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2.2.3直线与平面平行的性质(公开课)(1)2

时间:2011-05-19


高中数学必修 2

19 May 2011

复习回顾: 复习回顾:
1.直线与直线的位置关系有 直线与直线的位置关系有 直线与直线的位置关系

共面 异面

相交 平行

2.直线与平面平行的判定方法: 直线与平面平行的判定方法: 直线与平面平行的判定方法 ⑴定义法;

定义法; ⑵判定定理. 判定定理.

直线与平面平行的判定定理: 直线与平面平行的判定定理:
如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行.

a

图形

α
符号语言: 符号语言:

b

若 a ? α , b ? α , a // b,则 a // α

作用: 判定直线与平面平行的重要依据。 作用: 判定直线与平面平行的重要依据。
平行,则线面平行。 简记为: 简记为: 线线平行,则线面平行。

新课引入: 新课引入:
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题(即所需条件);反之, );反之 平行的问题(即所需条件);反之,在直 线与平面平行的条件下,会得到什么结论? 线与平面平行的条件下,会得到什么结论?

问题讨论: 问题讨论:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条 )如果一条直线和一个平面平行, 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系? 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a a

b α α

b

平行

异面

(2)什么条件下,平面α内的直线与直线 平行呢? 什么条件下, 内的直线与直线a平行呢 平行呢? 什么条件下
若“共面”必平行,换句话说,若过直线a的某一 平面与平面α相交,则直线a就和这条交线平行.

解决问题: 解决问题:
已知 : a // α , a ? β , α ∩ β = b 求证: a // b

证明: Qα ∩β = b,∴b ?α 又Qa //α ∴a与b无公共点 又Qa ? β,b ? β ∴a //b

讲授新课: 讲授新课:
线面平行的性质定理: 线面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行, 一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

l // α l ? β α ∩β = m

β
l

l // m
m

简记为: 线面平行,则线线平行” 简记为: 线面平行,则线线平行” “ 作用:判定直线与直线平行的重要依据。 作用:判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。 关键: 寻找平面与平面的交线。

α

例题讲解: 例题讲解:
如图所示的一块木料中,棱 平行于面 平行于面A'C'. 例1 如图所示的一块木料中 棱BC平行于面 . 要经过面A'C'内的一点 和棱 和棱BC 将木料锯开, 将木料锯开, ⑴要经过面 内的一点P和棱 应怎样画线? 应怎样画线? 解: 如图,在平面 ⑴如图,在平面A'C'内, 内 过点P作直 过点 作直EF//B'C',分别交 作直 , 于点E、 , 棱A'B'、C'D'于点 、F, A' 、 于点 连结BE、 , 连结 、CF, 下面证明EF、 、 下面证明 、BE、 A CF为应画的线. 为应画的线. 为应画的线 D D' E P B' C B F C'

如图所示的一块木料中,棱 平行于面 平行于面A'C'. 例1 如图所示的一块木料中 棱BC平行于面 . 要经过面内的一点P和棱 将木料锯开, 和棱BC将木料锯开 ⑴要经过面内的一点 和棱 将木料锯开,应 怎样画线? 怎样画线? 解: ⑴ D' BC//B'C' BC//EF EF//B'C' EF、BE、CF共面. A 共面. 、 、 共面 A' D E P B' C B F C'

为应画的线. 则EF、BE、CF为应画的线. 、 、 为应画的线

如图所示的一块木料中,棱 平行于面 平行于面A'C'. 例1 如图所示的一块木料中 棱BC平行于面 . 要经过面内的一点P和棱 将木料锯开, 和棱BC将木料锯开 ⑴要经过面内的一点 和棱 将木料锯开,应 怎样画线? 怎样画线? 是什么位置关系? ⑵所画的线与平面AC是什么位置关系? 所画的线与平面 是什么位置关系 解: 由⑴,得 EF//BC, , ⑵ EF//BC EF//面AC 面 BE、CF都与面相交. 、 都与面相交 都与面相交. 线面平行 线线平行 A 线面平行 D' A' D E P B' C B F C'

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 求证: 求证: b//α 已知:直线 、 , 且 , 已知:直线a、b,平面α, a//b,//α, a, ?α, a b a b

过 提示: 作辅助平面 提示: a作辅助平面β, 且

β Iα = c

α

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 求证: 求证: b//α 证明: 作平面 且 证明:过a作平面β, 性质定理 a // α 已知:直线 、 , 且 , 已知:直线a、b,平面α, a//b,//α, a, ?α, a b

β Iα = c β
α

a c

b

a?β

β Iα = c

? a // c ? b // c
a // b
c ?α
b ?α
线线平行

? b // α

线面平行

判定定理 线面平行

是平行四边形, 练习.ABCD是平行四边形,点P是平面 是平行四边形 ABCD外一点,M是PC的中点,在DM 外一点,M是PC的中点, 外一点,M 的中点 上取一点G,过 上取一点G,过G和AP作平面交平面 G, AP作平面交平面 BDM于 BDM于GH. 求证:AP GH 求证:AP//GH :AP 提示:连结 提示:连结AC 交BD于O,连 于 , 结OM
A G D H O B C P M

求证: 例3. 求证:如果一条直线和两个相交平 面都平行, 面都平行,那么这条直线和它们的交线 平行. 平行.
已知:α∩β=l,a∥α,a∥β. ∥ ∥ 已知 求证:a∥ 求证 ∥l.
b l

β
c

提示: 作两个辅助平面 提示:过a作两个辅助平面

α

δ γ
a

《名师一号》P38例1 名师一号》 例

变式1 设平面α、β、γ两两相交, 两两相交, 变式1.设平面 两两相交 且 α ∩ β = a,β ∩ γ = b, γ ∩ α = c,
不平行, 若a,b不平行,求证: a∥b∥c . a 不平行 求证: , , 交于同一 若,∥b.求证:a,b,c交于同一 b.求证: 求证 点
c β a O b γ α

a c α γ β

b

(82年全国高考)三个平面两两相交,试证明它们 的交线交于同一点或互相平行.

