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广东省13大市2013届高三数学上学期期末试题分类汇编13 圆锥曲线 理 新人教A版


广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学理试题分类汇编 圆锥曲线
一、填空、选择题 1、 (潮州市 2013 届高三上学期期末)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 焦点重合,则 p 的值为 A. ?2 答案:D B. 2 C. ?4 D. 4
2

x2 y 2 ? ? 1 的右 2 2

2、 (佛

山市 2013 届高三上学期期末)已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 , 则点 P 的横坐标是_____. 答案: ?4 3、 (广州市 2013 届高三上学期期末)圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直 线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点的个数是 答案: 分析:圆方程 ,其圆心坐标 半径 化为标准式为 , _ .

,由点到直线的距离公式得圆心到直线

的距离 所示,圆上到直线 的距离为

,由右图 的点有 4 个.

4、 (广州市 2013 届高三上学期期末)在区间 ? ? 2, 4 ? ? 分别取一个数,记为 a,b , ?1,5 ? ? 和?

3 x2 y2 则方程 2 ? 2 ? 1表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 a b
A. 答案:B 5、 ( 惠 州市 2013 届 高三 上 学期 期 末) 已 知双曲 线

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

x2 y2 ? ? 1 的 一 个 焦点 与 抛物线 a 2 b2

1

y 2 ? 4 10 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于

10 ,则该双曲线的方程为____ 3

答案:

x2 ? y2 ? 1 9
2

6、 (江门市 2013 届高三上学期期末)以抛物线 y ? 8 x ? 0 的顶点为中心、焦点为一个顶点 且离心率 e ? 2 的双曲线的标准方程是 A.

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 16 48

C.

y2 x2 ? ?1 4 12

D.

x2 y2 ? ?1 16 48

答案:A
2 2 0) 7、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)已知双曲线 x ? ky ? 1的一个焦点是( 5, ,则其

渐近线方程为 答案: y ? ?2 x

.

8、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)已知点 A 是抛物线 C1:y =2px(p>0)与双曲线 C2:

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则 a 2 b2
双曲线的离心率等于____ 答案: 5 解析:

9、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末)圆心在直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 x 轴交于两点

A(?2, 0) 、 B(?4, 0) ,则圆 C 的方程为__________.
解 析 : ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

直 线 AB 的 中 垂 线 方 程 为 x ? ?3 , 代 入

x ? 2 y ? 7 ? 0,得 y ? 2 ,故圆心的坐标为 C (?3, 2) ,再由两点间的距离公式求得半径

2

r ?| AC |? 5 ,∴ 圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 5
10 、 (中山市 2013 届高三上学期期末)直线 x ? (a 2 ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 ( A. [0, )

?

? 3? ? ] B. ? , ? ? 4 ? 4 ?

C. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

D. ?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? 4 ?4 2? ? ?

答案:B 12、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)如图,F1,F2 是双

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 a 2 b2 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的离 心率为 .
曲线 C: 答案: 13

x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 关于直线 l : 13、 (江门市 2013 届高三上学期期末) 与圆 C : x? y ?0
2 2

对称的圆的方程是



( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5
二、解答题 1、 ( 潮 州市 2013 届 高三 上 学期 期 末) 已知 点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) , 若动 点 P 满 足

???? ? ???? ??? ? MN ? MP ? 6 | NP | .
(1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小. 解: (1)设动点 P ( x , y ) ,又点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) , ∴ MP ? ( x ? 4 , y ) , MN ? ( ? 3 , 0 ) , NP ? ( x ? 1 , y ) . ……… 3 分 由 MN ? MP ? 6 | NP | ,得 ?3( x ? 4 ) ? 6 (1 ? x ) 2 ? ( ? y ) 2 , ……… 4 分 ∴ ( x ? 8 x ? 16 ) ? 4( x ? 2 x ? 1) ? 4 y ,故 3 x ? 4 y ? 12 ,即
2 2 2 2 2

????

???? ?

??? ?

???? ? ????

??? ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 3
……… 7 分

∴轨迹 C 是焦点为 ( ? 1 , 0) 、长轴长 2a ? 4 的椭圆;

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣分.
3

(2)椭圆 C 上的点 Q 到直线的距离的最值等于平行于直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 且与椭圆 C 相切的直线 l1 与直线的距离. 设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 ( m ? ?12 ) . ……… 8 分

由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?x ? 2 y ? m ? 0

,消去 y 得 4 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 12 ? 0 (*) .
2 2

依题意得 ? ? 0 ,即 4m ? 16( m ? 12 ) ? 0 ,故 m 2 ? 16 ,解得 m ? ?4 . 当 m ? 4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l1 的距离 d ?

| 4 ? 12 | 16 5 . ? 5 1? 4

当 m ? ?4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l1 的距离 d ?

| ?4 ? 12| 8 5 . ? 5 1? 4

由于

8 5 16 5 8 5 ,故曲线 C 上的点 Q 到直线的距离的最小值为 .…12 分 ? 5 5 5
2

当 m ? ?4 时,方程(*)化为 4 x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 1 . 由 1 ? 2 y ? 4 ? 0 ,得 y ? ∴曲线 C 上的点 Q (1 ,

3 3 ,故 Q (1 , ) . 2 2
……… 14 分

……… 13 分

3 ) 到直线的距离最小. 2

x2 y 2 2、 (佛山市 2013 届高三上学期期末)设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 a b

A(?2, 0),B (2, 0),离心率 e ?

3 . 2

过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点, 试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论. 解析: (1)由题意可得 a ? 2 , e ? 分

c 3 ? ,∴ c ? 3 , a 2

-----------------2

4

∴ b ? a ? c ? 1,
2 2 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

-----------------4 分

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , -----------------6 y0 ? x ? y ? 2 y0 ? ? 2
分 又
2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y ) 2 ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 4 . 4 4 2
2 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4 . (3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C, R 三点共线,∴ AC // AR ,

-----------------8 分

???? ??? ?

而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,∴ t ? ∴点 R 的坐标为 (2, 分

????

??? ?

4n , m?2
-----------------10

4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2
n? 2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4
2

∴直线 CD 的斜率为 k ?

而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ?n ,
2 2

2

∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n

-----------------12 分

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n
4 m2 ? n2 ? 4 ?2?r, 4

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切.

-----------------14 分
y

3、 (广州市 2013 届高三上学期期末)如图 5, 已知抛物线 P : y 2 ? x ,直线 AB 与抛物 线 P 交于 A, B 两点,
A

uur uuu r uuu r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
O B

M

C x

5

(1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值. 解法一: (1)解:设 ∵ ∴ 是线段 , 的中点. …………… 2 分 ,



,①

…………… 3 分

. ∵ ∴ 依题意知 ∴ . , ∴ . , .



…………… 4 分

…………… 5 分



…………… 6 分

把②、③代入①得:

,即

.

…………… 7 分

∴点

的轨迹方程为

. 是矩形,

…………… 8 分

(2)解:依题意得四边形 ∴四边形 的面积为

…………… 9 分

.

…………… 11 分

6

∵ ∴ ∴四边形 解法二: (1)解:依题意,知直线 .

,当且仅当

时,等号成立, …………… 12 分 …………… 13 分

的面积的最小值为

.

…………… 14 分

的斜率存在,设直线

的斜率为 ,

由于

,则直线

的斜率为

.

…………… 1 分

故直线

的方程为

,直线

的方程为

.



消去

,得

.

解得



.

…………… 2 分

∴点

的坐标为 的坐标为 , 是线段 的中点. ,

. .

…………… 3 分 …………… 4 分

同理得点 ∵ ∴ 设点

…………… 5 分

的坐标为



…………… 6 分

消去 ,得

.

…………… 7 分

∴点

的轨迹方程为

.

…………… 8 分
7

(2)解:依题意得四边形 ∴四边形 的面积为

是矩形,

…………… 9 分

………… 10 分

…………… 11 分 . …………… 12 分

当且仅当 ∴四边形

,即

时,等号成立. .

…………… 13 分 …………… 14 分

的面积的最小值为

4、 (惠州市2013届高三上学期期末)设椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 ,直线 a2 2

?

?

l:x?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若 OF1 ? 2 F1 A (其中 O 为坐标原点) .

????

????

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、
2 2

,求 PE ? PF 的最大值. F 为直径的两个端点) 解: (1)由题设知, A(

a2 a ?2
2

, 0) , F1

?

a2 ? 2 , 0 ,………………………………1 分

?

由 OF1 ? 2 AF1 ? 0 ,得 a ? 2 ? 2?
2

????

????

? a2 ? 2 ? ,…………………………3 分 ? a ? 2 ? ? 2 a ? 2 ? ?

