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2.3 数学归纳法


2.3 数学归纳法
一、选择题(共 5 小题;共 25 分) 1. 在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应该验证 ( A. n = 1 时成立 B. n = 2 时成立
n 3n+1 2

) D. n = 4 时成立

C. n = 3 时成立

2. 用数学归纳法证明“ n + 1 + n

+ 2 + ? + n + n = 式的左边与 n = k 时等式的左边的差等于 ( A. k + 1 B. 2k + 2 ) )

”的第二步中,当 n = k + 1 时,等 D. 4k + 3

C. 3k + 2

3. 用数学归纳法证明“ n + 1 n + 2 ? ? ? n + n = 2n ? 1 ? 2 ? ? ? 2n ? 1 n ∈ + ”时,从“n = k 到 n = k + 1”时,左边应增添的式子是 ( A. 2k + 1 为( A. 1 b,c 的值为 (
1 2

B. 2k + 3

C. 2 2k + 1

D. 2 2k + 3

4. 用数学归纳法证明“1 + 2 + 22 + ? + 2n+2 = 2n+3 ? 1”,在验证 n = 1 时,左边计算所得的式子 ) B. 1 + 2 )
1 4 1 4

C. 1 + 2 + 22

D. 1 + 2 + 22 + 23

5. 已知 1 + 2 × 3 + 3 × 32 + 4 × 33 + ? + n × 3n ?1 = 3n na ? b + c 对一切 n ∈ ? 都成立,则 a, A. a = ,b = c = C. a = 0,b = c = B. a = b = c =
1 4

D. 不存在这样的 a,b,c

二、填空题(共 5 小题;共 25 分) 6. 用数学归纳法证明:1 + a + a2 + ? + an+1 = 计算所得的项是 为 n= . 时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成 . 段. . .
1?a n +2 1?a

(a ≠ 1,n ∈ ? ),在验证 n = 1 成立时,左边

7. 凸 n 多边形有 f n 条对角线.则凸 n + 1 边形的对角线的条数 f n + 1 与 f n 的递推关系式 8. 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ 当 n 为 正 偶 数 时 , x n ? y n 能 被 x + y 整 除 ” 时 , 第 一 步 应 验 证 9. 平面上原有 k 个圆,它们相交所成圆弧共有 f k 段,则增加第 k + 1 个圆与前 k 个圆均有两个交 点,且此圆不过前 k 个圆的交点,则前 k 个圆的圆弧增加 10. 设数列 an 满足 an =
1 4n ?3 2 2 (n ∈ ?),bn = a2 n+1 + a n+2 + ? + a 2n+1 ,则 bn ? bn+1 =

三、解答题(共 9 小题;共 117 分) 11. 在用数学归纳法证明,对任意的正偶数 n,均有 1 ? 2 + 3 ? 4 + ? + n ?1 ? n = 2
1 1 1 1 1 1 n+2 1 1

+ n+4 + ? + 2n 成立时,

(1) 第一步检验的初始值 n0 是什么? (2) 第二步归纳假设 n = 2k 时(k ∈ +)等式成立,需证明 n 为何值时,方具有递推性; (3) 若第二步归纳假设 n = k(k 为正偶数)时等式成立,需证明 n 为何值时,等式成立.

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12. 当 n 是怎样的自然数时,不等式 2n > n2 成立? 先看下面的证明:(1)当 n = 1 时,21 > 12 ; (2)假设当 n = k 时,2k > k 2 . 则当 n = k + 1 时,2k+1 = 2 ? 2k > 2k 2 . 欲使 2k 2 ? k + 1
2

= k 2 ? 2k ? 1 > 0,则 k > 1 + 2 或 k < 1 ? 2.∵ k ∈ +,则知 k ≥ 3.
2

即是说有 k ≥ 3 这个条件就有 2k+1 > k + 1 这个结论是否正确呢? 13. 给出四个等式: 1=1 1?4 = ? 1+2 1?4+9=1+2+3 1 ? 4 + 9 ? 16 = ? 1 + 2 + 3 + 4 ?

