2 A.2ab>2a

)

B.2ab>2b

C.lg 2(ab)>-1 D .lg 2(ab)<-2 o o

[答案]

D

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[解析]

易知y=2x在R上单调递增,

y=lg 2x在R+上 调 增 o 单递, 故2ab<2a,2ab<2b, o 2(ab)o lg <g l
?1? ? ?2=-2, 选 故 2 ?2?

D.

第二章

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2.(01 21·

湖北理,6)已 定 在 知义

R上的奇函数f(x)和偶函

数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1),若g() =a, 2 则f() =( 2 A.2 B . 17 C. 4
[答案]

) 15 4 D.a2

B

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[解析]

∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴由f(x)+g(x)

=ax-a-x+2得,f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2,解得f(x)=ax- a-x,g(x)=2, 15 又g() =a,∴a=2,∴f(x)=2 -2 ,∴f() = . 2 2 4
x
-x

第二章

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?1? . 3.(文)设a= ?2?50 ? ?

,b=0 3 .

5 0 .

,c=lg o

3 0 .

0.2,则a、b、c的

大小关系是(

)

A.a>b>c B .a<b<c C.b<a<c D.a<c<b

[答案] C

第二章

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[解析]

1 y=x 在(0,+∞)上是增函数,1> >3 , 0 . 2
5 0 .

∴1>a>b, 又y=log30 x在(0,+∞)上为减函数, . ∴lg o
3 0 .

0>g 2o .l

3 0 .

0.3=1,

即c>1,∴b<a<c.

第二章

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2 -1 6 -1 6 -2 (理)三个数P=( ) 5 ,Q=( ) 5 ,R=( ) 5 的大小顺序 5 5 5 是( ) A.Q<R<P B .R<Q<P C.Q<P<R D.P<Q<R
[答案] B

第二章

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[解析]

6 当a>1时,y=a 为R上的增函数,故( ) 5
x



2 5

6 -1 <(5) 5 ,∴R<Q,则排除A、C、D,选B. [点评]
x

对于P、Q的 小 系 当 大关,
x

x<0时,∵0<a<1时,

6 -1 2 -1 有a >1,但当a>1时,a <1,故(5) 5 <(5) 5 ,∴Q<P.

第二章

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二、填空题 4.(文)01 ( 1· 2 宜昌调研)设函数f(x)=a-|x|(a>0且a≠1),若

f() =4,则f(-2)与f() 的大小关系是________. 2 1

[答案]

f(-2 f() ) 1 >

第二章

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[解析]

1 由f() =a =4,解得a= , 2 2
-2

∴f(x)=2|x|,∴f(-2)=42 =f() . > 1

第二章

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(理)01 ( 1· 2 ________.
[答案]
[解析]

厦门质检)方程9x-6 x-7=0的 是 3 · 解

x=lg 37 o
9x-6 x-7=0?(3x)2-6 x-7=0, 3 · 3 ·

∴3x=7或3x=-1(舍去).∴x=lg 37. o

第二章

第四节

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