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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测:第二章 函 数


第二章

章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2010· 宁德四县市一中联考)已知集合 A={x|y=lg(2x-x2)},B={y|y=2x,x>0},R 是实数集, 则(?RB)∩A 等于 ( ) A.[0,1] B.(0,1] C.(-∞,

0] D.以上都不对 2. 下列四个函数中, 与 y=x 表示同一函数的是 ( ) A.y=( x)2 C.y= x2 3 B.y= x3 x2 D.y= x ( )

3. 设 a=log3π, b=log2 3, c=log3 2, 则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 4. (2010· 吉安高三联考)由方程 x|x|+y|y|=1 确定的函数 y=f(x)在(-∞, +∞)上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 5. 函数 f(x)=|x|-k 有两个零点, 则 A.k=0 B.k>0 C.0≤k<1 D.k<0 6. 若 0<x<y<1, 则 A.3y<3x B.logx3<logy3 1 1 C.log4x<log4y D.( )x<( )y 4 4 lg|x| 7. (2011· 新乡月考)函数 y= 的图象大致是 x

(

)

(

)

(

)

(

)

?log 2 x, x ? 0, ? 8. (2010· 天津)若函数 f(x)= ?log ( ? x), x ? 0, 若 f(a)>f(-a), 则实数 a 的取值范围( 1 ? ? 2
A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 1 2 9.(2011· 张家口模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点( , ),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2) 8 4
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是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2); ②x1f(x1)<x2f(x2); f?x1? f?x2? ③ > ; x1 x2 f?x1? f?x2? ④ < . x1 x2 其中正确结论的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.②③
2

(

)

10.(2010· 山西阳泉、大同、晋中 5 月联考)已知函数 f(x)= log 1 (4 x ? 2 x ?1 ? 1) 的值域为 [0,+∞),则它的定义域可以是 ( ) A.(0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.(-∞,0] 11. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, ( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 1 2 x 12.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x -a ,当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范 2 围是 ( ) 1 1 A.(0, ]∪[2,+∞) B.[ ,1)∪(1,4] 2 4 1 1 C.[ ,1)∪(1,2] D.(0, ]∪[4,+∞) 2 4 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) - 13.已知对不同的 a 值,函数 f(x)=2+ax 1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点 的坐标是________. 14.(2011· 南京模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log 2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 ?

f(2 011)的值为__________. 15.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=|log0.5x|的定义域为[a,b], 值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值为________. 16.(2011· 潍坊模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1) 1 - =f(x-1),已知当 x∈[0,1]时 f(x)=( )1 x,则 2 ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; 1 - ④当 x∈(3,4)时,f(x)=( )x 3. 2 其中所有正确命题的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)(2011· 合肥模拟)对定义在实数集上的函数 f(x),若存在实数 x0,使得 f(x0)= x0,那么称 x0 为函数 f(x)的一个不动点. (1)已知函数 f(x)=ax2+bx-b(a≠0)有不动点(1,1)、(-3,-3),求 a、b;
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(2)若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax2+bx-b (a≠0)总有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围.

1 18. (12 分)已知 f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数, 当 x∈[-1,0]时, 函数解析式 f(x)= x- 4 a (a∈R). 2x (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值.

1 19.(12 分)已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 20. (12 分)(2011· 银川模拟)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1) x 对称. (1)求函数 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,g(x)在区间(0,2]上的值不小于 6,求实数 a 的取值范围. x

21. (12 分)经市场调查, 某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元) 1 均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近似满足 f(t)=20- |t- 2 10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

22.(12 分)(2011· 合肥模拟)对于定义域为[0,1]的函数 f(x),如果同时满足以下三条:① 对任意的 x∈[0,1], 总有 f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若 x1≥0, x2≥0, x1+x2≤1, 都有 f(x1+x2)≥f(x1) +f(x2)成立,则称函数 f(x)为理想函数. (1)若函数 f(x)为理想函数,求 f(0)的值; (2)判断函数 f(x)=2x-1 (x∈[0,1])是否为理想函数,并予以证明; (3)若函数 f(x)为理想函数,假定存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)∈[0,1],且 f[f(x0)]=x0,求证: f(x0)=x0.

