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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《1.2.1 充分条件与必要条件》导学案


§ 1.2.1

充分条件与必要条件

学习目标 1. 理解必要条件和充分条件的意义; 2. 能判断两个命题之间的关系. 学习过程 一、课前准备 复习 1:请同学们画出四种命题的相互关系图.

复习 2:将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改 写为“若 p ,则 q ”的形式,并写出它的逆命题、否

命题、逆否命题并判断它们 的真假.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:充分条件和必要条件的概念 问题: 1. 命题“若 x ? a2 ? b2 ,则 x ? 2ab ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 2. 1.命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q:

(3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 新知:一般地, “若 p ,则 q ”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q .我们就 说,由 p 推出 q ,记作 p ? q ,并且说 p 是 q 的 ,q是 p 的 试试:用符号“ ? ”与“ ”填空: 2 2 (1) x ? y x? y; (2) 内错角相等 两直线平行; (3) 整数 a 能被 6 整除 a 的个位数字为偶数; (4) ac ? bc a ?b. ※ 典型例题 例 1 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x ? 1 ,则 x2 ? 4x ? 3 ? 0 ; (2)若 f ( x) ? x ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x 2 为无理数.

练习:下列“若 P ,则 q ”的形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若 x ? 5 ,则 x ? 10

例 2 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等; (3)若 a ? b ,则 ac ? bc

练习:下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数;

(2)若 ( x ? a)( x ? b) ? 0 ,则 x ? a .

小结:判断命题的真假是解题的关键. ※ 动手试试 练 1. 判断下列命题的真假. (1) x ? 2 是 x2 ? 4x ? 4 ? 0 的必要条件; (2)圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (3) sin ? ? sin ? 是 ? ? ? 的充分条件; (4) ab ? 0 是 a ? 0 的充分条件.

练 2. 下列各题中, p 是 q 的什么条件? (1) p : x ? 1 , q : x ? 1 ? x ? 1 ; (2) p : | x ? 2 |? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ; (3) p : x ? 2 , q : x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p :三角形是等边三角形, q :三角形是等腰三角形.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展 设 A, B 为两个集合,集合 A ? B ,那么 x ? A 是 x ? B 的 条件. x ? A的

条件, x ? B 是

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件?( ). A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直 2. x, y ? R ,下列各式中哪个是“ xy ? 0 ”的必要条件?( ). 2 2 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x3 ? y3 ? 0 3.平面 ? // 平面 ? 的一个充分条件是( ). A.存在一条直线 a, a // ? , a // ? B.存在一条直线 a, a ? ? , a // ? C.存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? D.存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? 4. p : x ? 2 ? 0 , q : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , p 是 q 的 条件. 5. p :两个三角形相似; q :两个三角形全等, p 是 q 的 课后作业 1. 判断下列命题的真假 (1) a ? b ”是“ a2 ? b2 ”的充分条件; “ (2) | a |? b ”是“ a2 ? b2 ”的必要条件. “ ||

条件.

2. 已知 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} . (1)如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件? (2)如果 B ? A ,那么 p 是 q 的什么条件?


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