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学生版解析几何直线位置关系


第二讲

两条直线的位置关系

★知识梳理★ 1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论) ①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一 条直线的斜率为 0,则这两条直线垂直. ②已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2: y ? k2 x ? b2 , 若 l1 ,

与 l 2 相交,则 若 l1 // l2 ,则 2.几个公式 ①已知两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 | P 1P 2 |? ②设点 A( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, 点 A 到直线 l 的距离为 d ? ③设直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0, l2 : Ax ? By ? C? ? 0(C ? C?), 则 l1 与 l 2 间的距离 d ? 3.直线系 ① 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为 ②与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为 ; ; 且 ; 若 l1 ? l2 ,则 ; 若 l1 与 l 2 重合,则 ; 且

③过两直线 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 的交点的直线系方程为 ★重难点突破★ 重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件;掌握两点之间的距离公式,点到直线的距离 公式,会求两条平行线之间的距离. 难点:判断两条直线位置关系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式 解题 重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程 (1) 在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键 是要树立检验的意识. ①要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形; ②要考虑两条直线平行时不能重合; 问题 1:已知直线 l1 : x ? m y ? 6 ? 0 ,l2 : (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 , m 为何值时,l1 与 l 2 平
2



(2):已知点 P(2,1)求过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程

(3)在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使 用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的 x、 y 的系数对应相等 问题 2:求直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离

(4)处理动直线过定点问题的常用的方法: ①将直线方程化为点斜式②化为过两条直线的交 点的直线系方程③特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点④从“恒成 立”入手,将动直线方程看作对参数恒成立。 问题 3:求证:直线 (2m ? 8m ? 3) x ? (3m ? m ? 4) y ? 4m ? 6m ? 11 ? 0 恒过某定点,并
2 2 2

求该定点的坐标.

★热点考点题型探析★ 考点 1:两直线的平行与垂直关系 题型: 判断两条直线平行与垂直 [例 1 ] 已知直线 l1 :3mx+8y+3m-10=0 和 l2 : x+6my-4=0 问 m 为何值时 (1) l1 与 l2 相 交(2) l1 与 l2 平行(3) l1 与 l2 垂直;

【名师指引】判断两条直线的位置关系,一般要分类讨论,分类讨论要做到不重不漏,平时 要培养分类讨论的“意识” [例 2 ] 已知 △ ABC 三边的方程为: AB : 3x ? 2 y ? 6 ? 0 , AC : 2 x ? 3 y ? 22 ? 0 ,

BC : 3x ? 4 y ? m ? 0 ;

(1)判断三角形的形状; (2)当 BC 边上的高为 1 时,求 m 的值。

【名师指引】 (1)一般地,若两条直线的方向(斜率、倾斜角、方向向量)确定,则两条直 线的夹角确定(2)在三角形中求直线方程,经常会结合三角形的高、角平分线、中线 【新题导练】 1.已知直线 l1 : ax ? by ? c ? 0 ,直线 l2 : mx ? ny ? p ? 0 ,则“ an ? bm ”是“直线 l1 // l2 ” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

2.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为( A.0 B.-8 C.2 D.10

3. “m=

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( 2

)

A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [点评]还要考虑斜率不存在的情形 4. (山东省枣庄市 2008 届高三第一次调研考试) 已知直线 l 的倾斜角为

3 ? ,直线 l1 经过点 A(3,2), B(a,?1),且l1与l 垂直,直线 2 l2: 4 , ( ) 2x ? by ? 1 ? 0与直线l1平行,a ? b 等于 4
A.-4 B.-2 C.0 D.2 , 6

考点 2 点到直线的距离 题型:利用两个距离公式解决有关问题 [例 3 ] 已知直线 l : (2a ? b) x ? (a ? b) y ? a ? b ? 0 及点 P(3,4) (1)证明直线 l 过某定点,并求该定点的坐标 (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时,求直线 l 的方程

【名师指引】 (1)斜率不定的动直线,都应考虑是否过定点 (2)处理解析几何的最值问题,一般方法有:函数法;几何法 [例 4 ] 已知三条直线 l1 : 2x ? y ? a ? 0 ? a ? 0? l2 : ?4 x ? 2 y ? 1 ? 0 若 l1 与 l2 的距离是 (1)求 a 的值 (2)能否找到一点 P 使得 P 同时满足下列三个条件①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离 是 P 点到 l2 的距离的

l3 : x ? y ?1 ? 0 ,

7 5 10

1 ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离的之比是 2 : 5 ;若能,求 P 2

点坐标;若不能,说明理由。

【名师指引】 (1)在条件比较多时,思路要理顺; (2)解混合组时,一般是先解方程,再验 证不等式成立 6. 点 P(4cos ? ,3sin ? ) 到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值等于

7. 与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离为

5 的直线方程为 5

8. 两平行直线 l1 , l2 分别过点 P(-1,3) ,Q(2,-1)它们分别绕 P,Q 旋转,但始终保持 平行,则之 l1 , l2 间的距离的取值范围是( A. ? 0, ??? B.(0,5) ) C. ? 0,5? D. 0, 17

?

