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江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三数学第二次模拟突破冲刺试题(六)理


南昌市十所省重点中学 2016 年二模突破冲刺交流试卷(06) 高三数学(理)
第I卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数 (1 ? 2i) 2 (其中 i 为虚数单位)的虚部为( A. 4 B . ?4 C . 4i ) D. ? 4 i )

2.已知集合 A ? {

y | y ? ( ) A. {0, }

1 2

x ?1

2

, x ? R} ,则满足 A ? B ? B 的集合 B 可以是(
C. {x | 0 ? x ? }

1 2

B. {x | ?1 ? x ? 1}

1 2

D. {x | x ? 0} ( )

3. 下列有关命题说法正确的是 A. 命题 p:“ ?x ? R,sinx + cosx =

2 ”,则?p 是真命题

B. 的必要不充分条件 “x ? ?1”是“x 2 ? 5 x ? 6 ? 0” C.命题 的否定是:“ ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0” D.“ a ? 1 ”是“ f ( x) ? log a x(a ? 0,a ? 1) 在(0, ? ?) 上为增函数”的充要条件 4.已知 tan(? ?

?

4

)?

1 sin ? ? cos ? ,则 的值为( 2 sin ? ? cos ?



A.1/2 B.2 C.2 2 D.-2 5.阅读下列程序框图,运行相应程序,则输出的 S 值为 ( n=n+1

)

开始

n=1,S=1

2 n ?1 ? ? S=S· cos 9
1 8
1

否 n≥3



输出 S

结束

A . ?
1

1 8

B .
x

C .
?y

1 16

D.

1 32


6.已知 x 3 ? (log 1 0.5) ? (? y) 3 ? (log 1 0.5)
3 3

,则实数 x, y 的关系是( D. x ? y ? 0

A. x ? y ? 0

B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 0

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是椭圆上位于第一象限内的一点, O a2 b2 2 2 为坐标原点, OA ? OF2 ?| OF2 | ,若椭圆的离心率等于 ,则直线 OA 的方程是( ) 2 1 2 3 x x A. y ? x B. y ? C. y ? D. y ? x 2 2 2 ? 1 8.若函数 y ? cos(? x ? )(? ? 0, x ? [0, 2? ]) 的图象与直线 y ? 无公共点,则( ) 2 2 1 1 7 12 A.0<ω < B.0<ω < C.0<ω < D.0<ω < 3 2 12 13
7.已知 F1 , F2 分别是椭圆
1

E 在线段 BB1 和线段 A1B1 上移动, 9 .如图正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1 ,点

D1

C1

?EAB ? ? ? ? (0, ) ,过直线 AE, AD 的平面 ADFE 将正方体分成两部分,记 2

?

A1 D

B1

F C

? ? ( 0, 棱 BC 所 在 部 分 的 体 积 为 V (? ) , 则 函 数 V ? V (? ) ,
( )

?

2

) 大致图像是 的
?

E A

y

y

B

1
1 2

1
1 2

x
O
? 4
A

x
O
B

? 2

? 4

? 2

y

y

1
1 2

1
1 2

x
O
? 4
? 2

x
O
? 4
? 2

D C 10.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上存在两点关于直线 l : x ? my ? 1 ? 0 对称,经过点 M (m, m) 作圆 的两条切线,切点分别为 P , Q ,则 | PQ |? A.3 B. 2 3 C. 13 D.

12 13 13

11.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则 一个质点从扇形的圆心起始,绕几何体的侧面运动一 周回到起点,其最短路径为

4? 3 2? C.4+ 3
A.4+

B.6 3 D.6

12.已知函数 f ( x) ? ?

? ? 1 ? 9x2 , x ? 0
x ?1 ? ?1 ? xe , x ? 0

,点 A, B 是函数 f ( x ) 图像上不同两点,则 ) C. (0, ) 3

?AOB ( O 为坐标原点)的取值范围是(
A. (0, ) 4

?

B. (0, ] 4

?

?

D. (0, ] 3

?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题 ,每个试题考生都必须作答,第 22-第 24
2

题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在 (2 x ?

