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第二章 数列章末测试(人教A版必修5)


第二章 数列章末测试
(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.等比数列{an}中,a5a14=5,则 a8a9a10a11=( A.10 C.50 B.25 D.75 ) )

2.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3=3

2,a11+a12+a13=118,则 a4+a10=( A.45 C.75 B.50 D.60

3. 已知等差数列共有 10 项, 其中奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差是( A.5 C.3 B.4 D.2

)

4. 在等差数列{an}中, 设公差为 d, 若前 n 项和为 Sn=-n2, 则通项和公差分别为( A.an=2n-1,d=-2 B.an=2n-1,d=2 C.an=-2n+1,d=-2 D.an=-2n+1,d=2 5.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为( A.16 C.36 B.81 D.27 )

)

6. 已知数列{an}的前三项依次是-2,2,6, n 项的和 Sn 是 n 的二次函数, a100=( 前 则 A.394 C.390 B.392 D.396

)

7.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32, 则 S10 等于( A.60 C.18 ) B.24 D.90 )

8.数列{an}满足 an=4an-1+3,a1=0,则此数列的第 5 项是( A.255 C.20 B.15 D.8

9.某人有人民币 a 元作股票投资,购买某种股票的年红利为 24%(不考虑物价因素且股 份公司不再发行新股票,该种股票的年红利不变),他把每年的利息和红利都存入银行,若 银行年利率为 6%,则 n 年后他所拥有的人民币总额为______元(不包括 a 元的投资)( A.4a(1.06n-1) B.a(1.06n-1) )

C.0.24a(1+6%)n

-1

D.4(1.06n-1) )

1 1 1 1 1 1 10.数列 1,2+ ,3+ + ,…,n+ + +…+ n-1的前 n 项和为( 2 2 4 2 4 2 1 - A.n+1-?2?n 1 ? ? 1 1 1 C. n2+ n+ n-1-2 2 2 2 1 3 1 B. n2+ n+ n-1-2 2 2 2 1 D.n+ n-1-1 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.递减等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S5=S10,则欲使 Sn 最大,则 n=______. 1 - 12.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·n 2- ,则实数 t 的值为________. 5 5 13.设数列{an}的通项为 an=2n-7,则|a1|+|a2|+…+|a15|=________. 14.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任何 m,n∈N*,都有:①f(m,n+ 1)=f(m,n)+2,②f(m+1,1)=2f(m,1), 给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26,其中正确的个数是 ________个. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)数列{an}为等差数列,且 an 为正整数,a1=3,前 n 项和为 Sn, 数列{bn}为等比数列,b1=1,数列{ban}是公比为 64 的等比数列,S2b2=64.试求{an},{bn} 的通项公式.

16. (本小题满分 12 分)设 f1(x)=2x-1,2(x)=x2, f 数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn=f2(n), 且 数列{bn}中,b1=2,bn=f1(bn-1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn-1}是等比数列.

17.(本小题满分 12 分)在数列{an}中,a1=2,an=2an-1+2n 1(n≥2,n∈N*) an (1)令 bn= n,求证:{bn}是等差数列; 2 1 1 1 (2)在(1)的条件下,设 Tn= + +…+ ,求 Tn. b1b2 b2b3 bnbn+1



18.(本小题满分 14 分)设数列{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,已 知 T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式.

第二章 数列章末测试参考答案
(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.等比数列{an}中,a5a14=5,则 a8a9a10a11=( A.10 C.50 解析: ∵a8a11=a9a10=a5a14=5, ∴a8a9a10a11=(a5a14)2=25. 答案: B 2.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则 a4+a10=( A.45 C.75 B.50 D.60 ) B.25 D.75 )

解析: 由已知:a1+a2+a3+a11+a12+a13=150, ∴3(a1+a13)=150,∴a1+a13=50. ∵a4+a10=a1+a13,∴a4+a10=50. 答案: B 3. 已知等差数列共有 10 项, 其中奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差是( A.5 C.3 解析: ∵S 偶-S 奇=5d, ∴5d=15,∴d=3. 答案: C 4. 在等差数列{an}中, 设公差为 d, 若前 n 项和为 Sn=-n2, 则通项和公差分别为( A.an=2n-1,d=-2 B.an=2n-1,d=2 C.an=-2n+1,d=-2 D.an=-2n+1,d=2 解析: an=Sn-Sn-1=-n2-[-(n-1)2]=-2n+1(n>1,n∈N*).当 n=1 时,a1=S1 =-1 满足上式,显然 d=-2. 答案: C 5.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为( A.16 C.36 B.81 D.27 ) ) B.4 D.2 )

解析:

?a1= , ?a1q=1-a1 ? ? 4 ? 3 2 ?? ? ?a1q =9-a1q ?
1

?q=3.

