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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题

时间:2016-09-26


高中数学选修 2----2 知识点
第一章 知识点:
一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是

导数及其应用

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

/>
我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 , 即 f ?( x0 ) = lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

P 时,直线 PT 与曲 2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P n 趋近于
线相切。容易知道,割线 PP n 的斜率是 kn ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) P 时,函数 ,当点 P n 趋近于 xn ? x0 f (x n) ?f (x ) 0 ? f( ?x) 0 xn ? x0

y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k, 即k ? l i m

?x ?0

3. 导函数: 当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数, 我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有时也记作 y? ,即 f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

考点:无 知识点:
二.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x
?

? ?1

;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 5 若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a
x x

6 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e
x

x

1 x ln a 1 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
x 7 若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

2)导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) 3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

3)复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)

考点:导数的求导及运算
★1、已知

f ? x ? ? x2 ? 2x ? sin ? ,则 f ' ? 0? ?
f ' ? x? ?

19 3

★2、若 f ? x ? ? e x sin x ,则 ★3. f ( x) =ax3+3x2+2 ,
A. 10 3 B. 13 3

f ?(?1) ? 4 ,则 a=(
C. 16 3 D.

★★4.过抛物线 y=x2 上的点 M ( , ) 的切线的倾斜角是() A.30° B.45° D.90°
3

1 1 2 4 C.60°

9 2 x ? 3与 y ? 2 ? x 在 x ? 2 三.导数在研究函数中的应用
★★5.如果曲线 y ?

x0 处的切线互相垂直,则 x0 =

知识点:
1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是:

(1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个 最大值,最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点:1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用 ★1.曲线 y ? x 3 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3,则 P 点为( A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1) )

C.(2,8) ★ 2. 曲线 y ? ( )

1 1 D.(- 2 ,- 8 )

1 3 x ? x 2 ? 5 ,过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为 3

? A. 6

? B. 4

? C. 3
3 2

3 ? D. 4

二、题型二:导数在单调性中的运用 ★1.(05 广东卷)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为( A. (2, ??) B. (??, 2)
3

)

C. (??, 0)
2

D. (0, 2) )

★2.关于函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,下列说法不正确的是( A.在区间( ? ? ,0)内, f ( x) 为增函数

B.在区间(0,2)内, f ( x) 为减函数

? (2,??) 内, f ( x) C.在区间(2, ? ? )内, f ( x) 为增函数 D.在区间( ? ? ,0)

为增函数

? ★★3. (05 江西)已知函数 y ? xf ( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数),
下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是(

y

1

x
1 2

-2

-1

O -1

y
2 2 1

y
4

y
4 2 1

y

O
-2
-1

x
1 2 -2 -1

O
1

1

x
2

2 1 -2 -1 O

x

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x

A

B

C

D

★★★4、 (2010 年山东 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ? (Ⅰ)当 a

1? a ? 1(a ? R). x

? ?1时,求曲线 y ? f ( x)在点(2, f (2))处的切线方程;

(Ⅱ)当 a≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2
3 2

三、导数在最值、极值中的运用: ★1.(05 全国卷Ⅰ)函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则

a =(
A.2

) B. 3
3 2

C. 4

D.5 )

★2.函数 y ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16

★★★3.(根据 04 年天津卷文 21 改编)已知函数 数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值-2.

f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0)

是 R 上的奇函

(1)试求 a、c、d 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间和极大值; ★ ★ ★ 4. ( 根 据 山 东 2008 年 文 21 改 编 ) 设 函 数 f ( x) ? x e
2 x ?1

? ax3 ? bx2 , 已 知

x ? ?2和x ? 1 为 f ( x) 的极值点。
(1)求 a , b 的值;

(2)讨论 f ( x) 的单调性;


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