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2016届浙江省高三调研考试数学(理)试题


2016 届高三测试卷 数 学(理科)
姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共 40 分)


注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷 和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式 锥体的体积公式 V=

S ? 4πR

2

球的体积公式

1 Sh 3

4 V ? π R3 3
其中 R 表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 台体的体积公式

1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3
h 表示台体的高

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积,

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.直线 y ? ? 3x ? 1 的倾斜角是 A. C.
π 6

B. D.

π 3

2π 3

5π 6
4 3

2.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积等于 A.10 cm3 B.20 cm3 C.30 cm3 D.40 cm3

5 正视图 3 俯视图 (第 2 题图) 侧视图

3.已知 a , b 为异面直线.对空间中任意一点 P ,存在过点 P 的 直线 A. 与 a , b 都相交 B. 与 a , b 都垂直

C. 与 a 平行,与 b 垂直

D. 与 a , b 都平行

π 4.为得到函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? 2cos 2 x 的图象 4
π A. 向左平移 单位 4 π C. 向左平移 单位 8 π B. 向右平移 单位 4 π D. 向右平移 单位 8

(第 2 题

5.已知 f ( x), g ( x), h( x) 为 R 上的函数,其中函数 f ( x) 为奇函数,函数 g ( x) 为偶函数,则 A. 函数 h( g ( x)) 为偶函数 C. 函数 g (h( x)) 为偶函数 B. 函数 h( f ( x)) 为奇函数 D. 函数 f (h( x)) 为奇函数

2 6.命题“ ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 或 x0 ? x0 ? 0 ”的否定形式是

2 A. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 或 x0 ? x0 ? 0

B. ?x ? R , x ? 1 ? 0 或 x 2 ? x ? 0 D. ?x ? R , x ? 1 ? 0 且 x 2 ? x ? 0
l y Q F O

2 C. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 且 x0 ? x0 ? 0

x2 y 2 7 . 如图 , A , F 分 别是双 曲线 C:2 ? 2 ? 1 (a,b> 0) 的 左 a b
顶点、右焦点,过 F 的直线 l 与 C 的一条渐近线垂直且与另 一条渐近线和 y 轴分别交于 P,Q 两点.若 AP⊥AQ,则 C 的离心率是
A

x

P (第 7 题图)

A. 2 8.已知函数 f ( x) ? 2?

B. 3
a? x?
k

1 ? 13 C. 4

1 ? 17 D. 4

(a ? R) ,且 f (1) ? f (3) , f (2) ? f (3) .
B. 若 k ? 1 ,则 a ? 1 ? a ? 2 D. 若 k ? 2 ,则 a ? 1 ? a ? 2

A. 若 k ? 1 ,则 a ? 1 ? a ? 2 C. 若 k ? 2 ,则 a ? 1 ? a ? 2

非选择题部分 (共 110 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。

9. 若集合 A ? x | x2 ? x ? 6 ? 0 , B ? ?x | x ? 1? ,则 A ? B ? _______, (?R A) ? B ? _______. 10 .已知单位向量 e1 , e2 满足 e1 ? e2 ?
e1 ? ke2 ? _______.

?

?

1 .若 (5e1 ? 4e 2 ) ? ( e 1 ? ke 2 ) ( k ? R ),则 k ? _______ , 2

11.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,前 n 项和为 Sn .若 2a3 , a5 ,3a4 成等差数列, a2 a4 a6 ? 64 , 则 q ? _______, Sn ? _______.
? x ? 2, ? 12.设 z ? ? 2x ? y ,实数 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, 若 z 的最大值是 0,则实数 k =_______, z 的最 ?2 x ? y ? k . ?