1 1 ∴a4+a5= ×33+ ×34=27. 4 4 答案: D 6. 已知数列{an}的前三项依次是-2,2,6, n 项的和 Sn 是 n 的二次函数, a100=( 前 则 A.394 C.390 解析: 设 Sn=an2+bn+c, 又 a1=-2,a2=2,a3=6, ∴c=0?{an}为等差数列,公差为 4, ∴a100=-2+99×4=394. 答案: A 7.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32, 则 S10 等于( A.60 C.18 解析:
?a42=a3×a7, ? 由题意得? ? ? ?S8=32
2

)

B.392 D.396

) B.24 D.90

??a1+3d? =?a1+2d??a1+6d?, ? ? ?a1=-3, ?? ? 8×7 ? ?d=2. ?8a1+ 2 ×d=32 ?
10×9 S10=10×(-3)+ ×2=60,故选 A. 2 答案: A 8.数列{an}满足 an=4an-1+3,a1=0,则此数列的第 5 项是( A.255 C.20 解析: 设 an+a=4(an-1+a),即 an+a=4an-1+4a,an=4an-1+3a, 又 an=4an-1+3,∴a=1, ∴an+1=4(an-1+1). ∴an+1=(a1+1)×4n 1=4n 1, ∴an=4n 1-1,∴a5=45 1-1=255.
- - - -

)

B.15 D.8

答案: A 9.某人有人民币 a 元作股票投资,购买某种股票的年红利为 24%(不考虑物价因素且股 份公司不再发行新股票,该种股票的年红利不变),他把每年的利息和红利都存入银行,若 银行年利率为 6%,则 n 年后他所拥有的人民币总额为______元(不包括 a 元的投资)( A.4a(1.06n-1) C.0.24a(1+6%)n
-1

)

B.a(1.06n-1) D.4(1.06n-1)

解析: 设 n 年后他拥有的红利与利息之和为 an 元.则 a1=a· 24%=0.24a; a2=a· 24%+a1(1+6%)=0.24a+0.24a· 1.06; a3=a· 24%+a2· 1.06 =0.24a+0.24a· 1.06+0.24a· 2; 1.06 … an=0.24a+0.24a· 1.06+0.24a· 2+…+0.24a· n 1.06 1.06 =0.24a(1+1.06+1.062+…+1.06n 1) 1-1.06n =0.24a· =4a(1.06n-1) 1-1.06 答案: A 1 1 1 1 1 1 10.数列 1,2+ ,3+ + ,…,n+ + +…+ n-1的前 n 项和为( 2 2 4 2 4 2 1 - A.n+1-?2?n 1 ? ? 1 1 1 C. n2+ n+ n-1-2 2 2 2 1 3 1 B. n2+ n+ n-1-2 2 2 2 1 D.n+ n-1-1 2 )
- -1

1 1 - 2 2n 1 1 1 解析: 此数列的第 n 项为 an, a1=1, n≥2 时, n=n+ + +…+ n-1=n+ 则 当 a 2 4 1 2 1- 2 1 1 =n+1- n-1,也适合 n=1,故 an=n+1- n-1. 2 2 ∴该数列的前 n 项和 1 1 1 1 Sn=?1+1-20?+?2+1-21?+?3+1-22?+…+?n+1-2n-1? ? ? ? ? ? ?

?

?

1 1 1 =(1+2+3+…+n)+n-?1+2+22+…+2n-1?

?

?

1 1- n 2 1 2 3 n?n+1? 1 = +n- = n + n+ n-1-2. 2 1 2 2 2 1- 2 答案: B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.递减等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S5=S10,则欲使 Sn 最大,则 n=______. 解析: 方法一:∵S5=S10,∴S10-S5=0, 即 a6+a7+a8+a9+a10=0,∴5a8=0,从而 a8=0, 又{an}是递减数列,故 a1>a2>…>a7>a8=0>a9>…, 要使 Sn 最大,故 n=7 或 8 时,S7=S8 最大. 方法二:∵{an}为递减等差数列,且 S5=S10,

n?n-1? d 2 ? d ∴公差 d<0,Sn=na1+ d= n +?a1-2?n. ? 2 2 5+10 如图,抛物线的对称轴为 n0= =7.5,不是整数,由对称性知,S7=S8 且最大,∴ 2 n=7 或 8. 答案: 7 或 8 1 - 12.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·n 2- ,则实数 t 的值为________. 5 5 1 1 4 解析: ∵a1=S1= t- ,a2=S2-S1= t, 5 5 5 a3=S3-S2=4t. ∵{an}为等比数列, 4 1 1 ∴?5t?2=?5t-5?· ? ? ? ? 4t, ∴t=5 或 t=0(舍去). 答案: 5 13.设数列{an}的通项为 an=2n-7,则|a1|+|a2|+…+|a15|=________. 解析: 由 an=2n-7<0?n<3.5, ∵n∈N*,∴n=1,2,3, ∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+a15=S15-2S3=153. 答案: 153 14.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任何 m,n∈N*,都有:①f(m,n+ 1)=f(m,n)+2,②f(m+1,1)=2f(m,1), 给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26,其中正确的个数是 ________个.