成立.

猜测第 n n ∈ ? 个等式,并用数学归纳法证明. 14. 已知数列 an 满足 an+1 =
1 2?a n

,a1 = 0.

(1) 计算 a2 ,a3 ,a4 ,a5 的值; (2) 根据以上计算结果猜想 an 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 15. 已知 a1 = ,且 Sn = n2 an n ∈ ? .
2 1

(1) 求 a2 ,a3 ,a4 ; (2) 猜测 an 的通项公式,并用数学归纳法证明之. 16. 用数学归纳法证明:1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ? + n × n + 1 = 3 n n + 1 n + 2 ,n ∈ ?. 17. 用数学归纳法证明: 1 ?
1 4 1

1?

1 9

? 1?

1 n2 2 2a n

=

n+1 2n

n > 1, n ∈ + .

18. 用数学归纳法证明:1 + 2 + 3 + ? + n = 19. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足:Sn = (1) 求 a1 ,a2 ,a3 ;

n n+1

,其中 n ∈ ?. ,且 an > 0,n ∈ +.

a2 n ?2a n +2

(2) 猜想 an 的通项公式,并用数学归纳法证明.

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答案
第一部分 1. C 2. C 3. C 4. D 5. A

第二部分 6. 1 + a + a2 7. f n + 1 = f n + n ? 1 8. 2;x 2k ? y 2k 能被 x + y 整除(k ∈ ?) 9. 2k 10.
1 4n+1

? 8n+5 ? 8n+9

1

1

第三部分 11. (1) n0 为 2,此时左边为 1 ? ,右边为 2 × = .
2 4 2 1 1 1

(2) 假设 n = 2k k ∈ + 时,等式成立,就需证明 n = 2k + 2(即下一个偶数)时,命题也成立. (3) 若假设 n = k(k 为正偶数)时,等式成立,就需证明 n = k + 2(即 k 的下一个正偶数)时,命题也 成立. 12. 不正确. 让我们先来检验一下,当 n = 2 时,22 = 22 ,n = 3 时,23 < 32 ; n = 4 时,24 = 42 ; n = 5 时,25 > 52 ; n = 6 时,26 > 62 . ∴ n = 2,3,4 时,不等式 2n > n2 是不成立的, 当 n = 1 或 n ≥ 5 时,这个不等式才是成立的. 13. 第 n 个等式为 12 ? 22 + 32 ? 42 + ? + ?1
n ?1 2

n

= ?1

? 1+ 2 + 3 +?+ n n n+1 = ?1 n ?1 ? . 2 = 1,左边 = 右边,等式成立.
k ?1 2 k ?1 k k+1 2

n ?1

(i)当 n = 1 时,左边 = 12 = 1,右边 = ?1

0

×

1× 1+1 2

(ii)假设 n = k k ∈ ? 时,等式成立,即 12 ? 22 + 32 ? 42 + ? + ?1 则当 n = k + 1 时,

k = ?1
2

?



左边 = 12 ? 22 + 32 ? 42 + ? + ?1 k ?1 k 2 + ?1 k k+1 = ?1 k ?1 ? + ?1 k k + 1 2 2 k = ?1 k k + 1 ? k + 1 ? 2 k + 1 k + 1 + 1 = ?1 k ? = 右边. 2 所以当 n = k + 1 时,等式也成立. 综合(i)(ii)可知,对于任何 n ∈ ? 等式均成立.
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k

k+1

14. (1) 由 an+1 = 2?a 和 a1 = 0,得
n

1

a2 a3 a4 a5

1 1 = , 2?0 2 1 2 = 1 = 3, 2? = 3 = , 4 2? 3 1 4 = 3 = 5. 2? =
2 4

1

2

(2) 由以上结果猜测:an = 用数学归纳法证明如下:

n ?1 n


1?1 1

(i)当 n = 1 时,左边 = a1 = 0,右边 =

= 0,等式成立.
k ?1 k

(ii)假设当 n = k(k ≥ 1)时,命题成立,即 ak = 那么,当 n = k + 1 时, ak+1 = 2?a =
k

成立.