解得 a ? 6 . 所 以
2
2 2





M









x y ? ? 1 .…………………………………………………………4 分 6 2 2 2 (2)方法 1:设圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N , M:

8

则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ………………………………………………6 分

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP …………………………………………7 分 ??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 ? NP ? NF ? NP ? 1 .………………………………………………………………8 分

?

?

??

??

?

?

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.……………………………………9 分
2 2

2

y0 ? ,………………………………………10 分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x0 ,

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 .………………………………………………11 分 6 2
因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x 0 ? ? y 0 ? 2 ? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .…………………12 分
2 2 2 2

因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.…………………13 分

2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.…………………………………………………………14 分

y1 ) , F ( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) , 方法 2:设点 E ( x1 ,
因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) …………………………………7 分

??? ? ??? ?

? x2 ? ? x1 , ………………………………………6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0
2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .………………………………………9 分

因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2) ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .………………10 分
2 2 2 2

2 x0 y2 2 2 ? 6 ? 3 y0 ? 0 ? 1 ,即 x0 .…………………………11 分 6 2 ??? ? ??? ? 2 2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) ? 11 .……………………………………12 分 ??? ? ??? ? 因为 y0 ? [? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF ? 11.………………………14 分

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

?

?

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,………………………6 分 由?

min

?y ? kx? 2
2 2

k 2 ?1 ? x ? ( y ? 2) ? 1 y0 ? , 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,
2 2

,解得 x ? ?

1

.……………………………………………7 分

x0 y 2 2 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y 0 .……………………………………………8 分 6 2 ??? ? ? 1 ? ? ? ??? ? k 1 k ? x0 , ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 所以 PE ? ? 2 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? ?
所以 …………………………………9 分 所 以
2

PE ? PF ? x0 ?

1 k 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11 . k ?1 k ?1
2

2

……………………………………10 分 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………11 分

?

?

9

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或

y ? 3.
3? , F ? 0 , 1? . 不妨设, E ? 0 ,
2 2

…………………………………………12 分

y0 ? , 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,

x0 y 2 2 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y 0 . 6 2 ??? ? ??? ? 3 ? y0 ? , PF ? ? ? x0 , 1 ? y0 ? . 所以 PE ? ? ? x0 , ??? ? ??? ? 2 2 2 所以 PE ? PF ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) ? 11 .
所以 因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………13 分

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.…………………………………………14 分 5、 (江门市 2013 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中, F1 (?4 , 0) , F2 (4 , 0) ,

P 是平面上一点,使三角形 PF1 F2 的周长为 18 .
⑴求点 P 的轨迹方程; ⑵在 P 点的轨迹上是否存在点 P1 、 P2 ,使得顺次连接点 F1 、 P1 、 F2 、 P2 所得到的四边形

F1 P1 F2 P2 是矩形?若存在,请求出点 P1 、 P2 的坐标;若不存在,请简要说明理由
解:⑴依题意, | PF1 | ? | PF2 | ? | F1 F2 |? 18 ……1 分,

| F1 F2 |? 8 ,所以 | PF1 | ? | PF2 |? 10 ,点 P 的轨迹是椭圆……2 分,
所以 a ? 5 , 椭圆的方程为 2a ? 10 ,2c ? 8 ……3 分, c ? 4, b ? 3,

x2 y2 ? ? 1 …… 25 9

4 分,因为 PF1 F2 是三角形,点 P 不在直线 F1 F2 上(即不在 x 轴上) ,所以点 P 的轨迹方程

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0 )……5 分. 为 25 9
⑵根据椭圆的对称性, F1 P 1 F2 P 2 是矩形当且仅当直线 P 1 P2 经过原点 O ,且 ?F1 P 1 F2 是 直角……6 分,此时 | OP1 |?

1 | F1 F2 |? 4 (或 k P1F1 ? k P1F2 ? ?1 )……7 分, 2

? 2 175 ? 5 7 ? x2 y2 x ? x?? ? ? ? ? 1 ? ? 16 ? 4 ……10 分,所以 设P ……9 分,解得 ? ,? 9 1 ( x , y ) ,则 ? 25 ? x 2 ? y 2 ? 16 ?y ? ? 9 ? y 2 ? 81 ? ? ? 16 ? 4 ?
有 2 个这样的矩形 F1 P 1 F2 P 2 ,对应的点 P 1 、 P2 分别为 (

5 7 9 5 7 9 , ) 、 (? , ? )或 4 4 4 4

(?