?

9.求过原点且与两定点 A(?1,1), B(3,?2) 距离相等的直线 l 的方程

考点 3 直线系 题型 1:运用直线系求直线方程 [例 5 ]求过直线 l1 : 3x ? 5 y ? 3 ? 0 和 l2 : 3x ? 5 y ? 8 ? 0 的交点, 且与直线 x ? 4 y ? 7 ? 0 垂 直的直线方程和平行的直线方程。

【名师指引】 (1)使用直线系方程可以回避解方程组,从而达到减少运算量的目的 (2)注意直线系 5x ? 2 y ? 3 ? 0 ? ? (3x ? 5 y ? 8) ? 0 不表示直线 l2 : 3x ? 5 y ? 8 ? 0 ,这是 一个容易丢解的地方 题型 2:动直线过定点问题 [例 6 ]已知圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25 ,直线 l : ? 2m ? 1? x ? ? m ? 1? y ? 7m ? 4 ? 0
2 2

? m ? R? ⑴证明不取何值,直线 l 过定点

⑵证明直线 l 恒与圆 C 相交

【名师指引】在处理动直线过定点问题时,分离参数,转化为过两条定直线的交点的直线系 是简单易行的方法 10、方程 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k) y ? 2 ?14 k ? 0 所确定的直线必经过点 A. (2,2) B.(-2,2) C.(-6,2) D.(3,-6)

11.已知为 m 实数,直线 l : (2m+1)x+(1-m)y-(4m+5)=0, P(7,0) ,求点 P 到直线 l 的 距离 d 的取值范围。 12.直线 l 经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 2 ? 0与l2 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的交点, 且与坐标轴围成的三角 形是等腰直角三角形,求直线 l 的方程

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基础巩固训练 1、若过点 A(4, sin ? ) 和 B(5, cos? ) 的直线与直线 x ? y ? c ? 0 平行,则 | AB | 的值为

A.6

B. 2

C.2

D. 2 2

2、 已知三条直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0, 三角形,则 m 的值是 A. ? 1 或 ?

2x ? 3m 2 y ? 18 ? 0 和 2m x ? 3 y ? 12 ? 0 围成一个直角
4 9 4 9 4 9

4 9

B.-1 或 ?

C.0 或-1 或 ?

D.0 或 ? 1 或 ?

3、若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取 值范围是( A.[ , ) 6 3 ) B.( , ) 6 2

? ?

? ?

C.( , ) 3 2

? ?

D.[ , ) 6 2

? ?

4、点 P(x,y)在直线 4x + 3y = 0 上,且满足-14≤x-y≤7,则点 P 到坐标原点距离的 取值范围是( A. [0,5] ) B. [0,10] C. [5,10] D. [5,15]

5、设 A ? {( x, y) | y ? a | x |} , B ? {( x, y) | y ? x ? a} ,若 A ? B 仅有两个元素,则实数 a 的取值范围是

6、求经过直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 和 3x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且与原点距离为 2 的直线方程

综合提高训练 7、已知直线 l1 : x ? 3 y ? 7 ? 0, l2 : y ? kx ? b 与 x 轴 y 轴正半轴所围成的四边形有外接圆, 则k ? , b 的取值范围是

8、已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0, l2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0 ,求分别满足下列条件的 a 、b 的 值. (1)直线 l1 过点 (?3, ?1) ,并且直线 l1 与直线 l2 垂直;

(2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1 、 l2 的距离相等.

9、 (华南师大附中 2007—2008 学年度高三综合测试(三) )如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN, 要求 B 在 AM 上, D 在 AN 上, 且对角线 MN 过 C 点, |AB|=3 米,|AD|=2 米. (Ⅰ)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AM 的长应在什么范围内? (Ⅱ)当 AM、AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. 以 AM、AN 分别为 x、y 轴建立直角坐标系,

10.已知点 A(1,4) ,B(6,2) ,试问在直线 x-3y+3=0 上是否存在点 C,使得三角形 ABC 的面 积等于 14?若存在,求出 C 点坐标;若不存在,说明理由。


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