3 ? 4)9 的展开式中,不含 x 的各项系数之和为___. y
1 2

x+y-1≤0, ? ? 14.不等式组?x-y+1≥0, ? ?y≥0
值是_______.

表示的平面区域内的点都在圆 x ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 内,则 r 的最小
2 2 2

2016 x ?1 ? 2014 ? sin x ? x ? ? ?a, a ?? 的最大值为 P,最小值为 Q,则 P+Q 15. 已知 0 ? a ? , 设函数 f ( x) ? 2 2016 x ? 1
的值为_______. 16. 在?ABC中, D为AB的一个三等分点 , 且AB ? 3AD, AC ? AD, CB ? 3CD , 则 cos B = . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?bn ?为单调递增的等差数列, b3 ? b8 ? 26, b5b6 ? 168,设数列 ?an ? 满足 (Ⅰ)求数列 ?bn ?的通项 ;

?

2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ? ? ? ? ? 2n an ? 2bn


(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

18. (本小题满分 12 分) 某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴,每户贷款额为 2 万元,贷款期限有 6 个月、12 个月、18 个 月、24 个月、36 个月五种,这五种贷款期限政府分别需要补助 200 元、300 元、300 元、400 元、400 元, 从 2015 年 享受此项政策的困难户中抽取了 100 户进行了调查统计,选取贷款期限的频数如下表: 贷款期限 频数 6 个月 20 12 个月 40 18 个月 20 24 个月 10 36 个月 10

以上表各种贷款期限的频率作为 2014 年贫困家庭选择各种贷款期限的概率. (Ⅰ)某小区 2016 年共有 3 户准备享受此项政策,计算其中恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率; (Ⅱ)设给某享受此项政策的困难户补贴为 ? 元,写出 ? 的分布列,若预计 2016 年全市有 3.6 万户享受此 项政策,估计 2014 年该市共要补贴多少万元. 19. (本小题满分 12 分) 如图四棱锥 P ? ABCD 的底面是一等腰梯形,其中 AD // BC ,其中

AB ? DC ? 2 2 , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,PA ? PD ? 5 , 点O 是
直线 OB 且与直线 PA 平行的平面 OBM 与直线 PC 相交于点 M . (Ⅰ)确定实数 t ,使得 PM ? tMC ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 OBM 夹角的余弦值.

P

AD ? 3BC ? 6



线段 AD 的中点,经过

???? ?

???? ?

D

M C

O B A
3

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,焦距为 4 2 ,抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F a 2 b2 3 是椭圆 C1 的顶点. (Ⅰ)求 C1 与 C2 的标准方程; ??? ? ??? ? (Ⅱ) C1 上不同于 F 的两点 P , Q 满足 FP ? FQ ? 0 ,且直线 PQ 与 C2 相切,求 ?FPQ 的面积.
已知椭圆 C1 : 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a ? a ? 0, a ? 1? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若存在 x1 , x2 ?? ?1,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1( e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取 值范围. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ?ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底边上的高 AD 交 于点 G ,与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点. A

G E O B M D N C F

(Ⅰ)证明: EF / / BC ; (Ⅱ) 若 AG 等于 ? O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四 边形 EBCF 的面积.

23. ( 本小题满分 10 分)选修 4--4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为

??

sin ? cos 2 ?
4

( I)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(Ⅱ)过点 P(0,2)作斜率为 l 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求

1 1 的值. ? | PA | | PB |

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)若 f ( x ) 的最小值为 m ,设 a ? 0 , b ? 0 ,且 a ? b ? m ,求

1 2 ? 的 最小值. a b

5

参考答案 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 D 7 B 8 C 9 C 10 D 11 D 12 A

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.-1; 14.

5 ; 2

15. 4030 ;

16.

7 6 . 18

三、解答题 :解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(Ⅰ) 解法 1: 设 ?bn ?的公差为 d ,则 ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0 且 b6 ? b5 由?

???1 分 ???4 分

?b5 ? 12 ?b3 ? b8 ? 26 ?b5 ? b6 ? 26 得? 解得 ? ?b6 ? 14 ?b5b6 ? 168 ?b5b6 ? 168

???5 分 ? d ? b6 ? b5 ? 2 bn ? b5 ? (n ? 5)d ? 12 ? 2(n ? 5) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2 ???6 分 解法 2:设 ?bn ?的公差为 d ,则 ???1 分 ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0 由?