5 7 9 5 7 9 , ? ) ……12 分. , )、( 4 4 4 4

10

6、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)已知椭圆 C1 : 为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 a 2 b2

3 ,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 2 6 . 3 (1)求椭圆 C1 的方程;
(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l 2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的点 S,以 OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R, 求该圆面积的最小值时点 S 的坐标.

解: (1)解:由 e ?

3 6 2 2 2 2 2 ,得 a ? 3c ,再由 c ? a ? b ,解得 a ? b …………1 分 3 2 1 由题意可知 ? 2a ? 2b ? 2 6 ,即 a ? b ? 6 …………………………2 分 2 ? 6 b ?a ? 解方程组 ? 2 得 a ? 3 , b ? 2 ………………………………3 分 ?ab ? 6 ?
所以椭圆 C1 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ……………………………………3 分 3 2 (2)因为 MP ? MF2 ,所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F2 (1,
0)的距离,所以动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,…6 分 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x ……………………………………7 分
2

(3)因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90°,即 OR ? SR ? 0 …………………………………………………………………………8 分 设 S ( x1 , y1 ) ,R( x2 , y2 ) , SR =( x2 - x1 , y2 - y1 ) , OR =( x2 , y2 )

??? ? ???

???

??? ?

??? ? ??? y2 2 ( y2 2 ? y12 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 16 ? 16 ? 因为 y1 ? y2 , y2 ? 0 ,化简得 y1 ? ? ? y2 ? ? ……………………10 分 y2 ? ?
所以 y1 ? y2 ?
2 2

256 2 256 ? 32 ? 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2

当且仅当 y2 ?
2

256 2 即 y2 =16,y2=±4 时等号成立. ………………12 分 2 y2
2 2

圆的直径|OS|= x1 ? y1 ?

y14 1 1 ? y12 ? y14 ? 16 y12 ? ( y12 ? 8) 2 ? 64 16 4 4
min

2 2 因为 y1 ≥64,所以当 y1 =64 即 y1 =±8 时, OS

? 8 5 , ………13 分

所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,±8)……………14 分

11

7、 (增城市 2013 届高三上学期期末) 已知点 P 是圆 ( x ? 1) ? y ? 16 上的动点, 圆心为 B ,
2 2

A(1,0) 是圆内的定点; PA 的中垂线交 BP 于点 Q .
(1)求点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 交轨迹 C 于 M , N ( MN 与 x 轴、 y 轴都不平行) 两点,G 为 MN 的中点, 求 k MN ? kOG 的值( O 为坐标系原点) . (1)解:由条件知: QA ? QP 1分 2分 3分 4分 5分 6分

? QB ? QP ? 4 ?QB ? QA ? 4
? AB ? 2 ? 4
所以点 Q 的轨迹是以 B, A 为焦点的椭圆

? 2a ? 4,2c ? 2 ? b 2 ? 3
所以点 Q 的轨迹 C 的方程是

x2 y2 ? ?1 4 3

7分

(2)解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则 G (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分

?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3

9分

1 1 2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )?0 4 3
?
2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

10 分

11 分

? k MN ?

y1 ? y2 y ? y2 , kOG ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2
2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

13 分

? k MN ? kOG ?

14 分

或解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,直线 MN 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0)

12

则 G(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分 9分

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b

? kOG ?

y1 ? y2 2b ?k? x1 ? x2 x1 ? x2
2 2 2

10 分

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得: (4k ? 3) x ? 8kbx? 4b ? 12 ? 0

11 分 12 分

? x1 ? x2 ? ?

8kb 4k 2 ? 3

? kOG ? k ?

2b 4k 2 ? 3 3 ?k? ?? ? 8kb 4k 4k 2 4k ? 3

13 分

所以 k MN ? kOG ? k ? (?

3 3 )?? 4k 4

14 分

8、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)如图,已知点 M0(x0,y0)是椭圆 C:

y2 ? x 2 =1 上 2

的动点,以 M0 为切点的切线 l0 与直线 y=2 相交于点 P。 (1)过点 M0 且 l0 与垂直的直线为 l1,求 l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围; (2)在 y 轴上是否存在定点 T,使得以 PM0 为直径的圆恒过点 T?若存在,求出点 T 的 坐标;若不存在,说明理由。

解: (1)由椭圆得: y ? 切线的斜率为:k=

2(1 ? x ) , y ' ? ?2 x(2 ? 2 x )
2

2

?

1 2

?2 x0 2 ? 2 x0 2

,所以,直线 l1 的方程为: y ? y0 ?

