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江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高二数学期中试卷及答案


江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期 高二数学期中考试试题 命题人:杨子圣 一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. . ........ 1.直线 2x+y+1=0 在 y 轴上的截距为▲. 2.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 的圆心坐标为▲. 3.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为▲. 4.如

图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱的条数为▲. 5.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为▲. 4

6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3,则四面体 A-B1CD1 的外接球的体积为▲. 7.已知⊙C:(x-2)2+(y+3)2=25,过点 A(-1,0)的弦中,弦长的最大值为 M,最小值为 m,则 M-m=▲. 8.给定下列四个结论: ①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行; ②垂直于同一直线的两直线相互平行; ③如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ④如果两个平面垂直,那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确结论的序号是▲. 9.在平面直角坐标系内,若曲线 C : x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 4 ? 0 上所有的点均在第
2 2 2

二象限内,则实数 a 的取值范围为▲. 10.如图,在三棱柱的侧棱 AA1 和 BB1 上各有一动点 P、Q,满足 A1P=BQ,过 P、Q、C 三点的截面 把棱柱分成上下两部分,则上下两个几何体的体积比值为▲. 11.在平面直角坐标系中,已知点A(1,-2),B(4,0),P(a,1),N(a+1,1),当四边形PABN的周长最小时,过点A, P,N 的圆的圆心坐标是▲. x2 y2 12.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与曲线 x2+y2=a2-b2 无公共点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是▲. a b x2 y2 13.已知椭圆 C: + =1 和直线 l:y=mx+1,若对任意的 m∈R,直线 l 与椭圆 C 恒有公共点,则实数 b 的取值 4 b 范围是▲. 14. 椭圆 C :

x2 y2 若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P , 使得 ?F1F2 P 为 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是▲. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 ........ 步骤. 15. (本小题共 14 分) 根据下列条件,求圆的方程. (1) 经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上. (2) 经过 P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长为 6.

16. (本小题共 14 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都是 2,D 是侧棱 CC1 上任意一点,E 是 A1B1 的中点. (1)求证:A1B1//平面 ABD; (2)求证:AB⊥CE; (3)求三棱锥 C-ABE 的体积. 17. (本小题共 14 分) 如图, 直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(?2, , 顶点 C 在 x 轴上, P 为线段OA 点 0) 直角顶点 B(0, ?2 2) , 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2) M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程. 18.(本小题满分 16 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 上顶点为 A, 过点 A 且与 AF 垂直的光线经椭圆的右准线反射, a 2 b2

反射光线与直线 AF 平行. (1)求椭圆的离心率; (2)设入射光线与右准线的交点为 B,过 A,B,F 三点的圆恰好与直线 3x-y+3=0 相切,求椭圆的方程. 19.(本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1. m 8-m (1)若椭圆 C 的焦点在 x 轴上,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=6, ①P 是椭圆 C 上的动点,M 点的坐标为(1,0),求 PM 的最小值及对应的点 P 的坐标; ②过椭圆 C 的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线 l 交 x 轴于 AB 点 N,证明: 是定值,并求出这个定值. FN 20.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A , B 的任 意一点,直线 AP 交 l 于点 M . ①设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; ②设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ,求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期 高二数学期中考试参考答案 一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分. 1. -12.(2,2)3. 24 πR34. 55. 6.36π 9 2 7.10-2 78.③④9. ? 2, ?? ? 10.211.?3,-8? 12.?0, ? ? ? ? 2? 13.[1,4)∪(4,+∞) 14. ( , ) ?( ,1) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.解:(1)∵AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0, 由?
?3x ? 2 y ? 15 ? 0 ?x ? 7 解得 ? ,∴圆心为 C(7,-3),半径 r= 65 ?3x ? 10 y ? 9 ? 0 ? y ? ?3
3

1 1 3 2

1 2

故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65………………7 分 (2)设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 P、Q 两点坐标代入得
?2D ? 4 E ? F ? 20 ① ? ?3D ? E ? F ? ?10 ②

令 y=0 得 x2+Dx+F=0 由弦长|x1-x2|=6 得 D2-4F=36 ③

解①②③可得 D=-2,E=-4,F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0………………14 分 16.解(1)证明:由正三棱柱的性质知 因为 所以 ∥平面 ABD. ………………5 分 ∥AB, ,

(2)设 AB 中点为 G,连结 GE,GC.