?b3 ? b8 ? 26 ? ?b1 ? 4 ?2b1 ? 9d ? 26 得? 解得 ? ? ?d ? 2 ?b5b6 ? 168 ?? b1 ? 4d ?? b1 ? 5d ? ? 168

???5 分

? bn ? b1 ? (n ?1)d ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2 ???6 分 b 2n ? 2 ? 4n ?1 (Ⅱ) 2 n ? 2 ???7 分 bn 2 3 n?1 n 由 2a1 ? 2 a2 ? 2 a3 ???? ? 2 an?1 ? 2 an ? 2 ??? ① b 得 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ???? ? 2n?1 an?1 ? 2 n?1 ????????? ② ???8 分 n n ?1 n n n n ? 2 n ? 2 ??9 分 ① -②得 2 an ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 , ? an ? 3 ? 2
又? a1 ?

?8 b1 ? 8 不符合上式 ? an ? ? n 2 ?3 ? 2

n ?1 n?2

???10 分

当 n ? 2 时, Sn ? 8 ? 3 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? 8 ? 3 ?

?

?

22 1 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4 1? 2
???11 分 ???12 分

?

?

? S1 ? 8 符合上式

? Sn ? 3 ? 2

n ?1

? 4,n?N*

18.解: (I)由已知一困难户选择贷款期限为 12 个月的概率是 0.4 , 所以小区 2016 年准备享受此项政策的 3 户恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率是
1 2 P 1 ? C3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.288 ;?????????????????????5 分

(Ⅱ) P(? ? 200) ? 0.2 , P(? ? 300) ? 0.6 , P(? ? 400) ? 0.2 ,???8 分 所以 ? 的分布列是:

?
P

200 0.2

300 0.6

400 0.2

6

E? ? 300 (元)????????????????????????12 分
所以估计 2016 年该市共要补贴 1080 万元. 19 . 解 : ( I ) 连 接 AC , 设 A C ? O B? N, 则 平 面 PAC ? 平 面 因为 PA // 平面 OBM ,所以 MN // PA ,

P O B M ? M N, M C

PM AN ? , MC NC 又 BC // AD ,所以△ONA ? △BNC , PM AN AO 3 ? ? ? ;??????5 分 所以 t ? MC NC CB 2 (Ⅱ)因为 PA ? PD ,所以 PO ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD , 设线段 BC 的中点为 E ,由 ABCD 是等腰梯形,所以 OE ? AD ,
因此 t ? 如图以点 O 为原点,OA, OE, OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 因为 OP ?

D

O N A B

轴,建立空间直角坐标系.

PA2 ? OA2 ? 4 , OE ? AB 2 ? (OA ? EB ) 2 ? 2

所以 A(3,0,0), B(1, 2,0), C (?1, 2,0) , D(?3, 0, 0) , P(0, 0, 4) ,???7 分 P 平面 PAD 的法向量 m ? (0,1,0) ,设平面 OBM 的法向量 n ? ( x, y, z) , 由 n ? OB ? x ? 2 y ? 0 ,由(1)得 n ? PA ? 3x ? 4 z ? 0 , 令 x ? 1 ,得 y ? ?

z
M C E B

??

?

?

??? ?

?

??? ?

D

? 1 3 1 3 , z ? ,即 n ? (1, ? , ) ,???10 分 2 4 2 4

y

O

1 ?? ? 2 2 所以 cos ? m, n ?? , ?? 1 9 29 1? 1 ? ? 4 16 ?
所以平面 PAD 与平面 OBM 夹角的余弦值是

A

x

2 29 .?????????12 分 29
, . 是椭圆 , ??????3 分

20.解: (I)设椭圆 解得 又抛物线 , :

的焦距为 ,故椭圆

,依题意有 的标准方程为

开口向上,故 ,故抛物线

的上顶点, . ??????5 分

的标准方程为

(II)显然,直线 ,则

的斜率存在. 设直线 ,

的方程为 ,

,设



7

, 即 ( )??????6 分

联立

,消去 整理得,



) .