1

1
k ?1 2? k

= k+1 =

k

k+1 ?1 k+1



这就是说,当 n = k + 1 时等式成立. 由(i)和(ii),可知猜测 an = 15. (1) ∵ Sn = n2 an , ∴ an+1 = Sn+1 ? Sn = n + 1 2 an+1 ? n2 an , ∴ an+1 = ∴ a2 =
n a , n+2 n 1 1 ,a3 = ,a4 6 12 n 1 20 n ?1 n

对于任意正整数 n 都成立.

=
1



(2) 猜测 a

=n

n+1

,下面用数学归纳法证明.
1 k+1 1 k+1

①当 n = 1 时,结论显然成立. ②假设当 n = k 时结论成立,即 a
k k

=k
k

, =
1 k+1 k+2

则当 n = k + 1 时,ak+1 = k+2 ak = k+2 × k 故当 n = k + 1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n ∈ ?,都有 a



n 1 3

=n

1 n+1



16. (i)n = 1 时,左边 = 1 × 2 = 2,右边 = × 1 × 1 + 1 × 2 + 1 = 2,所以等式成立. (ii)假设当 n = k 时,等式成立.即 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ? + k × k + 1 = 3 k k + 1 k + 2 . 那么当 n = k + 1 时,
1

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左边 = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ? + k × k + 1 + k + 1 k + 2 1 = k k+1 k+2 + k+1 k+2 3 1 = k+1 k+2 k+3 3 = 右边. 所以当 n = k + 1 时,等式也成立. 综合(i)(ii)证明可知,对于任意 n ∈ ? 时,原等式恒成立. 17. (1)当 n = 2 时,左边 = 1 ? 4 = 4,右边 = 2×2 = 4,所以等式成立. (2)假设 n = k k ≥ 2 时等式成立,即 1?4
1 1 3 2+1 3

1?9

1

1 ? 16 ? 1 ? k 2 =

1

1

k+1 2k

,则当 n = k + 1 时,得
2

1 1 1 1 1? ? 1? 2 1? 4 9 k k+1 k+1 k k+2 k+2 = ? = 2k k+1 2 2 k+1 k+1 +1 = . 2 k+1 1? 所以当 n = k + 1 时,等式也成立. 由(1)(2)得,对于任意的 n > 1 且 n ∈ +,等式都成立. 18. (i)当 n = 1 时,左边 = 1,右边 = 1,等式成立. (ii)假设当 n = k 时,等式成立,即 1 + 2 + 3 + ?+ k = 那么 1 + 2 + 3+ ?+ k+ k+ 1 = 即当 n = k + 1 时,等式也成立. 根据(i)和(ii)知,等式对任何 n ∈ ? 都成立. 19. (1) a1 = S1 =
a2 1 ?2a 1 +2 2a 1

k k+1 , 2

k k+1 k+1 k+2 +k+1 = . 2 2

,所以,a1 = ?1 ± 3,
a2 2 1
3

又 an > 0,所以 a1 = 3 ? 1,S2 = a1 + a2 = 所以 a2 = 5 ? 3,S3 = a1 + a2 + a3 = 所以 a3 = 7 ? 5.
a3 2

+ a ? 1,
2

1

+ a ? 1,

(2) 猜想 an = 2n + 1 ? 2n ? 1.证明如下: 当 n = 1 时,由(1)知 a1 = 3 ? 1 成立. 假设 n = k k ∈ + 时,ak = 2k + 1 ? 2k ? 1 成立, ak+1 = Sk+1 ? Sk =
a k +1 2

+a

1
k +1

?1 ?

ak 2

+a ?1 =
k

1

a k +1 2

+a

1
k +1

? 2k + 1.

所以 a2 k+1 + 2 2k + 1a k+1 ? 2 = 0,a k+1 = 所以当 n = k + 1 时猜想也成立. 综上可知,猜想对一切 n ∈ + 都成立.

2 k + 1 + 1 ? 2 k + 1 ? 1,

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