解析: ∵f(1,1)=1 且 f(m+1,1)=2f(m,1), ∴数列{f(m,1)}构成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴f(5,1)=1·4=16,∴(2)正确; 2 当 m=1 时,条件①变为 f(1,n+1)=f(1,n)+2, 又 f(1,1)=1, ∴数列{f(1,n)}是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, ∴f(1,5)=f(1,1)+4×2=9.故(1)正确. ∵f(5,1)=16,f(5,n+1)=f(5,n)+2, ∴{f(5,n)}也成等差数列. ∴f(5,6)=16+(6-1)· 2=26, ∴(3)正确,故有 3 个正确. 答案: 3 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)数列{an}为等差数列,且 an 为正整数,a1=3,前 n 项和为 Sn, 数列{bn}为等比数列,b1=1,数列{ban}是公比为 64 的等比数列,S2b2=64.试求{an},{bn} 的通项公式. 解析: 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正整数,an=3+(n-1)d,bn=qn
-1



?ban+1= q - =qd=64=26 ① ? 2+?n 1?d 根据题意,得? ban q , ?S2b2=?6+d?q=64 ② ?
由(6+d)q=64,知 q 为正有理数,又 qd=26,故 d 为 6 的因子 1,2,3,6 之一,由①②, 解得 d=2,q=8, 故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1. 16. (本小题满分 12 分)设 f1(x)=2x-1,2(x)=x2, f 数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn=f2(n), 且 数列{bn}中,b1=2,bn=f1(bn-1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn-1}是等比数列. 解析: (1)Sn=n2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当 n=1 时,a1=S1=1 也适合上式, 故 an=2n-1. (2)证明:由题意知 bn=2bn-1-1,即 bn-1=2(bn-1-1),


2+nd



bn-1 =2, bn-1-1

∵b1-1=1, ∴{bn-1}是以 2 为公比,以 1 为首项的等比数列. 17.(本小题满分 12 分)在数列{an}中,a1=2,an=2an-1+2n 1(n≥2,n∈N*) an (1)令 bn= n,求证:{bn}是等差数列; 2 1 1 1 (2)在(1)的条件下,设 Tn= + +…+ ,求 Tn. b1b2 b2b3 bnbn+1 解析: (1)证明:由 an=2an-1+2n an an-1 ∴ n- n-1=2(n≥2). 2 2 an 又 bn= n,∴b1=1, 2 ∴数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)由(1)知 bn=2n-1, ∴ 1 1 1 1 1 = = ?2n-1-2n+1?. ? bnbn+1 ?2n-1??2n+1? 2?
+1 +

an an-1 得 n= n-1+2, 2 2

1 1 1 1 1 1 ∴Tn= ?1-3+3-5+…+2n-1-2n+1? 2? ? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1. 18.(本小题满分 14 分)设数列{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,已 知 T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式. 解析: (1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,
? ? ?T1=1, ?a1=1, 由? 得? ?T2=4, ?2a1+a2=4, ? ? ?a1=1, ? ∴? ∴q=2. ? ?a2=2,

故首项 a1=1,公比 q=2. (2)方法一:由(1)知 a1=1,q=2, ∴an=a1×qn 1=2n 1. ∴Tn=n×1+(n-1)×2+…+2×2n 2+2n 1,①
- - - -

2Tn=n×2+(n-1)×22+…+2×2n 1+1×2n,② 由②-①得 Tn=-n+2+22+…+2n 1+2n 2-2×2n + + =-n+ =-n+2n 1-2=-(n+2)+2n 1. 1-2 方法二:设 Sn=a1+a2+…+an, 由(1)知 an=2n 1, ∴Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an =a1+(a1+a2)+…+(a1+a2+…+an-1+an) =S1+S2+S3+…+Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1) =(2+22+…+2n)-n 2-2× n 2 + = -n=-(n+2)+2n 1. 1-2 商业计划书 http://www.chnci.com/syjhs 可行性分析报告 http://www.qfcmr.com 市场调查 http://www.51kybg.com
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