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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第8章 第8节 曲线与方程课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 8 章 第 8 节 曲线与方程 课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1.(2014·徐州调研)若直线 y=kx-2 与抛物线 y =8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2,则 k=________. [解析] 由?
? ?y=kx-2 ?y =8x ?

>2 2

消 y 得 k x -4(k+2)x+4=0,由题意得

2 2

4?k+2? 2 2 Δ =[-4(k+2)] -4k ×4=64(1+k)>0 解得 k>-1,且 x1+x2= =4 解得 k 2

k

=-1 或 k=2,故 k=2. [答案] 2 2.点 P 是圆(x-4) +(y-1) =4 上的动点,O 是坐标原点,则线段 OP 的中点 Q 的轨迹 方程是________. [解析] 设 P(x0,y0),Q(x,y),则 x= ,y= ,∴x0=2x,y0=2y,∵(x0,y0)是圆 2 2 上的动点,
2 2

x0

y0

? 1?2 2 2 2 2 2 ∴(x0-4) +(y0-1) =4.∴(2x-4) +(2y-1) =4.即(x-2) +?y- ? =1. ? 2? ? 1?2 2 [答案] (x-2) +?y- ? =1 ? 2?
3.(2014·宿迁质检)设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 x 轴上,抛物线上的点 P(2,

k)与点 F 的距离为 3,则抛物线方程为________.
[解析] ∵xP=2>0,∴设抛物线方程为 y =2px, 则|PF|=2+ =3,∴ =1,∴p=2. 2 2 [答案] y =4x 4.动点 P 到两坐标轴的距离之和等于 2,则点 P 的轨迹所围成的图形面积是________. [解析] 设 P(x,y),则|x|+|y|=2.它的图形是一个以 2 2为边长的正方形,故 S= (2 2) =8. [答案] 8 5.已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.则求动圆圆心的轨迹 C 的
2 2 2

p

p

1

方程为________. [解析] 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,

当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点. ∴|O1M|= x +4 , 又|O1A|= ?x-4? +y , ∴ ?x-4? +y =
2 2 2 2 2 2 2

x2+42,

化简得 y =8x(x≠0). 当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0) 也满足方程 y =8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x. [答案] y =8x 6.(2014·盐城调研)如图 8?8?3 所示,已知 C 为圆(x+ 2) +y =4 的圆心, 点 A( 2 , → → → → 0),P 是圆上的动点,点 Q 在直线 CP 上,且MQ·AP=0,AP=2AM.当点 P 在圆上运动时,则 点 Q 的轨迹方程为________.
2 2 2 2 2

图 8?8?3 [解析] 圆(x+ 2) +y =4 的圆心为 C(- 2,0),半径 r=2, → → → → ∵MQ·AP=0,AP=2AM,∴MQ⊥AP,点 M 是线段 AP 的中点,即
2 2

MQ 是 AP 的中垂线,连接 AQ,则|AQ|=|QP|,
∴||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2, 又|AC|=2 2>2,根据双曲线的定义, 点 Q 的轨迹是以 C(- 2,0),A( 2,0)为焦点,实轴长为 2 的双曲线,由 c= 2,a =1,得 b =1,因此点 Q 的轨迹方程为 x -y =1. [答案] x -y =1 7.已知抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,经过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,过 A、
2 2 2 2 2 2

2

B 两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为 M.则点 M 的轨迹方程为________. x1? ? x2? 1 2 ? 2 [解析] 设 M(x,y),A?x1, ?,B?x2, ?,显然 x1≠x2,由 x =4y,得 y= x ,∴y′ 4? ? 4? 4 ?
1 x1 x1 x1 x1 = x,于是过 A、B 两点的切线方程分别为 y- = (x-x1),即 y= x- 2 4 2 2 4
2 2 2 2