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答案 1.B [由 2x-x2>0, 得 x(x-2)<0?0<x<2, 故 A={x|0<x<2},由 x>0,得 2x>1, 故 B={y|y>1},?RB={y|y≤1}, 则(?RB)∩A={x|0<x≤1}.] 2.B 3.A [∵log3 2<log2 2<log2 3,∴b>c. 又∵log2 3<log22=log33<log3π, ∴a>b,∴a>b>c.] 4.B [

①当 x≥0 且 y≥0 时, x2+y2=1, ②当 x>0 且 y<0 时,x2-y2=1, ③当 x<0 且 y>0 时,y2-x2=1, ④当 x<0 且 y<0 时,无意义. 由以上讨论作图如右,易知是减函数.] 5.B [令 y=|x|,y=k,由题意即要求两函数图象有两交点,利用数形结合思想,作出 两函数图象,得 k>0.] 1 1 6.C [∵0<x<y<1,∴由函数的单调性得 3x<3y,logx3>logy3,( )x>( )y,即选项 A、B、 4 4 D 错,故选 C.] 7.D 8.C [由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论. ?a>0 f(a)>f(-a)?? 1 或 ? ?log2a>log2a

?

a<0 ? ?a<0 ? ?a>0 ? ? 1 ?? 或? ?a>1 ?-1<a ? ?log2?-a?>log2?-a? ? ?a>1 或-1<a<0.] 1 2 1 11 1 1 [依题意,设 f(x)=xα,则有( )α= ,即( )α=( ) ,所以 α= ,于是 f(x)=x . 8 4 8 82 2 2 1 由于函数 f(x)=x 在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当 x1<x2 时,必有 f(x1)<f(x2),从 2 f?x1? f?x2? 而有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因为 , 分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合函数 x1 x2 f?x1? f?x2? 图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故 > ,所以③正确.] x1 x2 10.A [∵f(x)的值域为[0,+∞), + 令 t=4x-2x 1+1, ∴t∈(0,1]恰成立,即 0<(2x)2-2· 2x+1≤1 恰成立,0<(2x-1)2 成立,则 x≠0,(2x)2-2· 2x +1≤1 可化为 2x(2x-2)≤0, ∴0≤2x≤2,即 0≤x≤1, 综上可知 0<x≤1.] 11.D [因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周 期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数,f(0)=0 9.D
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得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由 f(x-4)=-f(x)得 f(11)=f(3)=-f(-3)=- f(1 - 4) = f(1) ,又因为 f(x) 在区间 [0,2] 上是增函数,所以 f(1)>f(0) = 0 ,- f(1)<0 ,即 f( - 25)<f(80)<f(11).] 1 1 12.C [将 f(x)< 化为 x2- <ax,利用数形结合,分 a>1 和 0<a<1 两种情况求解. 2 2

a>1 0<a<1 ? ? ? ? 结合图象得? -1 1 或? 1 , ? ? ?a ≥2 ?a≥2 1 解得 1<a≤2 或 ≤a<1.] 2 13.(1,3) 14.-1 解析 由已知得 f(-1)=log22=1, f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1, f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0, f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1, f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0, 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现, 所以 f(2 011)=f(1)=-1. 15 15. 4 1 解析 由 0≤|log0.5x|≤2 解得 ≤x≤4, 4 1 15 ∴[a,b]长度的最大值为 4- = . 4 4 16.①②④ 解析 由 f(x+1)=f(x-1)可得 f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1-1)=f(x),

