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jfsehi高中数学函数知识点梳理

时间:2011-07-02


-+ 懒惰是很奇怪的东西,它使你以为那是安逸,是休息,是福气;但实际上它所给 你的是无聊,是倦怠,是消沉;它剥夺你对前途的希望,割断你和别人之间的友情, 使你心胸日渐狭窄,对人生也越来越怀疑。 —罗兰

高中数学函数知识点梳理
1. .函数的单调性 函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么

>f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ? < 0 ? f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为增函数;如果 f ′( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数. 注: 如果函数 f (x ) 和 g (x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) + g ( x ) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y = f (u ) 和 u = g (x ) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y = f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ?

2.

奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 注:若函数 y = f (x ) 是偶函数,则 f ( x + a ) = f ( ? x ? a ) ;若函数 y = f ( x + a ) 是偶 函数,则 f ( x + a ) = f ( ? x + a ) . 注: 对于函数 y = f (x ) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称轴是 函数 x =

a+b a+b ;两个函数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b ? x ) 的图象关于直线 x = 对称. 2 2 a 注 : 若 f ( x ) = ? f (? x + a ) , 则 函 数 y = f (x ) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 2

f ( x) = ? f ( x + a ) ,则函数 y = f (x) 为周期为 2a 的周期函数.
3. 多项式函数 P ( x ) = an x + an ?1 x
n n ?1

+ L + a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y = f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 ? f ( a + x ) = f (a ? x )

? f (2a ? x) = f ( x) .
(2)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x =

? f (a + b ? mx) = f (mx) .
4. 两个函数图象的对称性

a+b 对称 ? f ( a + mx ) = f (b ? mx ) 2

(1)函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( ? x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y = f ( mx ? a ) 与函数 y = f (b ? mx ) 的图象关于直线 x = (3)函数 y = f (x ) 和 y = f
?1

a+b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y = f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x ? a ) + b 的图 象;若将曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) = 0 的图
象. 5. 互为反函数的两个函数的关系

f (a ) = b ? f ?1 (b) = a .
27. 若 函 数 y = f ( kx + b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y =

1 ?1 [ f ( x ) ? b] , 并 不 是 k

y =[f
6.

?1

(kx + b) ,而函数 y = [ f

?1

(kx + b) 是 y =

1 [ f ( x) ? b] 的反函数. k

几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) = cx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f ( x) = a x , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( a ) = 1( a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f ( x) = xα , f ( xy ) = f ( x) f ( y ), f ' (1) = α . (5)余弦函数 f ( x) = cos x ,正弦函数 g ( x) = sin x , f ( x ? y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) ,

f (0) = 1, lim
x →0

g ( x) =1. x

7.

几个函数方程的周期(约定 几个函数方程的周期 约定 a>0) (1) f ( x) = f ( x + a ) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) = f ( x + a ) = 0 ,

1 ( f ( x ) ≠ 0) , f ( x) 1 或 f ( x + a) = ? ( f (x) ≠ 0) , f (x) 1 2 或 + f ( x) ? f ( x) = f ( x + a ), ( f ( x) ∈ [ 0,1]) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 (3) f ( x) = 1 ? ( f ( x) ≠ 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x + a) f ( x1 ) + f ( x2 ) (4) f ( x1 + x2 ) = 且 f ( a ) = 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≠ 1, 0 <| x1 ? x2 |< 2a ) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (x) 的周期 T=4a; (5) f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x + 3a) + f (x + 4a) = f (x) f (x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x + a ) = f ( x ) ? f ( x + a) ,则 f (x ) 的周期 T=6a.
或 f ( x + a) = 8. 分数指数幂 (1) a n =
m

1
n

a

m

( a > 0, m, n ∈ N ? ,且 n > 1 ).

(2) a 9.

?

m n

=

1 a
m n

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).

?

根式的性质 (1) ( n a ) = a .
n

(2)当 n 为奇数时, a = a ;
n n

当 n 为偶数时, a =| a |= ?
n n

?a, a ≥ 0 . ?? a, a < 0

10. 有理指数幂的运算性质 (1) a ? a = a
r s r s r+s

(a > 0, r , s ∈ Q ) .

(2) ( a ) = a ( a > 0, r , s ∈ Q ) .
rs

(3) ( ab) r = a r b r ( a > 0, b > 0, r ∈ Q ) . p 注:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

log a N = b ? a b = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log m a n n 推论 log am b = log a b ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). m log a N =
11. 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ;

M = log a M ? log a N ; N n (3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) .
(2) log a 注:设函数 f ( x ) = log m ( ax + bx + c )( a ≠ 0) ,记 ? = b ? 4ac .若 f (x ) 的定义域为
2
2

R ,则 a > 0 ,且 ? < 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a > 0 ,且 ? ≥ 0 .对于 a = 0 的情形,需要
单独检验. 12. 对数换底不等式及其推论

1 ,则函数 y = log ax (bx ) a 1 1 (1)当 a > b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为增函数. a a 1 1 (2)(2)当 a < b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为减函数. a a
若 a > 0 ,b > 0, x > 0 , x ≠ 推论:设 n > m > 1 , p > 0 , a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则 (1) log m + p ( n + p ) < log m n . (2) log a m log a n < log a
2

m+n . 2