2 ? 2 x0 2 2 x0

( x ? x0 ) ,

与 y 轴交点纵坐标为:y= 2 ? 2 x0 -
2

2 ? 2 x0 2 2



2 ? 2 x0 2 2

13

因为 ?1 ? x0 ? 1,所以, 0 ? x0 ? 1 , 0 ? 2 ? 2 x0 ? 2 ,所以,当切点在第一、二象限时
2 2

l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: 0 ? y ?

2 ,则对称性可知 2

l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: ?

2 2 ? y? 。 2 2

(2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在 T(0,t) ,M0(x0,y0) 由(1)得点 P 的坐标(

??? ? ????? 2 y0 ? y0 2 ? 2 x0 2 ,2),由 PT ?M 0T ? 0 可求得 t=1 2 x0

所以存在点 T(0,1)满足条件。 9、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末) 已知两圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 0, C2 : ( x ? 1) ? y ? 4 的
2 2 2 2

圆心分别为 C1 , C2 , P 为一个动点,且 | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 . (1)求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2)是否存在过点 A(2,0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两 点 C、D,使得 | C1C |?| C1 D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)两圆的圆心坐标分别为 C1 (1, 0), 和 C2 (?1, 0) ∵ | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 ?| C1C2 |? 2 ∴根据椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹为以原点为中心, C1 (1, 0), 和 C2 (?1, 0) 为焦点,长 轴长为 2a ? 2 2 的椭圆, a ? (2 分)

2, c ? 1, b ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 1 ? 1

(4 分)

x2 x2 2 ? y ? 1,即动点 P 的轨迹 M 的方程为 ? y 2 ? 1 (6 分) ∴椭圆的方程为 2 2
(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时,易知点 A(2,0) 在椭圆 M 的外部,直线 l 与椭圆 M 无交点,所以直线 l 不存在。 (7 分) (ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) (8 分)

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 由方程组 ? 2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?
依题意 ? ? ?8(2k ? 1) ? 0 解得 ?
2

(9 分)

2 2 ?k? 2 2

(10 分)

14

当?

2 2 ?k? 时,设交点 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,CD 的中点为 N ( x0 , y0 ) , 2 2

方程①的解为 x1 ?

x1 ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? , x ? ,则 x ? ? 2 0 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2 2 2k 2 ? 1
(11 分)

? 4k 2 ? ?2k y ? k ( x ? 2) ? k ? 2? ? 2 ∴ 0 ? 2 0 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1

要使 | C1C |?| C1 D | ,必须 C1 N ? l ,即 k ? kC1N ? ?1

(12 分)

?2k ?1 2 1 2 k ? 1 ∴k? ? ?1 ,即 k 2 ? k ? ? 0 ② 2 4k 2 ?0 2 2k ? 1 1 1 2 ∵ ?1 ? 1 ? 4 ? ? ?1 ? 0 或,∴ k ? k ? ? 0 无解 (13 分) 2 2
所以不存在直线 l ,使得 | C1C |?| C1 D | 综上所述,不存在直线 l,使得 | C1C |?| C1 D | (14 分)

10、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右两个 a2 b2

焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶点 A(0, b) , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2)O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出 此时点 P 的坐标.

? a ? 2c ? 解: (Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?
解得: a ? 2, b ?
2

……………… 2 分

3 , c ? 1 …… 3 分
离心率 e ?

故 C 的方程为

x y2 ? ? 1 . …… 5 分 4 3

1 2

………………… 6 分

(2)直线 F1 A 的方程为 y ?

3 ( x ? 1) ,…… 7 分

设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则

15

3 ? y0 ? ? 3 ? ?1 x0 ? ? ? ? 2 ? x0 ? (联立方程正确,可得分至 8 分) ?? ? ? y 0 ? 3 ( x0 ? 1) ? y ? 3 0 ? ? 2 ? 2 ?2
所以点 M 的坐标为

3 3 (? , ) 2 2

……………………………… 9 分

∵ PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,…… 10 分

3 3 | PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |? (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 7 2 2

…………… 11 分

3 ?0 3 直线 MF2 的方程为 y ? 2 ( x ? 1) 即 y ? ? ( x ? 1) 3 5 ? ?1 2

…………… 12 分

2 ? ? x?? 3 ? ( x ? 1) ? 3 2 3 ?y ? ? ?? 由? ,所以此时点 P 的坐标为 ( ? , ) …………… 14 分 5 3 3 3 ? y ? 3 ( x ? 1) ?y ? ? ? 3 ?

16


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