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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○ 2 步,由不等式恒成立来求参数 的取值范围问题,分析难度大,但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介: 法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim f ? x ? ? 0 及 lim g ? x ? ? 0 ;

/>x ?a x ?a

0 ? 0 ? 0 , , 0 ? ? ,1 , ? , 0 , ? ? ? 型。 0 ? 0 ? 0 ? 0 3 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 , , 0 ? ? ,1 , ? , 0 , ? ? ? 型定式, ○ 0 ?
2 洛必达法则可处理 ○ 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法 则不适用,应从另外途径求极限。 4 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 ○ 二.高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 。 (1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 原解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ?1 .

(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3) lim
x ?a

f ?? x? ?l, g?? x?
= lim
x ?a

那么 lim
x ?a

g ? x?

f ? x?

f ?? x? ?l。 g?? x?
x ?? x ??

法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim f ? x ? ? 0 及 lim g ? x ? ? 0 ; (2) ?A ? 0 ,f(x) 和 g(x)在 ? ??, A? 与 ? A, ??? 上可导,且 g'(x)≠0; (3) lim

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (??, 0) 单调减少,在

(0, ??) 单调增加
(II) f '( x) ? e x ? 1 ? 2ax 由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f ?? x? ?l, x ?? g ? ? x ? g ? x? f ? x?
= lim

那么 lim
x ??

f ?? x? ?l。 x ?? g ? ? x ?
x ?a x?a

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim f ? x ? ? ? 及 lim g ? x ? ? ? ; (2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3) lim
x ?a

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

f ?? x? ?l, g?? x?
= lim
x ?a

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x
?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

那么 lim
x ?a

g ? x?

f ? x?

f ?? x? ?l。 g?? x?

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 ? ??, ?

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 1 将上面公式中的 x→a,x→∞换成 x→+∞,x→-∞, x ? ○

a

?

,x ?

a

?

洛必达法则也成立。

? ?

1? 2?

原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,对任意实数 a,均在 f ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 等价于 a ? e
x

? x ?1

?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

解得 a ? 1 , b ? 1 。

x

2



g ? x? ? e
x x

x

? x ?1

x

2

(x>0),


x

g ?( x) ?
x

xe ? 2e ? x ? 2

x

x

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

x

3





h ? x ? ? xe ? 2e ? x ?

0? ? xe ? e ? x ?2 ? ,则 h? ? x

? 1 , h ?? ? x ? ? xe ? 0 ,
x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? 。 x x2
(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

知 h? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 为 增 函 数 , h? ? x ? ? h? ? 0? ? 0 ; 知 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 为 增 函 数 ,

h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ;? g ? ? x ? ? 0 ,g(x)在 ? 0, ?? ? 上为增函数。
由洛必达法则知, 故a ?

lim
x ?0?

e

x

? x ?1

x
? ?

2

? lim
x ?0?

e

x

2x

? lim
x ?0?

e

x

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,h(x)递减。而 h(1) ? 0 x2
1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

2

?

1 , 2

故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 2

综上,知 a 的取值范围为 ? ??, ? 。 2. (2011 年全国新课标理) 已知函数, 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

1? 2?

1 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x
当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 ( ii ) 设 0<k<1. 由 于 (k ? 1 ) ( = (k ? 1) x ? 2 x ? k ? 1 的 图 像 开 口 向 下 , 且 x ? 1? ) x 2
2 2 2 对称轴 x= ? ?4 ?4 k ( ?1 ) ?, 0

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

1 1 ' ? 1 当 x? (1, ) 时, (k-1) (x2 +1) +2x>0,故 h (x) >0, 1? k 1? k .

而 h(1)=0,故当 x ? (1, 与题设矛盾。

原解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

1 1 )时,h(x)>0,可得 h(x)<0, 1? k 1? x2
'

2 (iii)设 k ? 1.此时 x ? 1 ? 2 x , (k ? 1)( x ? 1) ? 2 x ? 0 ? h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?
2

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2

(1,+ ? )时,h(x)>0,可得

1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]
2 x ln x ? 1 恒成立。 1 ? x2

原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解: (II)由题设可得,当 x ? 0, x ? 1 时,k<

令 g (x)=

x ? 1 ln x ? x ? 1 2 x ln x ? ? 1 x ? 0, x ? 1 ( ), 则 , g x ? 2 ? ? ? 2 1 ? x2 1 ? x2
2 2

?

?

解:应用洛必达法则和导数

?

?

当 x ? (0,

?
2

) 时,原不等式等价于 a ?

x ? sin x . x3

再 令

h ? x ? ? ? x 2 ? 1? ln x ? x 2 ? 1 ( x ? 0, x ? 1 ) , 则 h ? ? ?x? 2

1 lx n ? x x

?, x

记 f ( x) ?

x ? sin x 3sin x ? x cos x ? 2 x ,则 f '( x) ? . 3 x x4

h?? ? x ? ? 2 ln x ? 1 ?

1 1 ,易知 h ?? ? x ? ? 2 ln x ? 1 ? 2 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,且 h?? ?1? ? 0 ;故 2 x x

记 g ( x) ? 3sin x ? x cos x ? 2 x ,则 g '( x) ? 2cos x ? x sin x ? 2 . 因为 g ''( x) ? x cos x ? sin x ? cos x( x ? tan x) ,

当 x ? (0,1) 时, h?? ? x ? ? 0 ,当 x ? (1,+ ? )时, h?? ? x ? ? 0 ;

? h? ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数;故 h? ? x ? > h? ?1? =0 ? h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数 ? h ?1? =0 ? 当 x ? (0,1) 时, h ? x ? ? 0 ,当 x ? (1,+ ? )时, h ? x ? ? 0 ? 当 x ? (0,1) 时, g ? ? x ? ? 0 ,当 x ? (1,+ ? )时, g ? ? x ? ? 0
? g ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数

g '''( x) ? ? x sin x ? 0 ,所以 g ''( x) 在 (0, ) 上单调递减,且 g ''( x) ? 0 , 2
所以 g '( x ) 在 (0,

?

?

) 上单调递减,且 g '( x) ? 0 .因此 g ( x) 在 (0, ) 上单调递减, 2 2 g ( x) x ? sin x ? ? 0 ,因此 f ( x ) ? 在 (0, ) 上单调递减. 4 3 x x 2

?

且 g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ?
由洛必达法则有

lim f ( x) ? lim
x ?0 x ?0

x ? sin x 1 ? cos x sin x cos x 1 ? lim ? lim ? lim ? , x ?0 x ?0 6 x x ?0 x3 3x 2 6 6 1 1 ,即有 f ( x ) ? . 6 6

? 由洛必达法则知 limg ? x ? ? 2lim
x ?1 x ?1

x ln x 1 ? ln x ? 1? ? 1 ? 2lim ?1 ? 2? ? ? ? ?1 ? 0 2 ?2 x 1? x ? 2? x ?1

即当 x ? 0 时, g ( x ) ?

? k ? 0 ,即 k 的取值范围为(- ? ,0]

故a ?

1 ? 3 时,不等式 sin x ? x ? ax 对于 x ? (0, ) 恒成立. 6 2

规律总结:对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中的求
分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴 的方法。

通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: ① 可以分离变量; ②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; ③出现“

0 ”型式子. 0

自编:若不等式 sin x ? x ? ax 对于 x ? (0,
3

?
2

)

恒成立,求 a 的取值范围.


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