依题意,



是方程( ,

)的两根, , ,



将 解得 联立

和 , (

代入( )得

不合题意,应舍去) .???????????????8 分 ,消去 整理得, ,

令 经检验, ,

,解得

. 符合要求.???????????????10 分

此时,



.???????? ?????????12 分
x x 21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ln a + 2x ? ln a ? 2x + (a ? 1)ln a .

??? 1 分

x 因为当 a ? 1 时, ln a ? 0 , a ? 1 ln a 在 R 上是增函数, x 因为当 0 ? a ? 1 时, ln a ? 0 , a ? 1 ln a 在 R 上也是增函数,

?

?

?

?

所以当 a ? 1 或 0 ? a ? 1 ,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数,

???2 分

又 f ?(0) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , f ' ? x ? ? 0 的解集为 ? ??,0 ? ,??? 3 分 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) ,单调减区间为 ? ??,0 ? . (Ⅱ)因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1 即可. ??? 5 分 ??? 4 分

8

又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x

( ??,0)

0 0
极小值

(0, +?)

f ?( x)
f ( x)

?
减函数

+
增函数

所 以 f ( x) 在 [ ?1, 0] 上 是 减 函 数 , 在 [0,1] 上 是 增 函 数 , 所 以 当 x ? [?1,1] 时 , f ? x ? 的 最 小 值

f ? x ?min ? f ? 0? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.???7 分

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ?1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) . 所以,当 a ?1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 , 函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是增函数,解得 a ≥ e ; ???10 分 ??? 9 分

1 a

1 ? ln a ≥ e ? 1 , a 1 1 函数 y ? ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] ? [e, +?) . e
当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即

???11 分 ???12 分

22. (Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线.又因为 ? O 分别与 AB 、

AC 相切于 E 、 F 两点,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF .
从而 EF / / BC .???????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 是 ? O 的弦,所以 O 在

AD 上.连接 OE , OM ,则 OE ? AE .由 AG 等于 ? O 的半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 300 .所
以 ?ABC 和 ?AEF 都是等边三角形. 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4 , OE ? 2 . 因为 OM ? OE ? 2 , DM ?

1 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 . 2

9

于是 AD ? 5 , AB ?

10 3 . 3 1 10 3 2 3 1 3 16 3 .????10 分 ?( ) ? ? ? (2 3) 2 ? ? 2 3 2 2 2 3

所以四边形 EBCF 的面积

23. (1)令 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 代入得 y ? x2

??5 分

? 2 t ?x ? ? 2 (2)设 A,B 两点对应参数为 t1,t2,直线 l 方程 ? ,代入 y ? x2 得 ?y ? 2 ? 2 t ? ? 2

t 2 ? 2t ? 4 ? 0, t1t2 ? ?4, t1 ? t2 ? 2 ,
(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 3 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??10 分 PA PB t1 t2 t1t2 4
24.解:

? ?2x, x ? ?1 3 ? (Ⅰ)因为 f (x ) ? x ? 1 ? x ? 1 ? ? 2, ?1 ? x ? 1 ,当 x ? ?1 时, ?2x ? 3,x ? ? 2 ? 2 x, x ? 1 ?
得?

3 3 3 ? x ? ?1 ,当 ?1 ? x ? 1 ,均满足,当 x ? 1 时, 2x ? 3,x ? ,则 1 ? x ? ,综上 2 2 2

?

3 3 3 3 ? x ? ,所以, f(x ) ? 3 的解集为{x ? ? x ? }; ??.5 分 2 2 2 2

(Ⅱ)由于当 ?1 ? x ? 1 , f (x )取得最小值 m=2 ,则 a ? b ? 2 ,下面做乘法:? a ? 0,b ? 0 ,则

1 2 1 2 a?b 1 b 2a 3 ? ? ( ? )? ? (3 ? ? ) ? ? 2 , (当且仅当 a ? 2 2 ? 2,b ? 4 ? 2 2 时取 a b a b 2 2 a b 2

等号) ,所以

1

a

?

2

b

的最小值为

3 ? 2 .????10 分 2

10


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