①,y- = 4 2

x2 x2 2

(x-x2),即 y= x- 2 4

x2

x

2 2

x +x ? ?x= 2 ②,由①②解得? xx ?y= 4 ?
1 1 2

2

③,设直线 l 的方程为 y=kx

+1, 由?
? ?x=2k ? ?y=-1 ? ? ?y=kx+1 ?x =4y ?
2

,得 x - 4kx - 4 = 0 ,∴ x1 + x2 = 4k , x1x2 =- 4

2

④,④代入③得

,即 M(2k,-1),

故点 M 的轨迹方程是 y=-1. [答案] y=-1 8.(2014·江苏泰州中学期末)若椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)和 C2: 2+ 2=1(a2>b2>0) 是焦点相同且 a1>a2 的两个椭圆,有以下几个命题:①C1,C2 一定没有公共点;② > ;③
2 2 2 a2 1-a2=b1-b2;④a1-a2<b1-b2,其中所有真命题的序号为________.

x2 y2 a1 b1

x2 y 2 a2 b2

a1 b1 a2 b2

[解析] 由题意得 a1-b1=a2-b2.因为 a1>a2,所以 b1>b2,C1,C2 一定没有公共点;因为

2

2

2

2

a1 b1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1>a2,b1>b2,所以 > 不一定成立;由 a2 1-b1=a2-b2得 a1-a2=b1-b2;由 a1-a2=b1-b2得 a2 b2
(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2),因为 a1+a2>b1+b2,所以 a1-a2<b1-b2. [答案] ①③④ 二、解答题 9.(2012·辽宁高考)如图 8?8?4,动圆 C1:x +y =t 1<t<3,与椭圆 C2: +y =1 相 9 交于 A,B,C,D 四点,点 A1,A2 分别为 C2 的左,右顶点.
2 2 2,

x2

2

图 8?8?4 (1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积.
3

(2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. [解] (1)设 A(x0,y0),则矩形 ABCD 的面积 S=4|x0|·|y0|.
2 2

由 +y0=1 得 y0=1- , 9 9

x2 0

x2 0

x0 1 2 9 2 9 2 2 2 从而 x0y0=x0(1- )=- (x0- ) + . 9 9 2 4
9 2 1 2 当 x0= ,y0= 时,Smax=6. 2 2 从而 t= 5时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 6. (2)由 A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线 AA1 的方程为 y= ① 直线 A2B 的方程为 y=
2 2

2

y0

x0+3

(x+3).

-y0 (x-3). x0-3

② ③

-y0 2 由①②得 y = 2 (x -9). x0-9 又点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,故 y =1- . 9 将④代入③得 -y =1(x<-3,y<0). 9
2 0

x2 0



x2

2

因此直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程为 -y =1(x<-3,y<0). 9 |x| |y| 10.(2014·南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设曲线 C1: + (a>b>0)所围成

x2

2

a

b

2 2 的封闭图形的面积为 4 2,曲线 C1 上的点到原点 O 的最短距离为 .以曲线 C1 与坐标轴的 3 交点为顶点的椭圆记为 C2. (1)求椭圆 C2 的标准方程; (2)设 AB 是过椭圆 C2 中心 O 的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线 M 是 l 上的点(与 O 不 重合). ①若|MO|=2|OA|,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 的轨迹方程; ②若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求△AMB 面积的最小值.

[解]

?2ab=4 2, (1)由题意得? ab 2 2 = ? a +b 3 .
2 2

又 a>b>0,解得 a =8,b =1,因此所求椭

2

2

圆的标准方程为 +y =1. 8
4

x2

2

→ → → → (2)①设 M(x,y),A(m,n),则由题设知|OM|=2|OA|,OA·OM=0, 1 ? ?m =4y , 解得? 1 ?n =4x . ?
2 2 2 2

? ?x +y =4?m +n ?, 即? ?mx+ny=0, ?

