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2.2.3 2.2.4 直线与平面平行的性质

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2.2.3直线与平面平行的性质

思考:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a
b α α a b

(2)已知直线 a∥平面α,如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线?

求证:a∥b.
证明:(反证法). 假设直线

a不平行于直线b.

o
∴ 直线a与直线b相交,假设 交点为O,则a∩b=O. ∴a∩α=O,这与“a∥α”矛盾 . ∴a∥b.

线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。 β α∩β= m l ∥α
l

l??

l ∥m
m

α

线面平行

线线平行

练习:
如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )

A 只和这个平面内一条直线平行;
B 只和这个平面内两条相交直线不相交; C 和这个平面内的任意直线都平行; D 和这个平面内的任意直线都不相交。

例题分析
例题1 有一块木料,棱BC平行于面A1C1 要经
过面A1C1内一点P和棱BC锯开木料,应该怎样 画线? 这线与平面AC有怎样的关系?
D1 P E C1

A1
D

F

B1
C B

A

例题2 已知平面外的两条平行直线中的一条 平行于这个平面,

求证:另一条也平行于这个平面。
a b c

?

?

练习:
例3、已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD

外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,
画出过G和AP的平面。
P M
G

D H A
O

C

B

小结
线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

复习
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。

定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行

如果两个平面平行,那么一个平 面内的直线与另一个平面的直线具有 什么位置关系?
D1 C1 B1 D C

A1

A

B

平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行
已知平面α,β,γ满 足α β, ∥

α?γ? a, β?γ? b,求证a ∥b.

面面平行→线面平行

1、若两个平面互相平行,则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面; 2、平行于同一平面的两平面平行; 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个

平面平行; 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。

例题分析
例1、求证:夹在两个平行平面间的两条

平行线段相等
已知:如图,α ∥ β AB∥CD, A∈α , C∈α, B∈β ,D∈β, 求证:AB=CD
β
C

α

A

D

B

例题分析
例2、如果一条直线与两个平行平面中的一个相交, 那么它与另一个也相交。
γ l l

A

α

.

A a α

.

β

β

B

.b

练习:
1、 如图:a∥α,A是α另一侧的点,B、C、D
是α上的点 ,线段AB、AC、AD交于E、F、G

点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.
B C D

a

α

E

F

G

A

练习:
2、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证:E、F、B、D四点共面; (2)求证:面AMN∥面EFBD.
A1

D1
N M

E F B1

C1

D

C

A

B

练习:
3、点P在平面VAC内,画出过点P作一 个截面平行于直线VB和AC。
V F P G B H A E C

小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面,那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于

推论:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理: 面面平行

线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行。

课外作业: 1、已知α∥β,AB交α、β于A、B,CD交 α、β于C、D,AB∩CD=S,AS=8,BS=9,
S

CD=34,求SC。
α
A
S

C

A

C

α

β

D

B

β

B

D

例3、已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD
外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,

画出过G和AP的平面。

P

M
G

D

C

H
A

O

B

例4:已知E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BC、C1D1的中点,求证:EF ∥平面BB1DD1
证明:取BD中点O,则OE
为△ BDC 的中位线
1 1 ∥ ∥ ∴OE = 2 DC, D1F = 2 C1D1 ∴D1F∥ = OE ∴四边形D1OEF为平行四边形

D1

F
B1

C1

A1
D
O

A

B

C E

∴EF∥D1O 又∵ EF

?

平面BB1DD1,

? D O 平面BB DD
1 1

1

∴ EF ∥平面BB1DD1


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