∴2 是函数 f(x)的一个周期. 又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 x∈[0,1]时, 1 - f(x)=( )1 x, 2 ∴函数 f(x)的简图如右图,由简图可知②④也正确. 17.解 (1)∵f(x)的不动点为(1,1)、(-3,-3), ? ?a+b-b=1, ∴有? ∴a=1, b=3.………………………………………………(4 分) ? ?9a-3b-b=-3, (2)∵函数总有两个相异的不动点, ∴ax2+(b-1)x-b=0,Δ>0, 即(b-1)2+4ab>0 对 b∈R 恒成立, ……………………………………………………(7 分) 2 Δ1<0,即(4a-2) -4<0,………………………………………………………………(9 分) ∴0<a<1.…………………………………………………………… …………………(10 分)
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18.解 (1)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(x)在 x=0 处有意义, 1 a ∴f(0)=0,即 f(0)= 0- 0=1-a=0. 4 2 ∴a=1.……………………………………………………………………………………(3 分) 设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0]. 1 1 ∴f(-x)= -x- -x=4x-2x. 4 2 又∵f(-x)=-f(x) ∴-f(x)=4x-2x. ∴f(x)=2x-4x.……………………………………………………………………………(8 分) (2)当 x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2, ∴设 t=2x(t>0),则 f(t)=t-t2. ∵x∈[0,1],∴t∈[1,2]. 当 t=1 时, 取最大值, 最大值为 1-1=0.……………………………………………(12 分) 19.解 (1)当 x<0 时,f(x)=0; 1 当 x≥0 时, f(x)=2x- x.…………………………………………………………………(3 分) 2 1 由条件可知 2x- x=2,即 22x-2· 2x-1=0, 2 解得 2x=1± 2. ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2).……………………………………………………………(6 分) 1? 2t ? t 1? (2)当 t∈[1,2]时,2t? ?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, 即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).…………………………………………………………(9 分) ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).……………………………………………………(12 分) 20.解 (1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x,y),点(x,y)关于点 A(0,1)的对称点(-x,2- y)在 h(x)的图象上, ……………………………………………………………………………(2 分) 1 1 ∴2-y=-x+ +2,∴y=x+ , x -x 1 即 f(x)=x+ .……………………………………………………………………………(6 分) x a+1 (2)由题意 g(x)=x+ , x a+1 且 g(x)=x+ ≥6,x∈(0,2]. x ∵x∈(0,2],∴a+1≥x(6-x),…………………………………………………………(8 分) 即 a≥-x2+6x-1. 令 q(x)=-x2+6x-1,x∈(0,2], q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8, ∴x∈(0,2]时,q(x)max=q(2)=7,∴a≥7.……………………………………………(12 分) 1 21.解 (1)y=g(t)· f(t)=(80-2t)· (20- |t-10|)=(40-t)(40-|t-10|) 2 ? ??30+t??40-t?, 0≤t<10, =? ……………………………………………………(4 分) ??40-t??50-t?, 10≤t≤20. ? (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225;……………………………………………………(8 分) 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 所以第 5 天,日销售额 y 取得最大值为 1 225 元;
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第 20 天,日销售额 y 取得最小值为 600 元.………………………………………(12 分) 22.(1)解 取 x1=x2=0, 可得 f(0)≥f(0)+f(0)?f(0)≤0. 又由条件①得 f(0)≥0, 故 f(0)=0.………………………………………………………(4 分) x (2)解 显然 f(x)=2 -1 在[0,1]满足条件①f(x)≥0; 也满足条件②f(1)=1. 若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 则 f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=2x1+x2-2x1-2x2+1= (2x2-1)(2x1-1)≥0,即满足条件③,故 f(x)是理想函数.………………………………(8 分) (3)证明 由条件③知,任给 m、n∈[0,1], 当 m<n 时,n-m∈[0,1], ∴f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m). 若 x0<f(x0),则 f(x0)≤f[f(x0)]=x0,前后矛盾. 若 x0>f(x0),则 f(x0)≥f[f(x0)]=x0,前后矛盾. 故 f(x0)= x0.…………………………………………………………………………… (12 分)

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