又 EG∥ 又 而 (3)由题意可知:

,

………………10 分 =2 3………………14 分
3

17. (1)∵ k AB ? ? 2, AB ? BC, ∴ kCB ?

2 2 , ∴ BC : y ? x ? 2 2. ………………5 分 2 2

(2)在上式中,令 y ? 0, 得: C (4,0), ∴圆心 M (1,0), 又∵ AM ? 3, .∴外接圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 9. ………………9 分
2 2

(Ⅲ)∵ P(?1,0), M (1, 0), ∵圆 N 过点 P(?1,0), ,∴ PN 是该圆的半径,

又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴ MN ? 3 ? PN , 即 MN ? PN ? 3, . ∴点 N 的轨迹是以 M, 为焦点,长轴长为 3 的椭圆. P ∴a ?

5 3 2 2 ,. , c ? 1 ,b ? a ? c ? 4 2

x2 y2 ∴轨迹方程为 ? ? 1 .………………14 分 9 5 4 4
18.⑴因为入射光线与反射光线垂直,所以入射光线与准线所成的角为 45? , 即 ?FAO ? 45? ,所以 b ? c ,所以椭圆的离心率为 ⑵由⑴知 b ? c, a ? 2c , 可得 A ? 0, c ? , B ? 2c, ?c ? , A ? 又F A B 半径 r ?
2 .…………………6 分 2

?c c? , 所以过 A, B, F 三点的圆的圆心坐标为 ? , ? ? , ?2 2?

1 10 FB ? c ,……………………………………8 分 2 2

因为过 A, B, F 三点的圆恰好与直线 3x ? y ? 3 ? 0 相切,
3 1 c? c?3 10 2 2 所以圆心到直线 3x ? y ? 3 ? 0 的距离等于半径 r ,即 ? c ,得 c ? 1 ,………………14 分 2 10

所以 b ? 1, a ? 2 ,所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .……………………16 分 2

19.解(1)由题意得,m>8-m>0,解得 4<m<8. 即实数 m 的取值范围是(4,8). x y (2)因为 m=6,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2 x2 y2 ①设点 P 坐标为(x,y) ,则 + =1. 6 2 因为点 M 的坐标为(1,0) ,所以 x2 2x2 PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2- = -2x+3 3 3 2 3 3 = (x- )2+ ,x∈[- 6, 6]. 3 2 2 ……………………… 4 分
2 2

……………………… 2 分

3 6 3 5 所以当 x= 时,PM 的最小值为 ,此时对应的点 P 坐标为( ,± ) . 2 2 2 2 ……………………… 6 分 ②由 a2=6,b2=2,得 c2=4,即 c=2, 从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0),右准线方程为 x=3,离心率 e= 6 . 3

x12 y12 x22 y22 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点 H(x0,y0) ,则 + =1, + =1, 6 2 6 2

x12-x22 y12-y22 y1-y2 x0 所以 + =0,即 kAB= =- . 6 2 3y0 x1-x2

……………………… 9 分

1 令 k=kAB,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y-y0=- (x-x0). k 2 令 y=0,则 xN=ky0+x0= x0. 3 2 因为 F(2,0),所以 FN=|xN-2|= |x0-3|. 3 ……………………… 12 分

2 6 AB 2 6 3 因为 AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)= |x0-3|.故 = × = 6. 3 FN 3 2 AB 即 为定值 6. FN 20.⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又 ……………………… 16 分

2 3 + 2 ? 1 ,…………………………………2 分 2 a 2b

1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b 2 ? ? (舍去),则 a 2 ? 4 , 2
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1.……………………………………………………4 分 4 3
y y0 , k2 ? 1 , x1 ? 2 2

⑵(ⅰ)设 P(x1, y1)( y1 ?0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ? 因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 ? ,所以, k1k2 ? ,………………8 分 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4) x1 ? 2 4 y12 3 3 ? ? 为定值.………………10 分 (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ? 2 2( x1 ? 4) 2 4

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ? 则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

2 ? x1 ( x ? 2) ,…………………………………………12 分 y1

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ? x? ( x ? 2) ? y0 ? x? ? y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1 x1 ? 2

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3 x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? = = x? ( x ? 1) , y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1
………………………………………………………16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .


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