例4 : 在长方体ABCD-A1B1C1 D1中, 点P ∈ BB1 (不与B、B1重合)PA I BA 1 = M, , PC I BC1 = N, 求证 : MN//平面ABCD
D1 C1

提示 : 连结AC、 A 1C1 A

1

B1

P M D N C

A

B

解 : 连结AC、 A 1C1 长方体中A 1 A //C1C ? A 1C1 //AC Q AC ? 面A 1C1B A1C1 ? 面A1C1B
A1

D1

C1

B1

P M D N C

A

B

? AC // MN MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

练习2:已知正方体 的棱长为1, 练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为 , 已知正方体 是面AA 的中心, 上一点, 点P是面 1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 是面 的中心 是 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 面 长为 D1 A1 P D A B C . Q B1 C
1

练习2:已知正方体 的棱长为1, 练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为 , 已知正方体 是面AA 的中心, 上一点, 点P是面 1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 是面 的中心 是 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 面 长为 解析: 连结AB1、AD1, 解析: 连结 ∵PQ//面AB1, 面 ∴PQ//AB1, 是面AA 的中心, ∵点P是面 1D1D的中心, 是面 的中心 的中位线, ∴PQ是△AB1D1的中位线, 是 A
2 2

. Q B1 C
1

D1 A1 P D

C B

课堂小结: 课堂小结:
1.直线与平面平行的性质定理 .直线与平面平行的性质定理 性质 a∥b. ∥ . 性质定理的运用. 性质定理的运用. 定理的运用 线线平行 ⑴判定定理. 判定定理. ⑵性质定理. 性质定理. 线面平行 线面平行 线线平行 a b

2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法: .判定定理与性质定理展示的数学思想方法: 定理与性质定理展示的数学思想方法

3.要注意判定定理与性质定理的综合运用 .要注意判定定理与性质定理的综合运用 判定定理与性质

课后作业: 课后作业: 课本P 习题2.2 课本P62 习题 A组第 、6题 组第5、 题 组第

练习:如图,已知AB∥平面α, AB∥平面 P62 练习:如图,已知AB∥平面 , AC∥BD, AC、BD与平面 与平面α相交于 AC∥BD,且AC、BD与平面 相交于 求证: C、D,求证:AC=BD.
A B β D

α

C

? 例5:如图所示 四边形 如图所示,四边形 如图所示 四边形EFGH为空间四边形 为空间四边形 ABCD的一个截面 若截面为平行四边形 的一个截面,若截面为平行四边形 的一个截面 若截面为平行四边形. ? (1)求证 求证:AB∥平面 求证 ∥平面EFGH,CD∥平面 ∥平面EFGH. ? (2)若AB=4,CD=6,求四边形 若 求四边形EFGH周长的取 求四边形 周长的取 值范围. 值范围

? 变式训练 如图,已知 ?B?C?D四点不共面 变式训练3:如图 已知 四点不共面, 如图 已知A? ? ? 四点不共面 且AB∥平面 ∥平面α,CD∥平面 ∥ α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H, ? (1)求证 求证:EFGH是一个平行四边形 是一个平行四边形; 求证 是一个平行四边形 ? (2)若AB=CD=a,试求四边形 若 试求四边形EFGH的周长 的周长. 试求四边形 的周长

? (1)证明 证明:AB∥α,AB 证明 ∥

?

平面ABC,平面 平面 平面

ABC∩α=EH?AB∥EH,同理 ∥FG? ? ∥ 同理AB∥ ? 同理
(2)解:∵AB∥EH,∴ EH CE 解∵ ∥ ∴ AE EH∥FG,同理 ∥GH?EFGH是平行四边 同理EF∥ ? EF 是平行四边 ∥ 同理

形. CE AE EH EF 又 + = 1,∴ + = 1. CA AC AB CD
∵AB=CD=a,∴EH+EF=a, ∴ 的周长为2a. ∴平行四边形EFGH的周长为 平行四边形 的周长为

AB

=

CA

.同理

CD

=

AC

,

例6:已知异面直线 、CD都平行 :已知异面直线AB、 都平行 于平面 α 且AB、CD在α 两侧 若AC、 、 在 两侧,若 、 BD与α 分别交于M、N两点, M、N两点 与 分别交于M、N两点, A AM BN B = 求证: 求证: MC ND 方法1 方法1 P N α
M

C

D

例6:已知异面直线 、CD都平行 :已知异面直线AB、 都平行 于平面 α 且AB、CD在α 两侧 若AC、 、 在 两侧,若 、 BD与α 分别交于M、N两点, M、N两点 与 分别交于M、N两点, A AM BN B = 求证: 求证: MC ND 方法2 方法2 P M N

α

C

D


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