2

2

2

2

因为点 A(m,n)在椭圆 C2 上,所以 +n =1. 8

m2

2

y2
4 1 2 x y 即 + x =1,亦即 + =1, 8 4 4 32 所以点 M 的轨迹方程为 + =1. 4 32 ②设 M(x,y),则 A(λ y,-λ x)(λ ∈R,λ ≠0), 因为点 A 在椭圆 C2 上,所以 λ (y +8x )=8, 8 2 2 即 y +8x = 2,(ⅰ) λ 又 x +8y =8,(ⅱ) 1? 8? 2 2 (ⅰ)+(ⅱ)得 x +y = ?1+ 2?, 9? λ ? 1 ? 16 8 ? 2 2 所以 S△AMB=OM·OA=|λ |(x +y )= ·?|λ |+ ≥ . |λ |? 9 ? ? 9 16 当且仅当 λ =±1 时,(S△AMB)min= . 9 [B 级 能力提升练] 一、填空题
2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 y2 1.(2014·苏州模拟)如图 8?8?5,已知 F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b
焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x +y =b 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则 椭圆 C 的离心率为________.
2 2 2

图 8?8?5

5

[解析]
2 2

1 2 由题意得 OQ=b= PF1,则 PF2=2a-PF1=2a-2b,QF2=a-b,所以(a-b) 2
2 2 2 2

+b =c ,解得 2a=3b,则 4a =9b =9a -9c ,得 e= [答案] 5 3
2

5 . 3

2.(2014·南师附中调研)已知抛物线 y =4x,点 A(5,0).点 O 为坐标原点,倾斜角为 π 的直线 l 与线段 OA 相交但不过 O,A 两点,且交抛物线于 M,N 两点,则△AMN 的面积的 4 最大值为________. [解析] 设直线 l 的方程为 y=x+b(-5<b<0),联立方程? Δ =4 -16b>0 ? ? 4y+4b=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则?y1+y2=4 ? ?y1y2=4b
2

?y =4x ? ? ?y=x+b

2

消去 x,得 y -

2

,设直线 l 与 OA 的交点为 P,

1 1 则 P( - b,0) , S △ AMN = |PA||y1 - y2| = (5 + b)· 16-16b = 2(5 + b) 1-b . 设 1-b = 2 2
2 2 3 2 t(t≥0). 则 b=1-t , 所以 S△AMN=f(t)=2(6-t )t=12t-2t , 则 f′(t)=12-6t , 令 f′(t)

=0,则 t= 2(- 2舍去),此时 S△AMN=12× 2-2×( 2) =8 2,b=1-( 2) =-1, 即 b=-1 时,直线 l:y=x-1.故△AMN 的面积的最大值为 8 2. [答案] 8 2 二、解答题 1 ?1 ? 3.在平面直角坐标系中,已知点 A? ,0?,向量 e=(0,1),点 B 为直线 x=- 上的动 2 ?2 ? → → → → → → 点,点 C 满足 2OC=OA+OB,点 M 满足BM·e=0,CM·AB=0. (1)试求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设点 P 是轨迹 E 上的动点,点 R,N 在 y 轴上,圆(x-1) +y =1 内切于△PRN,求 △PRN 面积的最小值. [解] → → → ? 1 ? ? m? (1)设 B?- ,m?,C(x1,y1),M(x,y),由 2OC=OA+OB,得 C?0, ?. ? 2 ? ? 2?
2 2

3

2

?→ BM·e=0, ∴? → ?→ CM·AB=0,

y=m, ? ? ? ? m2 x= , ? ? 2
2

消去 m 得轨迹 E 的方程为 y =2x. (2)设 P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且 b>c,∴直线 PR 的方程为(y0-b)x-x0y+x0b
6

=0. 圆(x-1) +y =1 内切于△PRN,则圆心(1,0)到直线 PR 的距离为 1. ∴ |y0-b+x0b| ?y0-b? +x0
2 2 2 2 2

=1,注意到 x0>2,上式化简得(x0-2)b +2y0b-x0=0,
2

2

同理可得(x0-2)c +2y0c-x0=0.∴b,c 为方程(x0-2)x +2y0x-x0=0 的两根. 2y0 x0 4x0+4y0-8x0 2 ∴b+c= ,bc= ,(b-c) = 2 . 2-x0 2-x0 ?x0-2? 又 y0=2x0,∴b-c=
2 2 2

2x0 1 x0 4 ,∴S△PRN= (b-c)x0= =(x0-2)+ +4≥8, x0-2 2 x0-2 x0-2

2

当且仅当 x0=4 时取等号,∴△PRN 面积的最小值为 8.

7


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