小值是_______. 13.若实数 a , b 满足 4a ? 3b ? 6 ,则
1 2 ? ? _______. a b

14.设 A(1,0),B(0,1),直线 l:y=ax,圆 C:(x-a)2+y2=1.若圆 C 既与线段 AB 又与直 线 l 有公共点,则实数 a 的取值范围是________. 15.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , a, b, c ? R ,且 a ? 0 .记 M (a,b,c) 为 f ( x) 在 ?0,1? 上的最大 值,则
a ? b ? 2c 的最大值是_______. M ( a , b, c )

三、 解答题: 本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c . 已知 a cos B ? b cos A , 边 BC 上的中线长为 4. π (Ⅰ) 若 A ? ,求 c ; 6 (Ⅱ) 求 ?ABC 面积的最大值. 17.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD= 10 . (Ⅰ) 证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ) 若二面角 A-PC-D 的大小为 60° ,求 AP 的值.
B (第 17 题图) C A D P

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 为 f ( x) 的最小值. (Ⅰ) 求 f ( x) 的单调递增区间;

x2 ? ax ? b2 ( x ??0, ???) , ab ,) 其中 a ? 0 ,b ? R . 记M( x?a

(Ⅱ) 求 a 的取值范围,使得存在 b ,满足 M (a, b) ? ?1 .

19. (本题满分 15 分)已知 A, B 为椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 上两个不同的点,O 为坐标原点.设直线 2
B y A

OA, OB, AB 的斜率分别为 k1 , k2 , k .
(Ⅰ) 当 k1 ? 2 时,求 OA ; (Ⅱ) 当 k1k2 ? 1 ? k1 ? k2 时,求 k 的取值范围. 20. (本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,

O

x

an ?1 ?

1 2an ? 1

(n ? N*) .

(第 19 题图)

? 1? (Ⅰ) 证明:数列 ? an ? ? 为单调递减数列; 2? ?
(Ⅱ) 记 Sn 为数列 ? an?1 ? an ? 的前 n 项和,证明: Sn ?

5 (n ? N*) . 3

测试卷 数学试题(理科)参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。 1.C 5.A 2.B 6.D 3.B 7.D 4.D 8.D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,满分 36 分。 9. {x | x ? ?2} , {x | x ? 3} 10.2, 7 12.4, ?4

1 11.2, (2n ? 1) 2
13.2 15.2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。

14.[ 1 ? 2 ,

1? 5 ] 2

16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。 满分 14 分。 (Ⅰ) 由 a cos B ? b cos A 及正弦定理得
sin A cos B ? sin B cos A ,

.........1 分

所以
sin( A ? B) ? 0 ,


B? A? π , 6

.........3 分

所以 c ? 3a ,由余弦定理得
a a π 16 ? c2 ? ( )2 ? 2c ? cos , 2 2 6

解得
c? 8 21 . .........6 分 7

a a (Ⅱ) 由 A ? B 知 c ? 2 a cos A ,及 16 ? c2 ? ( )2 ? 2c ? cos A ,解得 2 2 a2 ? 64 . 1 ? 8cos2 A

.........8 分

所以 ?ABC 的面积

1 64sin A cos A . .........10 分 S ? ac sin A ? 2 2 sin A ? 9cos2 A

由基本不等式得
S? 32 ,.........13 分 3

当且仅当 sin A ? 3cos A 时,等号成立. 所以 ?ABC 面积的最大值为
32 . .........14 分 3

17.本题主要考查空间线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空 间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 设 O 为 AC 与 BD 的交点,作 DE⊥BC 于点 E.由四边形 ABCD 是等腰梯形得 CE= 所以 BE=DE,从而得 ∠DBC=∠BCA=45° ,.........5 分 所以∠BOC=90° ,即 AC⊥BD. .........6 分
B

BC ? AD =1, DE= DC 2 ? CE 2 =3,.........3 分 2

P

A O

H

D

E (第 17 题图)

C

由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC. .........7 分 方法一: (Ⅱ) 作 OH⊥PC 于点 H,连接 DH. 由(Ⅰ)知 DO⊥平面 PAC,故 DO⊥PC. 所以 PC⊥平面 DOH,从而得 PC⊥OH,PC⊥DH. 故∠DHO 是二面角 A-PC-D 的平面角,所以∠DHO=60° . 在 Rt△DOH 中,由 DO= 2 ,得 OH= 在 Rt△PAC 中, .........11 分

6 . 3

.........12 分

3 x PA OH = .设 PA=x,可得 = ..........14 分 2 6 PC OC x ? 18

解得 x= 方法二:

3 22 ,即 11

AP=

3 22 . 11

.........15 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 AC⊥BD.以 O 为原点,OB,OC 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角坐标系 O -xyz,如图所示..........8 分 由题意知各点坐标如下: A(0,- 2 ,1), B( 2 2 ,0, 0),
A O B x C D z P

y

C(0, 2 2 ,0),

D(- 2 ,0, 0)..........9 分

由 PA⊥平面 ABCD,得 PA∥z 轴,故设点 P(0,- 2 ,t) (t>0). 设 m=(x,y,z)为平面 PDC 的法向量, ??? ? ??? ? 由 CD =(- 2 ,- 2 2 ,0), PD =(- 2 , 2 ,-t) 知

? ? 2 x ? 2 2 y ? 0, ? ? ? ?? 2 x ? 2 y ? tz ? 0.
取 y=1,得 m=(-2,1,

3 2 ). t

.........12 分 .........13 分

又平面 PAC 的法向量为 n=(1,0,0),于是 |m ? n| 2 1 |cos< m,n>|= = = . | m |?| n | 2 18

解得 t=

3 22 ,即 11

t2 3 22 AP= . 11

5?

.........15 分

18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理 论证能力,分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 由题意得

f ( x) ? x ? a ?

2a2 ? b2 ? 3a, x ??0, ??? ..........2 分 x?a

所以,当 2a 2 ? b2 ? a 2 时,即当 a 2 ? b2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?0, ?? ? ;.........5 分
2 2 当 a 2 ? b2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? 2a ? b ? a, ?? . .........7 分 ?

?

(Ⅱ)由 f ( x) 的单调性得

? b2 a 2 ? b2 , ?? , M ( a, b) ? ? a ?2 2a 2 ? b2 ? 3a, a 2 ? b2 . ?
由?

.........10 分

b2 ? ?1 与 a 2 ? b2 得 a
0 ? a ?1 ,

.........12 分

由 2 2a2 ? b2 ? 3a ? ?1 与 a 2 ? b2 得

1 ? a ? 3 ? 2 2 . .........14 分
综上, a 的取值范围为 0,3 ? 2 2 ? ?.

?

.........15 分

19.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何

的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ)由直线 OA 斜率 k1 ? 2 ,得直线 OA 的方程为
y ? 2x ,

.........2 分
2 , 9
10 . .........5 分 3

代入椭圆方程得
x2 ?

所以
OA ? x 2 ? (2 x) 2 ?

(Ⅱ) 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? b .
? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 2 消去 y 得 ? y ? kx ? b, ?

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0 .
故 ? ? 16k 2 ? 8b2 ? 8 ? 0 ,且
4kb ? x1 ? x2 ? ? 2 , ? ? 2k ? 1 ? 2 ? x x ? 2b ? 2 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?

.........7 分



.........9 分

由 k1 ? k2 ? k1k2 ? 1 得
x2 y1 ? x1 y2 ? y1 y2 ? x1 x2 ,

将 y1 ? kx1 ? b , y2 ? kx2 ? b 代入得

(k 2 ? 2k ? 1) x1 x2 ? b(k ? 1)( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 ,
将①代入②得
b2 ? ?2k 2 ? 4k ? 2 .



.........12 分

联立 ? ? 0 与 b 2 ? 0 得
2 ? ?4k ? 4k ? 1 ? 0, ? 2 ? ??2k ? 4k ? 2 ? 0,

.........13 分

解得 k 的取值范围为
? ? 1? 2 ? ?1? 2 ?? ,1 ? 2 ? ..........15 分 ? ?1 ? 2, ? ? 2 ? ? 2 ? ?

20.本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能 力、分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。 (Ⅰ)由题意知 an ? 0 ,故
an ?1 ? 1 1 2 ? ?1, 1 2an ? 1 an ? 2

.........6 分

所以数列 ? an ?

? ?

1? ? 为单调递减数列. 2?

1 (Ⅱ) 因为 a1 ? 1 , a2 ? ,所以,当 n ? 3 时 3

an ?


1 1 ? , 2 6

1 2 ? an ? , 3 3


an ? 1 (n ? N*) . .........8 分 3

因为

an ? 2 ? an ?1 an ?1 ? an

?

2 6 ? , 2an ? 3 11

.........11 分



6 an?1 ? an ? a2 ? a1 ? ( )n?1 ..........13 分 11

所以

6 1 ? ( )n 11 ? 22 ? 5 (n ? N*) . .........15 分 Sn ? a2 ? a1 ? 6 15 3 1? 11


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